Список билетов по ТФКП

1. Функциональные ряды, равномерная сходимость, признак Вейерштрасса (с доказательством), свойства сумм функциональных рядов (без доказательств)
2. Функциональные ряды, свойства сумм функциональных рядов (с доказательством)
3. Степенные ряды. Теорема Абеля (с доказательством). Круг сходимости ряда. Пример
4. Ряд Тейлора. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора (формулировка, доказательство, примеры)
5. Аналитическое продолжение функции. Пример построения с помощью степенных рядов
6. Ряд Лорана. Теорема о разложении функции в ряд Лорана (формулировка, доказательство, пример)
7. Нули аналитической функции. Примеры
8. Изолированные особые точки функции, их классификация (через предел). Примеры. Определение УОТ и СОТ через разложение в ряд Лорана (с доказательством)
9. Изолированные особые точки функции, их классификация (через предел). Примеры. Методы определения полюса и его порядка
10. Бесконечно удалённая особая точка. Классификация, примеры
11. Вычеты функции в конечных особых точках. Основная теорема о вычетах (формулировка, доказательство, примеры)
12. Вычеты функции в конечных особых точках (УОТ и СОТ). Примеры. Вычисление вычета в полюсе (одна из формул, любая, с доказательством)
13. Вычисление вычетов в полюсе (три формулы, с доказательством). Примеры
14. Бесконечно удалённая особая точка, классификация, вычисление вычетов. Примеры
15. Теорема о сумме вычетов (формулировка, доказательство). Следствие, пример
16. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов: определённый интеграл вида $\displaystyle \int\limits_0^{2\pi} R(\cos x, \sin x) dx$ (вывод формулы, примеры)
17. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов: несобственный интеграл вида $\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x) dx$ (вывод формулы, примеры)
18. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов: лемма Жордана (формулировка, доказательство)
19. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов: несобственные интегралы вида $\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x) \cos\lambda x dx$, $\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x) \sin\lambda x dx$ (вывод формулы, примеры)
20. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов: вычисление интеграла, когда особые точки лежат на пути интегрирования (пример)
21. Логарифмическая производная, логарифмический вычет. Примеры
22. Теорема о логарифмическом вычете (формулировка теоремы, доказательство)
23. Принцип аргумента (формулировка теоремы, геометрический смысл, доказательство)
24. Алгоритм нахождения нулей многочлена в заданной области с помощью принципа аргумента
25. Теорема Руше (формулировка, доказательство). Примеры
26. Доказательство основной теоремы высшей алгебры с помощью теоремы Руше
27. Функция ограниченного роста. Изображения и оригиналы (определения). Примеры
28. Теорема о существовании изображения (формулировка, доказательство). Следствие
29. Свойства преобразования Лапласа: линейность (с доказательством), теорема подобия (с доказательством). Примеры
30. Свойства преобразования Лапласа: теорема смещения (с доказательством), теорема запаздывания (с доказательством). Примеры
31. Свойства преобразования Лапласа: дифференцирование изображения (с доказательством), дифференцирование оригинала (с доказательством). Примеры
32. Свойства преобразования Лапласа: интегрирование оригинала (с доказательством), интегрирование изображения (с доказательством). Примеры
33. Свёртка функций. Теорема умножения изображений (без доказательства). Примеры
34. Теоремы разложения (первая и вторая, формулировки теорем без доказательств, примеры к каждой)
35. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (разные виды уравнений). Примеры
36. Решение интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа. Пример