Вопросы — Теория управления

Определение: управление

Рассмотрим замкнутую и ограниченную область $U \subset \mathbb{R}^r$.

Функция \[ u : [t_0; t_1] \to U \] называется управлением, а $U$ — множеством управления.

В чём заключается прямая задача динамики?

Прямая задача: решить задачу Коши \[ \begin{aligned} \dot{x}(t) &= F(t, x, u) \\ x(t_0) &= x_0 \end{aligned} \] и найти такое управление $u = u(t, x)$, чтобы система имела желаемый характер.

В чём заключается обратная задача динамики?

Обратная задача: замкнуть систему \[ \begin{aligned} \dot{x}(t) &= F(t, x, u) \\ x(t_0) &= x_0 \end{aligned} \] известным управлением $u = \widetilde{u}(t, x)$ и найти её решение.

Определение: фазовый вектор объекта

Фазовым вектором объекта называется всякий вектор $x(t)$, обладающий следующими свойствами:

Компоненты $x_i(t)$ характеризуют состояние объекта в момент времени $t$;
Каждое начальное состояние $x(t_0) = x^0$ единственным образом определяет значения $x(t) = x(t, t_0, x^0)$ для всех рассматриваемых моментов времени $t$.

Определение: допустимое управление

Функцию $u(t) \in U$ называют допустимым управлением, если она

задана на $[0;T]$;
кусочно-непрерывна;
её интенсивность ограничена: \[ \chi[u] = \int\limits_0^T u^*(\tau) u(\tau) d \tau \lt \infty. \]

Формулировка общей задачи об управлении с введённым ограничением

Требуется найти допустимое управление $u(t)$, переводящее систему \[ \dot{x}(t) = F(t, x, u), \] из состояния $x(0) = x^0$ в состояние $x(T) = x^1$, и при этом интенсивность управления $\chi[u]$ была бы ограничена.

Определение: программное управление

Допустимое управление $u(t)$ называется программным, если оно переводит систему \[ \dot{x}(t) = F(t, x, u), \] из состояния $x(0) = x^0$ в состояние $x(T) = x^1$.

Общее решение неоднородной линейной системы ОДУ в форме Коши

Рассмотрим линейную систему ОДУ: \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u(t) + f(t). \] Пусть $Y$ — фундаментальная матрица соответствующей однородной системы, нормированная в нуле. Тогда можно записать общее решение неоднородной системы в форме Коши: \[ x(t, 0, x_0) = Y(t) \left( x_0 + \int\limits_0^t Y^{-1}(\tau) \left[Q(\tau) u(\tau) + f(\tau)\right] d\tau \right). \]

Постановка задачи о нахождении программного управления для линейной системы ОДУ

Рассмотрим линейную систему ОДУ: \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u(t) + f(t). \]

Требуется найти управление $u(t) \in U$, переводящее систему из состояния $x(0) = x_0$ в состояние $x(T) = x_1$.

Рассмотрим общее решение исходной системы в форме Коши: \[ x(t, 0, x_0) = Y(t) \left( x_0 + \int\limits_0^t Y^{-1}(\tau) \left[Q(\tau) u(\tau) + f(\tau)\right] d\tau \right). \] Если $u(t)$ — программное, то \[ x(T, 0, x_0) = x_1, \] то есть поиск программного решения сводится к поиску решения, удовлетворяющего этому равенству.

Найдём из него, что \[ x_1 = Y(T) \paren{x_0 + \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) Q(\tau) u(\tau) d\tau + \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau}. \] Обозначим $B(t) := Y^{-1}(t) Q(t)$ и домножим уравнение слева на $Y^{-1}(T)$: \[ \int\limits_0^T B(\tau) u(\tau) d\tau = Y^{-1}(T) x_1 - x_0 - \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau. \] Правая часть — некоторая константа, которую можно обозначить как $\eta$, тогда \[ \int\limits_0^T B(\tau) u(\tau) d\tau = \eta, \] то есть если $u(t)$ удовлетворяет этому интегральному уравнению, то оно программное.

Теорема: интегральный критерий линейной независимости функций

Пусть на отрезке $[0; T]$ заданы $m$ вектор-функций $x^1(t), \dots, x^m(t)$ размерности $r$. Рассмотрим матрицу \[ B(t) = \left( \begin{array}{c} x^1(t) \\ \vdots \\ x^m(t) \end{array} \right), \qquad \dim B(t) = m \times r. \]

Функции $x^1(t), \dots, x^m(t)$ линейно независимы на $[0; T]$ тогда и только тогда, когда интегральная матрица \[ A = \int\limits_0^T B(t) B^*(t) dt \] положительно определена.

Необходимость и достаточность доказываются от противного, пользуясь тем фактом, что \[ \gamma^* A \gamma = \int\limits_0^T \norm{\gamma^* B(\tau)} d\tau. \]

От противного: пусть $x^i$ — ЛНЗ на $[0;T]$, но $A$ не является положительно определённой. Тогда существует $\gamma \neq 0$ такое, что \[ \begin{aligned} 0 &= \gamma^* A \gamma \\ &= \int\limits_0^T \gamma^* B(\tau) B^*(\tau) \gamma d\tau \\ &= \int\limits_0^T \norm{\gamma^* B(\tau)}^2 d\tau, \end{aligned} \] но тогда \[ \exists \gamma \neq 0: \quad \gamma^* B(t) \equiv 0, \quad t \in [0;T], \] откуда следует линейная зависимость функций $x^i$ на $[0; T]$ — получили противоречие.

От противного. Пусть $A$ положительно определена, но $x^i$ линейно зависимы на $[0; T]$. Тогда \[ \exists \gamma \neq 0: \quad \gamma^* B(t) \equiv 0, \quad t \in [0; T], \] но тогда \[ \begin{aligned} \gamma^* A \gamma &= \int\limits_0^T \gamma^* B(\tau) B^*(\tau) \gamma d\tau \\ &= \int\limits_0^T \norm{\gamma^* B(\tau)}^2 d\tau = 0 \end{aligned} \] для некоторого ненулевого $\gamma$, откуда следует, что $A$ не является положительно определённой — получили противоречие.

Лемма о нахождении семейства допустимых управлений

Если допустимое управление $u(t)$ линейной системы \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u(t) + f(t) \] существует, то оно представимо в виде \[ u(t) = B^*(t) C + V(t), \qquad B(t) := Y^{-1}(t) Q(t), \] где

$Y(t)$ — нормированная в нуле фундаментальная матрица соответствующей однородной системы
$C$ — постоянный вектор, подлежащий определению
$V(t)$ — $r$-мерная векторная функция, удовлетворяющая условию ортогональности: \[ \int\limits_0^T B(\tau) V(\tau) d\tau = 0. \]

Подставим представление \[ u(t) = B^*(t) C + V(t) \] в уравнение ортогональности, докажем совместность системы от противного (предположив, что $\rank A \lt \rank (A, \eta)$), воспользовавшись теоремой Фредгольма: \[ A x = b \text{ совместна} \iff \exists \gamma \neq 0: \gamma^* a = 0, \; \text{ но } \; \gamma^* b \neq 0. \]

Пусть существует допустимое управление $u(t) \in U$. Тогда утверждение леммы справедливо, если \[ \int\limits_0^T B(\tau) \left[u(\tau) - B^*(\tau) C \right] d\tau = 0. \] Перепишем это равенство в виде \[ \int\limits_0^T B(\tau) u(\tau) d\tau = \int\limits_0^T B(\tau) B^*(\tau) d\tau \cdot C; \] рассмотрим его как СЛАУ относительно неизвестного вектора $C$: \[ AC = b, \] где \[ A := \int\limits_0^T B(\tau) B^*(\tau) d\tau, \quad b := \int\limits_0^T B(\tau) u(\tau) d\tau. \]

Из теоремы Кронекера-Капелли известно, что система совместна тогда и только тогда, когда $\rank A = \rank (A, b)$.

Предположим, что система несовместна, то есть $\rank A \lt \rank (A, b)$. Тогда по теореме Фредгольма найдётся вектор $\gamma \neq 0$, ортогональный всем столбцам матрицы $A$, но не ортогональный вектору $b$, то есть \[ \gamma^* A = 0, \quad \gamma^* b \neq 0. \] Отсюда следует, что \[ \begin{aligned} 0 &= \gamma^* A \gamma \\ &= \gamma^* \int\limits_0^T B(\tau) B^*(\tau) d\tau \cdot \gamma \\ &= \int\limits_0^T \gamma^* B(\tau) B^*(\tau) \gamma d\tau \\ &= \int\limits_0^T \norm{\gamma^* B(\tau)}^2 d\tau = 0, \end{aligned} \] то есть $\gamma^* B(t) \equiv 0$. Но тогда \[ \gamma^* b = \gamma^* \int\limits_0^T B(\tau) u(\tau) d\tau = \int\limits_0^T \overbrace{\gamma^* B(\tau)}^{\equiv 0} u(\tau) d\tau = 0, \] что противоречит выбору $\gamma$. Значит, $\rank A = \rank (A,b)$, то есть система совместна.

Решая эту систему, находим вектор $C$, при котором разность $u(t) - B^*(t) C$ удовлетворяет условию \[ \int\limits_0^T B(\tau) \left[u(\tau) - B^*(\tau) C \right] d\tau = 0. \] Введя обозначение $V(t) := u(t) - B^*(t) C$, получаем, что \[ u(t) = B^*(t) C + V(t). \]

В случае поиска программного управления $u(t)$, переводящего систему из $x(0) = x_0$ в $x(T) = x_1$, известен коэффициент \[ b = \int\limits_0^T B(\tau) u(\tau) d\tau = \eta, \] где \[ \eta \bydef = Y^{-1}(T) x_1 - x_0 - \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau, \] поэтому СЛАУ для нахождения $C$ запишется в виде \[ AC = \eta. \]

Определение: управляемая пара точек

Рассмотрим систему \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u + f(t). \]

Пара состояний $(x_0, x_1)$ называется управляемой на $[0; T]$, если для неё существует программное управление вида \[ u(t) = B^*(t) C + V(t), \quad \text{причём} \quad \int\limits_0^T B(\tau) V(\tau) d\tau = 0. \]

Теорема об управляемости пары точек

Рассмотрим систему \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u + f(t). \]

Пара точек $(x_0, x_1)$ управляема на $[0; T]$ тогда и только тогда, когда \[ \rank A = \rank (A, \eta), \] где

${\displaystyle A := \int\limits_0^T B(\tau) B^*(\tau) d\tau}$,
${\displaystyle B := Y^{-1}(t) Q(t)}$.
${\displaystyle \eta := Y^{-1}(T) x_1 - x_0 - \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau}$.

Проверяется подстановкой в \[ \int\limits_0^T B(\tau) u(\tau) d\tau = \eta, \] используя теорему Кронекера-Капелли.

Пусть пара $(x_0, x_1)$ — управляема, то есть существует программное управление $u(t)$. Из леммы о представлении семейства допустимых управлений следует, что оно представимо в виде \[ u(t) = B^*(t) C + V(t), \quad \text{причём} \quad \int\limits_0^T B(\tau) V(\tau) d\tau = 0, \] и удовлетворяет уравнению \[ \int\limits_0^T B(\tau) u(\tau) d\tau = \eta, \] следовательно, $C$ является решением СЛАУ \[ AC = \eta, \] то есть эта СЛАУ совместна, поэтому по теореме Кронекера-Капелли \[ \rank A = \rank (A, \eta). \]

Пусть $\rank A = \rank (A, \eta)$, тогда по теореме Кронекера-Капелли СЛАУ \[ AC = \eta \] совместна, следовательно, существует $\overline{C}$ — решение этой СЛАУ. Тогда по лемме о представлении семейства допустимых управлений управление \[ u(t) = B^*(t) \overline{C} + V(t), \quad \text{причём} \quad \int\limits_0^T B(\tau) V(\tau) d\tau = 0, \] удовлетворяет уравнению \[ \int\limits_0^T B(\tau) u(\tau) d\tau = \eta, \] то есть является программным для пары точек $(x_0, x_1)$.

Определение: полностью управляемая линейная система

Систему \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u + f(t) \] называют полностью управляемой на $[0; T]$, если любая пара точек $(x_0, x_1)$ управляема.

Теорема о полной управляемости линейной системы

Система \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u + f(t) \] полностью управляема на $[0; T]$ тогда и только тогда, когда \[ \rank A = n, \quad (\text{или} \; \det A \neq 0), \] где

${\displaystyle A := \int\limits_0^T B(\tau) B^*(\tau) d\tau}$;
${\displaystyle B := Y^{-1}(t) Q(t)}$.

Если система полностью управляма, то система $AC = \eta$ должна быть разрешима при любом $\eta$, а это возможно тогда и только тогда, когда $A$ невырождена.

Если $A$ невырождена, то для любой пары точек $(x_0, x_1)$ можно найти $C$, то есть построить программное управление вида $u = B^*(t) C + V(t)$, откуда следует полная управляемость системы.

Пусть система полностью управляема, тогда $\eta$ может принимать любые значения в силу произвольности пары $(x_0, x_1)$, следовательно, система \[ AC = \eta \] совместна для любого $\eta$. Отсюда следует невырожденность матрицы $A$.

Пусть матрица $A$ невырождена, тогда для любого вектора $\eta = \eta(x_0, x_1)$ можно найти \[ \widetilde{C} = A^{-1} \eta, \] то есть для любой пары точек $(x_0, x_1)$ можно построить программное управление \[ u(t) = B^*(t) \widetilde{C} + V(t), \] следовательно, система является полностью управляемой на $[0; T]$.

Свойства матрицы ${\displaystyle A = \int\limits_0^T B(\tau) B^*(\tau) d\tau}$

$A$ симметрична: $A^* = A$.

\[ A^* = \paren{\int\limits_0^T B B^* d\tau}^* = \int\limits_0^T B B^* d\tau = A. \]
Квадратичная форма с матрицей $A$ знакоположительна: \[ C^*AC \geqslant 0 \qquad \forall C. \]
\[ C^*AC \bydef = C^* \int\limits_0^T B B^* d\tau \cdot C = \int\limits_0^T C^* B B^* C d\tau = \int\limits_0^T \norm{C^* B}^2 d\tau \geqslant 0. \]
Все собственные числа матрицы $A$ вещественны и неотрицательны: $\lambda_i \geqslant 0$.

Из симметричности матрицы $A$ следует, что $\lambda_i \in \mathbb{R}$.

В канонической форме коэффициенты квадратической формы — собственные числа, поэтому из свойства 2 следует, что $\lambda_i \geqslant 0$.
Если матрица $A$ невырождена, то $\lambda_i \gt 0$.

Критерии полной управляемости линейной системы (2 штуки)

Матрица $A$ невырождена тогда и только тогда, когда строки матрицы $B(t)$ линейно независимы на $[0; T]$.

Необходимость и достаточность доказываются от противного, учитывая тот факт, что \[ C^* A C = \int\limits_0^T \norm{C^* B}^2 d\tau. \]

От противного. Пусть $\det A \neq 0$, но строки матрицы $B(t)$ линейно зависимы на $[0; T]$, то есть существует $C \neq 0$ такой, что \[ C^* B(t) \equiv 0, \quad t \in [0; T]. \] Рассмотрим квадратичную форму \[ \begin{aligned} C^* A C &= \int\limits_0^T C^* B(\tau) B^*(\tau) C d\tau \\ &= \int\limits_0^T \norm{C^* B(\tau)}^2 d\tau \\ &= 0, \end{aligned} \] то есть $C^* A C = 0$. В силу того, что $C \neq 0$, имеем $AC = 0$, то есть столбцы матрицы $A$ линейно зависимы, поэтому $\det A = 0$, что противоречит исходному предположению.

От противного. Пусть строки матрицы $B(t)$ линейно независимы на $[0;T]$, но $\det A = 0$. Тогда существует $C \neq 0$ такой, что \[ A C = 0, \] поэтому \[ \begin{aligned} 0 &= C^* A C \\ &= \int\limits_0^T C^* B(\tau) B^*(\tau) C d\tau \\ &= \int\limits_0^T \norm{C^* B(\tau)}^2 d\tau, \end{aligned} \] откуда следует, что для некоторого ненулевого $C$ выполняется тождество \[ C^* B(t) \equiv 0, \qquad t \in [0;T], \] что вступает в противоречие с предположением линейной независимости строк $B(t)$ на $[0; T]$.

Строки матрицы $B(t)$ линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют \[ 0 \leqslant t_1 \leqslant t_2 \leqslant \cdots \leqslant t_m \leqslant T, \quad m \leqslant n \] такие, что \[ \rank \left[ B(t_1), B(t_2), \dots, B(t_m) \right] = n. \]

Простейшая задача оптимального управления

Рассмотрим полностью управляемую линейную систему \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u + f(t). \] Для сравнения движений системы и соответствующих программных управлений введём критерий оценки качества управления в виде функционала \[ J[u(t)] := \int\limits_0^T u^*(\tau) u(\tau) d\tau, \] который назовём интенсивностью управления.

Найти программное управление $u(t)$, минимизирующее функционал $J[u(t)]$.

В семестве программных управлений \[ u(t) = B^*(t) C + V(t), \quad \text{причём} \quad \int\limits_0^T B(\tau) V(\tau) d\tau = 0, \] будем искать $\widetilde u(t)$ такое, что $\min J[u(t)] = J[\widetilde u(t)]$. Подставим: \[ \begin{aligned} J[u(t)] &= \int\limits_0^T \paren{C^* B(\tau) + V^*(\tau)} \paren{B^*(\tau) C + V(\tau)} d\tau \\ &= \phantom{+} \int\limits_0^T C^* \overbrace{B(\tau) B^*(\tau)}^{=A} C d\tau + \cancel{\int\limits_0^T C^* B(\tau) V(\tau) d\tau} \\ &\phantom{=} + \cancel{\int\limits_0^T V^*(\tau) B^*(\tau) d\tau} + \int\limits_0^T V^*(\tau) V(\tau) d\tau \\ &= C^* A C + \underbrace{ \int\limits_0^T V^*(\tau) V(\tau) d\tau }_{\displaystyle \geqslant 0}. \end{aligned} \] Первое слагаемое не зависит от управления, а из свойств матрицы $A$ известно, что для любого $C$ \[ C^* A C \geqslant 0, \] поэтому минимум достигается при $V(t) \equiv 0$, то есть \[ \min J[u(t)] = C^* A C, \] следовательно, $\widetilde u(t) = B^*(t) C$ — оптимальное по отношению к функционалу $J$ управление.

Определение: область управляемости

Рассмотрим полностью управляемую линейную однородную систему \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u, \qquad f(t) \equiv 0. \] Введём ограничение на интенсивность управления: \[ \int\limits_0^T u^*(\tau) u(\tau) d\tau \leqslant \mu, \quad \text{где} \quad \mu \gt 0. \]

Областью управляемости $\mathcal{A}$ называют множество точек $x_0$, из которых можно попасть в начало координат при помощи управления с ограниченной интенсивностью.

Построить область управляемости.

Пусть $x_0 \in \mathcal{A}$. Система полностью управляема, поэтому можно построить программное управление для точек $(x_0, \vb{0})$ в виде \[ u(t) = B^*(t) C. \]

Если $V(t) \not\equiv 0$, то значение функционала станет больше, следовательно, мы не учтём некоторые точки из области управляемости.

Так как $x_1 = \vb{0}$, то \[ \eta = \cancel{Y^{-1}(T) \underbrace{x_1}_{=0}} - x_0 - \cancel{\int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) \underbrace{f(\tau)}_{\equiv 0} d\tau} = - x_0. \] Из теоремы о полной управляемости линейной системы следует невырожденность матрицы $A$, поэтому $C = A^{-1} \eta$, а управление запишется в виде \[ u(t) = B^*(t) C = B^*(t) A^{-1} \eta = - B^*(t) A^{-1} x_0. \] Подставим его в уравнение интенсивности: \[ \begin{aligned} \int\limits_0^T u^*(\tau) u(\tau) d\tau &= \int\limits_0^T x_0^* (A^{-1})^* \overbrace{B(\tau) B^*(\tau)}^{=A} A^{-1} x_0 d\tau \\ &= x_0^* (A^{-1})^* A A^{-1} x_0 \\ &= x_0^* (A^{-1})^* x_0 \\ &= x_0^* (A^*)^{-1} x_0 \\ &= x_0^* A^{-1} x_0 \leqslant \mu. \end{aligned} \]

Свойство обратной матрицы: $(A^{-1})^* = (A^*)^{-1}$.

Таким образом, область управляемости $\mathcal{A}$ имеет следующий вид: \[ \mathcal{A}: \set{x_0 | x_0^* A^{-1} x_0 \leqslant \mu}, \] то есть $\mathcal{A}$ — эллипс с центром в начале координат.

Определение: область достижимости

Рассмотрим полностью управляемую линейную однородную систему \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u, \qquad f(t) \equiv 0. \] Введём ограничение на интенсивность управления: \[ \int\limits_0^T u^*(\tau) u(\tau) d\tau \leqslant \mu, \quad \text{где} \quad \mu \gt 0. \]

Областью достижимости $\mathcal{D}$ называется множество точек $x_1$, в которые можно попасть из начала координат при помощи программного управления $u(t)$ ограниченной интенсивности.

Построить область достижимости.

Построение проводится аналогично области управляемости.

Задачу о построении программного управления, переводящего систему из $x_0 = 0$ в $x_1 \neq 0$ заменой $y = x - x_1$ можно свести к задачу о переводе системы из $y_0 = -x_1$ в $y_1 = 0$.

Вывод свойства выпуклости множества достижимости

Рассмотрим линейную систему \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u + f(t). \] Введём ограничение на интенсивность управления: \[ \int\limits_0^T u^*(\tau) u(\tau) d\tau \leqslant \mu, \quad \text{где} \quad \mu \gt 0. \]

Область достижимости $\mathcal{D}$ выпукла: \[ \forall x_1, x_2 \in \mathcal{D} \quad \alpha x_2 + (1 - \alpha) x_1 \in \mathcal{D}, \quad \alpha \in [0; 1]. \]

Проверяется подстановкой: элемент области достижимости должен быть 1) программным управлением 2) ограниченной интенсивности. Из двух элементов надо собрать условия для нового.

Так как $x_1, x_2 \in \mathcal{D}$, то существуют программные управления $u_1(t), u_2(t)$ ограниченной интенсивности, переводящие начало координат в $x_1$ и $x_2$ соответственно.

$u_1, u_2$ — программные управления, поэтому \[ \begin{aligned} \int\limits_0^T B(\tau) u_1(\tau) d\tau &= \eta(0, x_1) = Y^{-1}(T) x_1 - \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau \\ \int\limits_0^T B(\tau) u_2(\tau) d\tau &= \eta(0, x_2) = Y^{-1}(T) x_2 - \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau \\ \end{aligned} \] Умножим первое уравнение на $(1 - \alpha)$, второе — на $\alpha$ и сложим их: \[ \begin{aligned} \int\limits_0^T B(\tau) \underbrace{\left[ \alpha u_2(\tau) + (1 - \alpha) u_1(\tau) \right]}_{\doteq u_3(\tau)} d\tau &= (1-\alpha) \left[Y^{-1}(T) x_1 - \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau \right] \\ &\phantom{= (1} + \alpha \phantom{)} \left[Y^{-1}(T) x_2 - \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau \right] \\ \int\limits_0^T B(\tau) u_3(\tau) d\tau &= Y^{-1}(T) \left[\alpha x_2 + (1 - \alpha) x_1\right] - \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau. \end{aligned} \] Таким образом, управление $u_3(t)$ переводит систему из начала координат в точку $x_3 := \alpha x_2 + (1 - \alpha) x_1$.

Проверим интенсивность управления $u_3(t)$ на ограниченность: \[ \begin{aligned} \int\limits_0^T u_3^*(\tau) u_3(\tau) d\tau &= \int\limits_0^T \left[ \alpha u_2^*(\tau) + (1 - \alpha) u_1^*(\tau) \right] \left[ \alpha u_2(\tau) + (1 - \alpha) u_1(\tau) \right] d\tau \\ &= \alpha^2 \int\limits_0^T u_2^*(\tau) u_2(\tau) d\tau + (1 - \alpha)^2 \int\limits_0^T u_1^*(\tau) u_1(\tau) d\tau \\ &\phantom{=} + \, \alpha(1 - \alpha) \left[ \int\limits_0^T u_2^*(\tau) u_1(\tau) d\tau + \int\limits_0^T u_1^*(\tau) u_2(\tau) d\tau \right] \\ &= \alpha^2 \underbrace{ \int\limits_0^T u_2^*(\tau) u_2(\tau) d\tau }_{\leqslant\, \mu} + (1 - \alpha)^2 \underbrace{ \int\limits_0^T u_1^*(\tau) u_1(\tau) d\tau }_{\leqslant\, \mu} \\ &\phantom{=} + \, 2\alpha(1 - \alpha) \int\limits_0^T u_1^*(\tau) u_2(\tau) d\tau \\ &\leqslant \alpha^2 \mu + (1 - \alpha)^2 \mu + 2\alpha(1 - \alpha) \int\limits_0^T u_1^*(\tau) u_2(\tau) d\tau. \end{aligned} \]

Введём скалярное произведение: \[ (u_i, u_j) \bydef = \int\limits_0^T u_i^*(\tau) u_j(\tau) d\tau \] и порождённую им норму \[ \norm{u} \bydef = \sqrt{(u, u)} = \sqrt{\int\limits_0^T u_i^*(\tau) u_j(\tau) d\tau}. \] Из неравенства Коши-Буняковского следует, что \[ \abs{(u_i, u_j)} \leqslant \norm{u_i} \cdot \norm{u_j} = \sqrt{\int\limits_0^T u_1^*(\tau) u_1(\tau) d\tau} \cdot \sqrt{\int\limits_0^T u_2^*(\tau) u_2(\tau) d\tau} \leqslant \sqrt{\mu} \cdot \sqrt{\mu} = \mu, \] поэтому \[ \begin{aligned} \int\limits_0^T u_3^*(\tau) u_3(\tau) d\tau &\leqslant \alpha^2 \mu + (1 - \alpha)^2 \mu + 2\alpha(1 - \alpha) \int\limits_0^T u_1^*(\tau) u_2(\tau) d\tau \\ &\leqslant \alpha^2 \mu + (1 - \alpha)^2 \mu + 2\alpha(1 - \alpha) \mu \\ &= \mu \paren{\alpha^2 + 2 \alpha (1 - \alpha) + (1 - \alpha)^2} \\ &= \mu \paren{\cancel \alpha + (1 - \cancel \alpha)}^2 \\ &= \mu. \end{aligned} \]

Значит, $x_3 \in \mathcal{D}$, то есть область достижимости выпукла.

Теорема: достаточное условие полной управляемости

Рассмотрим линейную систему \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u + f(t). \] Составим вспомогательные матрицы: \[ \begin{aligned} S_0(t) &\bydef = Q(t) \\ S_1(t) &= \dot{S}_0(t) - P(t) S_0(t) \\ &\phantom{=} \dots \\ S_{n-1}(t) &= \dot{S}_{n-2}(t) - P(t) S_{n-2}(t). \end{aligned} \] Из них составим матрицу $S(t) = \left[ S_0(t), \dots, S_{n-1}(t) \right]$.

Система полностью управляема на $[0; T]$, если \[ \exists \tau \in [0;T]: \qquad \rank S(\tau) = n. \]

От противного: собираем условие тождественности нулю каждого из блоков матрицы $S$, получаем противоречие.

От противного: предположим, что \[ \exists \tau \in [0;T]: \qquad \rank S(\tau) = n, \] но система не является полностью управляемой.

Тогда из теоремы о полной управляемости системы следует, что $\det A = 0$, что влечёт за собой линейную зависимость строк матрицы $B(t)$ (см. свойства матрицы $A$): \[ \exists C \neq \vb{0}: \quad C^* B(t) \equiv 0. \] По определению $B(t) = Y^{-1}(t) Q(t) = Y^{-1}(t) S_0(t)$, поэтому \[ C^* Y^{-1}(t) S_0(t) \equiv 0. \]

Рассмотрим теперь уравнение \[ C^* \dot{B}(t) \equiv 0; \quad \dot{B}(t) = \dot{Y}^{-1}(t) Q(t) + Y^{-1} \dot{Q}(t). \] Найдём выражение для $\dot Y^{-1}(t)$: продифференцируем уравнение \[ Y^{-1}(t) Y(t) = E, \] получим \[ \dot Y^{-1}(t) Y(t) + Y^{-1}(t) \dot Y(t) = 0. \] Фундаментальная матрица удовлетворяет однородной линейной системе: $\dot Y(t) = P(t) Y(t)$, поэтому \[ \dot Y^{-1}(t) Y(t) + Y^{-1}(t) P(t) Y(t) = 0. \] Домножим справа на $Y^{-1}(t)$: \[ \dot Y^{-1}(t) = - Y^{-1}(t) P(t). \] Тогда \[ \begin{aligned} \dot{B}(t) &= \phantom - \dot{Y}^{-1}(t) Q(t) + Y^{-1} \dot{Q}(t) \\ &= - Y^{-1}(t) P(t) S_0(t) + Y^{-1} \dot S_0(t) \\ &= \phantom - Y^{-1}(t) \left[\dot S_0(t) - P(t) S_0(t) \right] \\ &= \phantom - Y^{-1}(t) S_1(t), \end{aligned} \] откуда \[ C^* \dot B(t) = C^* Y^{-1}(t) S_1(t) \equiv 0. \]

Аналогичными рассуждениями приходим к выводу, что \[ C^* Y^{-1}(t) S_k(t) \equiv 0, \quad k = \overline{0, n-1}, \] поэтому \[ C^* Y^{-1}(t) S(t) \equiv 0. \]

Рассмотрим последнее тождество в точке $\tau \in [0; T]$: \[ C^* Y^{-1}(\tau) S(\tau) = 0. \] Введя обозначение \[ \gamma^* := C^* Y^{-1}(\tau) \neq 0, \] получим \[ \gamma^* S(\tau) = 0, \implies \rank S \lt n, \] но $\rank S = n$ — пришли к противоречию.

Критерий Калмана полной управляемости линейной стационарной системы

Рассмотрим линейную стационарную систему \[ \dot{x} = P x + Q u + f(t). \] Составим вспомогательные матрицы: \[ \begin{aligned} S_0(t) &= Q(t) &&= Q \\ S_1(t) &= \dot{S}_0(t) - P(t) S_0(t) &&= -PQ \\ &\phantom{=} \dots \\ S_{n-1}(t) &= \dot{S}_{n-2}(t) - P(t) S_{n-2}(t) &&= (-1)^{n-1} P^{n-1} Q. \end{aligned} \] Из них составим матрицу Калмана \[ S = \left[ Q, -PQ, P^2 Q, \dots, (-1)^{n-1} P^{n-1} Q \right] \cong \left[ Q, PQ, P^2 Q, \dots, P^{n-1} Q \right]. \]

Нам интересен только ранг матрицы $S$, поэтому опускаем знаки.

(критерий Калмана). Линейная стационарная система полностью управляема на $[0; T]$ тогда и только тогда, когда $\rank S = n$.

От противного: предполагая, что $\rank S \lt n$, раскладываем матрицу $B(t)$ в ряд, пользуясь тем, что фундаментальная матрица стационарной системы представляется как $e^{Pt}$, и показываем, что в этом случае строки матрицы $B(t)$ ЛНЗ.

Следует из достаточного условия управляемости линейной системы.

Пусть система полностью управляема. Предположим, что $\rank S \lt n$, то есть \[ \exists C \neq 0: \quad C^* S = 0, \] тогда \[ C^* Q = 0, \quad C^* PQ = 0, \dots, \quad C^* P^{n-1}Q = 0. \]

Система полностью управляема, поэтому $\det A \neq 0$, следовательно, строки $B(t)$ линейно независимы (см. свойства матрицы $A$).

В силу стационарности системы $Y(t) = e^{Pt}$, поэтому \[ C^* B(t) = C^* Y^{-1}(t) Q = C^* e^{-Pt} Q = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-t)^k C^* P^k Q}{k!}. \]

Рассмотрим матрицу $P^n$ с характеристическим многочленом \[ \lambda^n + \alpha_1 \lambda^{n-1} + \dots + \alpha_n = 0. \] По теореме Гамильтона-Кэли \[ P^n + \alpha_1 P^{n-1} + \dots + \alpha_n = 0, \] или \[ P^n = - \alpha_1 P^{n-1} - \alpha_2 P^{n-2} - \dots - \alpha_n. \]

Тогда \[ \begin{aligned} C^* P^n Q &= C^* \paren{ - \alpha_1 P^{n-1} - \alpha_2 P^{n-2} - \dots - \alpha_n } Q \\ &= -\alpha_1 \underbrace{C^* P^{n-1} Q}_{=0} -\alpha_2 \underbrace{C^* P^{n-2} Q}_{=0} - \dots -\alpha_n \underbrace{C^* Q}_{=0} = 0. \end{aligned} \]

Аналогично $C^* P^k Q = 0$ для любого $k \in \N$, поэтому \[ C^* B(t) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-t)^k C^* P^k Q}{k!} = 0, \] откуда следует линейная зависимость строк $B(t)$ — противоречие.

Уточнённый критерий Калмана полной управляемости линейной стационарной системы

Рассмотрим линейную стационарную систему \[ \dot{x} = Px + Qu + f(t), \] построим матрицу Калмана $S = \left[ Q, PQ, P^2 Q, \dots, P^{n-1} Q \right]$.

Если \[ \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{k-1} Q \right] = \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{k-1} Q, P^k Q\right], \] то дальнейшее добавление блоков $P^{k+i} Q$, где $i \in \N$, не увеличит ранга матрицы.

Пользуясь теоремой Кронекера-Капелли, показываем, что все дальнейшие блоки можно представить как линейную комбинацию уже имеющихся.

Введём обозначение: \[ P^k Q =: (q_1, \dots, q_r), \quad \text{где} \quad q_k - \text{столбцы}. \] Тогда из теоремы Кронекера-Капелли следует, что \[ q_s = Q \alpha_0^{(s)} + PQ \alpha_1^{(s)} + \cdots + P^{k-1} Q \alpha_{k-1}^{(s)} \quad \forall s = \overline{1, r}. \] Так как $P^{k+1} Q = P \cdot P^k Q$, то \[ P q_s = P Q \alpha_0^{(s)} + P^2 Q \alpha_1^{(s)} + \cdots + P^k Q \alpha_{k-1}^{(s)} \quad \forall s = \overline{1, r}, \] откуда, по теореме Кронекера-Капелли, \[ \begin{aligned} \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{k-1} Q \right] &= \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{k-1} Q, P^k Q\right] \\ &= \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^k Q, P^{k+1} Q\right]. \end{aligned} \] Аналогичные рассуждения можно привести для всех $i \geqslant 2$.

(Уточнённый критерий Калмана) Линейная стационарная система полностью управляема тогда и только тогда, когда \[ \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{n-l} Q \right] = n, \quad \text{где} \quad l = \rank Q. \]

Необходимость: пользуемся предыдущей леммой — показываем, что рано или поздно сможем получить нужный ранг, иначе противоречие.
Достаточность: если ранг уже равен $n$, то он полный, и дальше нет смысла добавлять блоки.

Пусть система полностью управляема, тогда по критерию Калмана \[ \rank S = n. \] По условию $\rank Q = l \lt n$. Добавим блок — рассмотрим $\rank [Q, PQ]$. Если \[ \rank Q = \rank [Q, PQ] = l, \] то по предыдущей лемме дальнейшее добавление блоков его не увеличит, поэтому \[ \rank Q = \rank S = l \lt n, \] что противоречит условию полной управляемости системы. Таким образом, \[ \rank Q \lt \rank [Q, PQ] \leqslant n. \]

При добавлении блоков $P^k Q$ справа количество строк блочной матрицы не увеличивается, значит, её ранг не может превосходить $n$.

Ранг увеличился минимум на единицу, поэтому \[ \rank [Q, PQ] = l + m, \quad m \in \N. \] Если $l + m = n$, то есть $\rank [Q, PQ] = n$, то он полный, поэтому добавление блоков его не изменит: \[ \rank [Q, PQ] = \rank S = n, \] откуда следует полная управляемость.

Предположим, он увеличился на единицу: \[ \rank [Q, PQ] = l + 1 \lt n \] Проводя аналогичные рассуждения, через $n - l$ шагов гарантированно получим, что \[ \rank [Q, PQ, \dots, P^{n-l} Q] = n. \]

Пусть $\rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{n-l} Q \right] = n$. Он полный, поэтому добавление блоков его не изменит: \[ \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{n-l} Q \right] = \rank S = n, \] значит, по критерию Калмана система полностью управляема.

Декомпозиция линейной управляемой системы

Рассмотрим линейную стационарную систему \[ \dot{x} = Px + Qu + f(t). \] Пусть она не полностью управляема, то есть $\rank S = m \lt n$.

Линейная оболочка $\Lin S$ — инвариантное подпространство относительно умножения на матрицу $P$ слева: \[ \forall l \in \Lin S: \quad P\, l \in \Lin S. \]

Пользуясь теоремой Гамильтона-Кэли, показываем, что $P^n q_i$ можно представить как линейную комбинацию элементов линейной оболочки.

Обозначим столбцы матрицы $Q = (q_1, \dots, q_r)$. Тогда \[ \Lin S = \left\lang Q, PQ, \dots, P^{n-1} Q \right\rang = \left\lang \underbrace{q_1, \dots, q_r}_{Q}, \underbrace{P q_1, \dots, P q_r}_{P Q}, \dots, \underbrace{P^{n-1} q_1, \dots, P^{n-1} q_r}_{P^{n-1} Q} \right\rang. \] По построению видно, что для всех $k = \overline{0, n-2}$ \[ P^k q_i \in \Lin S \implies P^{k+1} q_i \in \Lin S, \quad i = \overline{1,r}. \] Значит, остаётся проверить случай $k = n-1$. Рассмотрим \[ P^{n-1} q_i \in \Lin S, \quad i \in \overline{1, r}. \] Запишем характеристический полином матрицы $P^n$: \[ \lambda^n + \alpha_1 \lambda^{n-1} + \cdots + \alpha_{n-1} \lambda + \alpha_n = 0. \] Из теореме Гамильтона-Кэли следует, что \[ P^n = -\alpha_1 P^{n-1} - \alpha_2 P^{n-2} - \cdots - \alpha_n E. \] Домножим справа на $q_i$: \[ P^n q_i = -\alpha_1 P^{n-1} q_i - \alpha_2 P^{n-2} q_i - \cdots - \alpha_n q_i. \] Значит, $P^n q_i$ является линейной комбинацией векторов $q_i, P q_i, \dots, P^{n-1} q_i$, откуда \[ P \cdot P^{n-1} q_i = P^n q_i \in \Lin S. \]

Если $\rank S = m \lt n$, то существует неособое преобразование переменных $x$, приводящее к декомпозиции системы \[ \dot{x} = Px + Qu + f(t) \] на управляемую и неуправляемую части.

Дополняем базис линейной оболочки до базиса всего пространства, собираем из него матрицу $T$ и показываем, что после преобразования $x = T y$ действительно произошла декомпозиция.

Рассмотрим линейную оболочку $\Lin S$. В неё входит $m$ линейно независимых векторов, обозначим их как $s_1, \dots, s_m$. Дополним этот набор до базиса $\mathbb{E}^n$ векторами $\widetilde{s}_{m+1}, \dots, \widetilde{s}_n$. Обозначим \[ T := \left[ s_1, \dots, s_m, \widetilde{s}_{m+1}, \dots, \widetilde{s}_n \right] \] и проведём замену переменных $x = Ty$, тогда \[ T \dot{y} = P T y + Q u + f(t), \] матрица $T$ невырождена, поэтому домножим на $T^{-1}$ слева: \[ \dot{y} = T^{-1} P T y + T^{-1} Q u + T^{-1} f(t). \] Введя обозначения \[ \widetilde{P} := T^{-1} P T, \quad \widetilde{Q} := T^{-1} Q, \quad \widetilde{f}(t) := T^{-1} f(t), \] перепишем стационарную систему: \[ \dot{y} = \widetilde{P} y + \widetilde{Q} u + \tilde{f}(t). \]

Выясним структуру матриц $\widetilde{P}$ и $\widetilde{Q}$.

Начнём с $\widetilde{P} = T^{-1} P T$. Обозначим её столбцы как $\widetilde{P} = \paren{ \tilde{p}_1, \dots, \tilde{p}_m, \tilde{p}_{m+1}, \dots, \tilde{p}_n }$.

Рассмотрим уравнение $T \widetilde{P} = P T$ по столбцам:

$T \tilde{p}_1 = P s_1$. Так как $s_1 \in \Lin S$, по лемме $P s_1 \in \Lin S$, поэтому $T \tilde{p}_1$ представим в виде линейной комбинации векторов $(s_1, \dots, s_m)$.
Аналогично для $\tilde{p}_2, \dots, \tilde{p}_m$.
Рассмотрим $T \tilde{p}_{m+1} = P \tilde{s}_{m+1}$. Так как $\tilde{s}_{m+1} \not\in \Lin S$ и $P \tilde{s}_{m+1} \not\in \Lin S$, вектор $\tilde{p}_{m+1}$ раскладывается по столбцам $T$.
Аналогично для $\tilde{p}_{m+2}, \dots, \tilde{p}_n$.

Значит, \[ \widetilde{P} = \paren{ \begin{array}{ccc|ccc} \tilde{p}_{1,1} & \dots & \tilde{p}_{1,m} & \tilde{p}_{1,m+1} & \dots & \tilde{p}_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{p}_{m,1} & \dots & \tilde{p}_{m,m} & \tilde{p}_{m,m+1} & \dots & \tilde{p}_{m,n} \\ \hline 0 & \dots & 0 & \tilde{p}_{m+1,m+1} & \dots & \tilde{p}_{m+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & \tilde{p}_{n,m+1} & \dots & \tilde{p}_{n,n} \end{array} } = \paren{ \begin{array}{cc} P_{11} & P_{12} \\ 0_{(n-m) \times (n-m)} & P_{22} \end{array} }. \]

Выясним теперь структуру матрицы $\widetilde{Q} = \paren{\tilde{q}_1, \dots, \tilde{q}_r}$. Рассмотрим уравнение $T \widetilde{Q} = Q$ по столбцам:

$T \tilde{q}_1 = q_1$. Так как $q_1 \in \Lin S$, вектор $\tilde{q}_1$ представим в виде линейной комбинации векторов $(s_1, \dots, s_m)$.
Аналогично для $\tilde{q}_2, \dots, \tilde{q}_r$.

Таким образом, \[ \widetilde{Q} = \paren{ \begin{array}{ccc} \tilde{q}_{1,1} & \dots & \tilde{q}_{1, r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{q}_{m,1} & \dots & \tilde{q}_{m, r} \\ 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 \end{array} } = \paren{ \begin{array}{c} Q_1 \\ 0_{(n-m) \times (n-m)} \end{array} }. \]

Обозначив \[ y =: \paren{ \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array} } \quad \tilde{f} =: \paren{ \begin{array}{c} f_1(t) \\ f_2(t) \end{array} }, \] систему можно переписать в виде \[ \left\{ \begin{aligned} \dot{y}_1 &= P_{11} y_1 + Q_1 u && + P_{12} y_2 + f_1(t), \\ \dot{y}_2 &= && \phantom{+} P_{22} y_2 + f_2(t). \end{aligned} \right. \] Видно, что в первой системе управление есть, а во второй — нет.

Для управляемой подсистемы справедливо равенство \[ \rank [Q_1, P_{11} Q_1, \dots, P_{11}^{m-1} Q_1] = m. \]

Собираем $T$, она невырождена, поэтому $\rank S = \rank T^{-1}S$, но у последнего члены после $P_{11}^{m-1} Q_1$ линейно зависимы.

Случай $m = n$ тривиален: неуправляемая подсистема отсутствует, и равенство следует из критерия Калмана.

Пусть $\rank S = m \lt n$, то есть система не полностью управляема. Рассмотрим \[ T := \left[ s_1, \dots, s_m, \widetilde{s}_{m+1}, \dots, \widetilde{s}_n \right] \] и найдём структуру матрицы $T^{-1} S$:

$T^{-1} Q =: \widetilde{Q}$;
$T^{-1} PQ = T^{-1} P T \cdot T^{-1} Q =: \widetilde{P} \widetilde{Q}$;
$T^{-1} P^2 Q = T^{-1} P T \cdot T^{-1} P Q = \widetilde{P} \cdot \widetilde{P} \widetilde{Q} = \widetilde{P}^2 \widetilde{Q}$;
Дальше аналогично.

Получается, что \[ T^{-1} S = \paren{ \begin{array}{ccccc} Q_1 & P_{11} Q_1 & P_{11}^2 Q_1 & \dots & P_{11}^{n-1} Q_1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array} }, \] поэтому \[ \begin{aligned} \rank S = \rank T^{-1} S &= \rank \left[ Q_1, P_{11} Q_1, \dots, P_{11}^{m-1} Q_1, \underbrace{ P_{11}^m Q_1, \dots, P_{11}^{n-1} Q_1 }_{\text{линейно зависимы}} \right] \\ &= \rank \left[ Q_1, P_{11} Q_1, \dots, P_{11}^{m-1} Q_1 \right] \end{aligned} \]

Линейную зависимость можно показать, подставляя по теореме Гамильтона-Кэли матрицу $P_{11}^m$ в характеристический многочлен и получая линейную комбинацию, а потом по лемме о том, что добавление блоков не увеличивает ранг.

Критерий Хаутуса полной управляемости

Рассмотрим линейную стационарную систему \[ \dot{x} = Px + Qu + f(t). \]

(Критерий управляемости Хаутуса). Система полностью управляема тогда и только тогда, когда \[ \rank(sE - P, Q) = n \quad \forall s \in \mathbb{C}. \]

Обе ветки доказательства доказываются от противного:

Для необходимости собирается факт, что $\rank S \lt n$
Для достаточности декомпозируем систему на управляемую и неуправляемую подсистемы, причём $\widetilde P$ и $\widetilde Q$ — соответствующие матрицы после преобразования. Затем доказывается, что $\rank (\lambda E - P, Q) = \rank (\lambda E - \widetilde{P}, \widetilde{Q})$, но у последней строки ЛЗ.

Если $s$ не является собственным числом матрицы $P$, то равенство выполняется, поэтому будем рассматривать только случай $s = \lambda$, где $\lambda = \lambda(P)$.

Если система полностью управляема, то из критерия Калмана следует, что \[ \rank S = n. \] Предположим, что существует собственное число $\lambda_0$ такое, что \[ \rank \paren{\lambda_0 E - P, Q} \lt n, \] значит, строки матрицы $\paren{\lambda_0 E - P, Q}$ линейно зависимы: \[ \exists C \neq 0: \quad C^* \paren{\lambda_0 E - P, Q} = 0, \implies \left\{ \begin{aligned} C^* Q &= 0 \\ C^* P &= \lambda_0 C^*. \end{aligned} \right. \] Отсюда следует, что \[ \begin{aligned} &C^* \cdot P Q &&= \lambda_0 C^* Q &&= 0 \\ &C^* \cdot P^2 Q &&= \lambda_0 C^* P Q &&= 0 \\ & &&\dots \\ &C^* \cdot P^{n-1} Q &&= \lambda_0 C^* P^{n-2} Q &&= 0, \end{aligned} \] поэтому \[ C^* \left[ Q, PQ, \dots, P^{n-1} Q \right] = 0, \] значит, строки матрицы Калмана $S$ линейно зависимы: $\rank S \lt n$, что противоречит условию.

Пусть $\rank (\lambda E - P, Q) = n$.

Предположим, что система не полностью управляема, то есть $\rank S = m \lt n$. Тогда существует несобственное преобразование переменных $x = T y$, приводящее к декомпозиции системы на управляемую и неуправляемую подсистемы.

Обозначим за $\widetilde P$ и $\widetilde Q$ соответствующие матрицы системы после преобразования и выясним, чему равен $\rank (\lambda E - \widetilde{P}, \widetilde{Q})$: \[ (\lambda E - \widetilde{P}, \widetilde{Q}) = (\lambda T^{-1} T - T^{-1} P T, T^{-1} Q) = T^{-1} (\lambda T - P T, Q) = T^{-1} \left[(\lambda E - P) T, Q\right]. \] Матрица $T$ невырождена, поэтому $\rank (\lambda E - P, Q) = \rank (\lambda E - \widetilde{P}, \widetilde{Q}) = n$. Из этого факта можно сделать вывод, что строки матрицы $(\lambda E - \widetilde{P}, \widetilde{Q})$ линейно независимы.

Рассмотрим \[ \paren{\lambda E - \widetilde{P}, \widetilde{Q}} = \paren{ \begin{array}{ccc} \lambda E - P_{11} & P_{12} & Q_1 \\ 0 & \lambda E - P_{22} & 0 \\ \end{array} }. \] Выберем $\lambda$ так, чтобы оно было собственным числом матрицы $\lambda E - P_{22}$. В этом случае \[ \rank (\lambda E - P_{22}) \lt n - m, \] поэтому \[ \rank (\lambda E - P, Q) = \rank (\lambda E - \widetilde{P}, \widetilde{Q}) \lt n \] — противоречие.

Определение: векторная норма

$\norm{\cdot}$ — векторная норма, если:

$\norm{x} \geqslant 0; \quad \norm{x} = 0 \iff x = 0$.
$\forall \alpha \in \mathbb{C} \quad \norm{\alpha x} = \abs{\alpha} \norm{x}$.
$\norm{x + y} \leqslant \norm{x} + \norm{y}$.

Примеры векторной нормы

Манхэттенская норма: \[ \norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i} \]
Евклидова норма: \[ \norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n \abs{x_i}^2} \]
Норма Чебышева: \[ \norm{x}_\infty = \max\limits_i \abs{x_i} \]

Определение: матричная норма

$\norm{\cdot}$ — матричная норма, если:

$\norm{A} \geqslant 0; \quad \norm{A} = 0 \iff A = 0$.
$\forall \alpha \in \mathbb{C} \quad \norm{\alpha A} = \abs{\alpha} \norm{A}$.
$\norm{A + B} \leqslant \norm{A} + \norm{B}$.
$\norm{AB} \leqslant \norm{A} \norm{B}$.

Определение: подчинённая (индуцированная) матричная норма

Матричная норма $\norm{A}$ называется подчинённой (индуцированной) векторной норме $\norm{x}$, если \[ \norm{A} = \max\limits_{\norm{x} = 1} \norm{A x}. \]

Определение: согласованная матричная норма

Матричная норма $\norm{A}_{ab}$ называется согласованной с векторными нормами $\norm{x}_a$ и $\norm{x}_b$, если \[ \norm{A x}_a \leqslant \norm{A}_{ab} \cdot \norm{x}_b \]

Примеры матричной нормы

Порождённые нормы: $\norm{A}_p = \sup\limits_{\norm{x}_p = 1} \norm{A x}_p$:

$p = 1$: \[ \norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{A}_1 = \max\limits_j \paren{\sum_i \abs{a_{ij}}} \]
$p = 2$: \[ \norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n \abs{x_i}^2}. \] Если $A$ — квадратная, то подчинённая норма называется спектральной.
$\norm{A}_2 = \sqrt{\max\limits_k \lambda_k}$, где $\lambda_k$ — собственые числа матрицы $A^* A$.

Норма $\norm{\cdot}_2$ — порождённая, поэтому \[ \norm{A}_2 \bydef = \max\limits_{\norm{x}_2 = 1} \paren{\sqrt{x^* A^* A x}}. \] Возведём в квадрат: \[ \norm{A}_2^2 = \max\limits_{\norm{x}_2 = 1} \paren{x^* A^* A x}. \] Упорядочим собственные числа матрицы $A^* A$: \[ \lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \dots \geqslant \lambda_n. \] Проведём ортонормированную замену: $x = P y$, тогда \[ \begin{aligned} \norm{A}_2^2 &= \max\limits_{\norm{x}_2 = 1} \paren{x^* A^* A x} \\ &= \max\limits_{\norm{y}_2 = 1} \paren{y^* \underbrace{P^* A^* A P}_{\text{диагонализация}} y} \\ &= \max\limits_{\norm{y}_2 = 1} \paren{ \sum_{k=1}^n \lambda_k y_k^2 }. \end{aligned} \] Так как $\norm{y}_2 = 1$, то \[ \norm{y}_2 \bydef = \sqrt{\sum_{k=1}^n y_k} = 1, \implies y_1^2 = 1 - \sum_{k=2}^n y_k^2. \] Домножив на $\lambda_1$, получим \[ \lambda_1 y_1^2 = \lambda_1 - \sum_{k=2}^n \lambda_1 y_k^2. \] Тогда \[ \begin{aligned} \norm{A}_2^2 &= \max\limits_{\norm{y}_2 = 1} \paren{\sum_{k=1}^n \lambda_k y_k^2} \\ &= \max\limits_{\norm{y}_2 = 1} \paren{ \lambda_1 y_1^2 + \sum_{k=2}^n \lambda_k y_k^2 } \\ &= \max\limits_{\norm{y}_2 = 1} \paren{\lambda_1 - \sum_{k=2}^n \lambda_1 y_k^2 + \sum_{k=2}^n \lambda_k y_k^2} \\ &= \max\limits_{\norm{y}_2 = 1} \paren{\lambda_1 + \sum_{k=2}^n \underbrace{(\lambda_k - \lambda_1)}_{\leqslant 0} y_k^2} \\ &= \lambda_1. \end{aligned} \] Таким образом, $\norm{A}_2 = \sqrt{\lambda_1}$.

Если $A = \diag \paren{A_1, \dots, A_m}$ то $\norm{A} = \max\limits_k \norm{A_k}$.
$p = \infty$: \[ \norm{x}_\infty = \max\limits_i \abs{x_i}, \qquad \norm{A}_\infty = \max\limits_i \paren{\sum_j \abs{a_{ij}}} \]

Евклидова норма \[ \norm{A} = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij}^2} \] согласована с векторной нормой \[ \norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n \abs{x_i}^2}. \]

Матричная экспонента

Рассмотрим линейную стационарную систему \[ \dot{x} = P x + Q u + f(t). \] Фундаментальная матрица соответствующей однородной системы может быть представлена в виде \[ Y(t) = e^{Pt} \bydef = \sum_{k=0}^\infty \frac{P^k t^k}{k!}. \]

Предположим, что $J$ — жорданова нормальная форма матрицы $P$. Тогда \[ J = \diag (J_1, \dots, J_m). \] Каждую жорданову клетку можно представить в виде \[ J_k = \paren{ \begin{array}{ccccc} \lambda_k & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_k & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_k & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_k & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda_k \end{array} }_{n_k \times n_k} = \lambda_k E + \paren{ \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{array} }_{n_k \times n_k} = \lambda_k E + I_k, \] где $n_k$ — кратность соответствующего собственного числа, а $I_k$ называют матрицей сдвига. Она нильпотентна: \[ I_k^{n_k} = 0, \] поэтому \[ e^{J_k t} = e^{\lambda_k E t} e^{I_k t} = e^{\lambda_k t} \sum_{m=0}^{n_k - 1} \frac{t^m I_k^m}{m!}. \]

Свойства матричной экспоненты

Фундаментальная матрица $Y(t) = C e^{Pt}$, нормированная в нуле ($Y(0) = E$), называется матрицантом.
Если матрицы $A, B$ коммутируют: \[ \left[A, B\right] = AB - BA = 0, \] то \[ e^{(A + B) t} = e^{A t} e^{B t} = e^{B t} e^{A t}. \]
${\displaystyle \det e^{Pt} = e^{t \Sp P}}$, где $\Sp P$ — след матрицы.
Справедливо неравенство: \[ \norm{e^{Pt}} \leqslant e^{\abs{t} \norm{P}}. \]
\[ \norm{e^{Pt}} \bydef = \norm{\sum_{k=0}^\infty \frac{P^k t^k}{k!}} \leqslant \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \paren{\abs{t} \norm{P}}^k = e^{\abs{t} \norm{P}}. \]
Если $P = S J S^{-1}$, где $S$ — невырожденная матрица, то \[ e^{Pt} = S e^{J t} S^{-1}. \]

Лемма об оценке матричной нормы

Считаем, что $t \geqslant 0$.

Рассмотрим жорданову клетку $J$, пусть соответствующее собственное число имеет вид $\lambda = \alpha + i \beta$, и кратность $n$, тогда \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists C = C(\varepsilon) \gt 0: \qquad \norm{e^{J t}} \leqslant C e^{(\alpha + \varepsilon) t}. \]

Жорданова клетка раскладывается в ряд, умножается на $e^\varepsilon \cdot e^{-\varepsilon}$, после чего показывается ограниченность нужного множителя.

\[ \norm{e^{J t}} = \abs{e^{\lambda t}} \norm{\sum_{k=0}^{n - 1} \frac{t^k I^k}{k!}} \leqslant e^{\alpha t} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{t^k}{k!} \norm{I}^k = e^{\alpha t} e^{\varepsilon t} \cdot e^{-\varepsilon t} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{t^k}{k!} \] Множитель ${\displaystyle e^{-\varepsilon t} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{t^k}{k!}}$ ограничен при $\varepsilon \gt 0$ и $t \geqslant 0$, то есть \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists C = C(\varepsilon) \gt 0: \qquad e^{-\varepsilon t} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{t^k}{k!} \leqslant C, \] поэтому \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists C = C(\varepsilon) \gt 0: \qquad \norm{e^{J t}} \leqslant C e^{(\alpha + \varepsilon) t}. \]

Теорема: оценка нормы матричной экспоненты

Обозначим собственные числа матрицы $P$ как $\lambda_k = \alpha_k + i \beta_k$. Положим \[ \alpha := \max\limits_{k} \alpha_k, \] тогда \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \gamma = \gamma(\varepsilon) \gt 0: \qquad \norm{e^{P t}} \leqslant \gamma e^{(\alpha + \varepsilon) t}. \]

Матрица преобразуется в ЖНФ, после чего используется тот факт, что норма диагональной матрицы равна максимуму норм диагональных элементов, а дальше идёт оценка этого максимального элемента.

Пусть $S$ — невырожденная матрица такая, что $P = S J S^{-1}$, тогда \[ e^{Pt} = S e^{J t} S^{-1}, \implies \norm{e^{Pt}} \leqslant \norm{S} \cdot \norm{e^{J t}} \cdot \norm{S^{-1}}. \] Так как $e^{Jt} = \diag \paren{e^{J_1 t}, \dots, e^{J_m t}}$, то \[ \norm{e^{Jt}} = \max\limits_k \norm{e^{J_k t}}. \] Из леммы об оценке матричной нормы известно, что для всех $k = \overline{1, m}$ \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists C_k = C_k(\varepsilon) \gt 0: \qquad \norm{e^{J_k t}} \leqslant C_k e^{(\alpha_k + \varepsilon) t}. \] Положим \[ \alpha := \max\limits_{k} \alpha_k, \quad \text{соответственно} \quad C(\varepsilon) := \max\limits_{k} C_k(\varepsilon) \quad \forall \varepsilon \gt 0, \] тогда \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists C = C(\varepsilon) \gt 0: \qquad \norm{e^{Jt}} \leqslant C e^{(\alpha + \varepsilon) t}. \] Обозначив $\gamma = \norm{S} \cdot \norm{S^{-1}} \cdot C$, получим \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \gamma = \gamma(\varepsilon) \gt 0: \qquad \norm{e^{Pt}} \leqslant \gamma e^{(\alpha + \varepsilon) t}. \]

Определение: бесконечно малый высший предел

Говорят, что функция $V(t,x)$ допускает бесконечно малый высший предел (б.м.в.п.), если

$V(t,0) \equiv 0$;
$\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0: \quad \forall t \geqslant 0, \; x: \norm{x} \lt \delta \qquad \abs{V(t,x)} \lt \varepsilon$.

Определение: экспоненциальная устойчивость нулевого решения системы ОДУ

Рассмотрим систему ОДУ \[ \dv{x}{t} = f(t,x). \] Будем считать, что \[ f(t,x) \in C\set{ (t,x): \; t \geqslant 0, \; \norm{x} \lt H}, \quad \text{где} \quad H \gt 0, \] и $f(t,0) \equiv 0$.

Говорят, что $x = 0$ экспоненциально устойчиво, если существует $h \gt 0$ такое, что для любого начального условия \[ (t_0, x_0) \in \set{ (t,x): \; t \geqslant 0, \; \norm{x} \lt h \lt H} \] выполнено \[ \norm{x(t, t_0, x_0)} \leqslant N \norm{x_0} e^{-\alpha (t - t_0)}, \] где $N, \alpha \gt 0$ не зависят от выбора $x(t)$.

Теорема Ляпунова об устойчивости

Рассмотрим систему (1) \[ \dv{x}{t} = f(t,x) \] и некоторую окрестность точки $x=0$: \[ Z = \set{ (t,x): \; t \geqslant 0, \; \norm{x} \lt H}, \quad \text{где} \quad H \gt 0. \]

Если существует положительно определённая функция $V(t,x) \in C^1(Z)$ такая, что \[ \at{\dv{V}{t}}{(1)} = W(t,x), \] где $W(t,x)$ — неположительно определённая функция, то нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпунову.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости

Рассмотрим систему (1) \[ \dv{x}{t} = f(t,x) \] и некоторую окрестность точки $x=0$: \[ Z = \set{ (t,x): \; t \geqslant 0, \; \norm{x} \lt H}, \quad \text{где} \quad H \gt 0. \]

Если существует положительно определённая функция $V(t,x) \in C^1(Z)$, допуская б.м.в.п., а также \[ \at{\dv{V}{t}}{(1)} = W(t,x), \] где $W(t,x)$ — отрицательно определённая функция, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Определение: экспоненциальная устойчивость линейной однородной системы

Говорят, что линейная однородная система \[ \dot{x} = P(t) x \] экспоненциально устойчива, если существуют $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \gt 0$ такие, что для любых начальных данных $t_0, x_0$ \[ \alpha_1 \norm{x_0} e^{-\beta_1 (t - t_0)} \leqslant \norm{x(t; t_0, x_0)} \leqslant \alpha_2 \norm{x_0} e^{-\beta_2 (t - t_0)} \qquad \forall t \geqslant t_0. \]

Теорема об экспоненциальной устойчивости линейной однородной системы

Рассмотрим систему (1) \[ \dv{x}{t} = A(t) x, \] где $A(t) \in C[0;+\infty]$.

Если существуют квадратичные формы \[ \begin{aligned} V(t,x) &= x^* P(t) x, \\ W(t,x) &= x^* Q(t) x \end{aligned} \] такие, что

существуют $a_1, a_2, b_1, b_2 \gt 0$ такие, что для всех $t \geqslant 0$ и $x \in \R^n$ \[ \begin{gathered} a_1 \norm{x}^2 \leqslant V(t,x) \leqslant a_2 \norm{x}^2, \\ b_1 \norm{x}^2 \leqslant W(t,x) \leqslant b_2 \norm{x}^2; \end{gathered} \]
$P(t) \in C^1[0;+\infty]$ и \[ \at{\dv{V}{t}}{(1)} = -W(t,x), \]

то система экспоненциально устойчива.

Свойства фундаментальной матрицы (асимптотически) устойчивой однородной системы

Рассмотрим однородную систему \[ \dot{x} = P(t) x \] с фундаментальной матрицей $Y(t)$.

Если система устойчива, то $Y(t)$ ограничена.
Если система асимптотически устойчива, то
1. $Y(t)$ ограничена;
2. ${\displaystyle \norm{Y(t)} \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} 0}$.

Определение: экспоненциальная устойчивость однородной стационарной системы

Однородная стационарная система \[ \dot{x} = P x \] называется экспоненциально устойчивой, если \[ \exists \gamma \geqslant 1, \sigma \gt 0: \quad \norm{x(t, x_0)} \leqslant \gamma e^{-\sigma t} \norm{x_0}. \]

Для стационарной системы экспоненциальная устойчивость влечёт за собой асимптотическую устойчивость.

Теорема об экспоненциальной устойчивости линейной стационарной системы

Считаем, что $t_0 := 0$.

Система \[ \dot{x} = P x \] экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда $\Re (\lambda_i(P)) \lt 0$.

Пользуясь теоремой об оценке нормы матричной экспоненты, прямой проверкой доказываются обе ветки доказательства.

Пусть система экспоненциально устойчива. Рассмотрим собственное число матрицы $P$: \[ \lambda_0 = \alpha_0 + i \beta_0. \] Ему соответствует частное решение системы: \[ x(t, x_0) = e^{\lambda_0 t} x_0, \] тогда \[ \norm{x(t, x_0)} = \norm{e^{\lambda_0 t} x_0} \leqslant \abs{e^{\lambda_0 t}} \norm{x_0} = e^{\alpha_0 t} \norm{x_0} \leqslant \gamma e^{-\sigma t} \norm{x_0}, \] откуда следует, что $\alpha_0 \leqslant -\sigma$, а $\sigma \gt 0$, поэтому \[ \Re (\lambda_0) \lt 0. \] В силу произвольности $\lambda_0$ подобные рассуждения справедливы для всех собственных чисел матрицы $P$.

Пусть все собственные числа матрицы $P$ лежат в левой полуплоскости, т.е. \[ \Re (\lambda_i(P)) \lt 0. \] Выпишем общее решение исходной системы в общем виде: \[ x(t, x_0) = Y(t) Y^{-1}(0) x_0. \] Будем рассматривать нормированную в нуле фундаментальную матрицу, то есть $Y(0) = E$, тогда \[ x(t, x_0) = Y(t) x_0 = e^{Pt} x_0. \] Оценим норму (используя лемму об оценке нормы матричной экспоненты): \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \gamma \gt 0: \qquad \norm{x(t, x_0)} \leqslant \norm{e^{Pt}} \cdot \norm{x_0} \leqslant \gamma e^{(\alpha + \varepsilon) t} \norm{x_0}, \] где $\alpha := \max\limits_k \Re(\lambda_k)$. Взяв $\varepsilon$ таким образом, чтобы $\alpha + \varepsilon \lt 0$, положим \[ \begin{aligned} \sigma &:= - (\alpha + \varepsilon) \gt 0, \\ \gamma &:= \max(1, \gamma(\varepsilon)), \end{aligned} \] тогда \[ \norm{x(t, x_0)} \leqslant \gamma e^{-\sigma t} \norm{x_0}. \]

Определение: грамиан управляемости

Рассмотрим стационарную систему \[ \dot{x} = P x + Q u + f(t). \] Пусть она асимптотически устойчива, тогда

$Y(t)$ ограничена;
$\norm{Y(t)} \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} 0$.

Оценим норму фундаментальной матрицы: \[ \norm{x(t, x_0)} \leqslant \norm{Y(t)} \cdot \norm{x_0} \leqslant \gamma e^{-\sigma t} \norm{x_0}, \] откуда \[ \norm{Y(t)} \leqslant \gamma e^{-\sigma t}. \]

Матрица \[ U = \int\limits_0^\infty Y(\tau) Q Q^* Y^*(\tau) d\tau \] называется грамианом управляемости.

Грамиан управляемости существует только для асимптотически устойчивых стационарных систем.

Грамиан управляемости сходится.

\[ \begin{aligned} \norm{U} &\leqslant \int\limits_0^\infty \norm{Y(\tau)} \norm{Q} \norm{Q^*} \norm{Y^*(\tau)} d\tau \\ &\leqslant \int\limits_0^\infty \underbrace{\gamma^2 \norm{Q} \norm{Q^*}}_{=C} e^{-2 \sigma \tau} d\tau \\ &= C \int\limits_0^\infty e^{-2 \sigma \tau} d\tau \\ &= \left. \frac{c e^{-2\sigma t}}{-2\sigma} \right|_0^{\cancel \infty} \\ &= \frac{c}{2\sigma}. \end{aligned} \] Удалось ограничить $U$, следовательно, он сходится.

Свойства грамиана управляемости

Рассмотрим \[ U = \int\limits_0^\infty Y(\tau) Q Q^* Y^*(\tau) d\tau \] Свойства:

$U = U^*$;
$C^* U C \geqslant 0$;
$\lambda_j(U) \geqslant 0$;
Если $\det U \neq 0$, то $C^* U C \gt 0$, то есть $\lambda_j(U) \gt 0$.

Теорема о полной управляемости асимптотически устойчивой линейной стационарной системы

Рассмотрим асимптотически устойчивую систему \[ \dot{x} = P x + Q u + f(t) \] с грамианом управляемости \[ U = \int\limits_0^\infty Y(\tau) Q Q^* Y^*(\tau) d\tau. \]

Система полностью управляема на $[0; T]$ тогда и только тогда, когда $\det U \neq 0$.

Доказывается от противного, пользуясь тем фактом, что \[ C^* U C = \int\limits_0^\infty \norm{C^* Y(t) Q}^2 d\tau. \]

От противного: пусть система полностью управляема на $[0; T]$, но $\det U = 0$. Тогда $\rank U \lt n$, откуда следует линейная зависимость столбцов $U$: \[ \exists C \neq 0: \quad U C = 0, \implies C^* U C = \int\limits_0^\infty \norm{C^* Y(\tau) Q}^2 d\tau = 0. \] Значит, $C^* Y(t) Q \equiv 0$ на $[0; T]$. В силу стационарности системы $Y(t) = e^{Pt}$, поэтому $C^* P^k Q$ для всех $k \geqslant 0$.

Но в этом случае следует, что $C^* \left[ Q, PQ, \dots, P^{n-1}Q \right] = 0$, то есть $\rank S \lt n$ — противоречие.

От противного: пусть $\det U \neq 0$, но система не полностью управляема. Тогда $\rank S \lt 0$, откуда следует линейная зависимость строк $S$: \[ \exists C \neq 0: \quad C^* Q = 0, C^* P^{n-1}Q = 0. \] Из теоремы Гамильтона-Кэли следует, что $C^* P^k Q = 0$ для всех $k \geqslant 0$, поэтому \[ C^* U C = \int\limits_0^\infty C^* Y(\tau) Q Q^* Y^*(\tau) C d\tau. = \int\limits_0^\infty \norm{C^* Y(t) Q}^2 d\tau = 0, \] что противоречит условию $\det U \neq 0$.

Алгоритм нахождения грамиана управляемости

Рассмотрим асимптотически устойчивую систему \[ \dot{x} = P x + Q u + f(t) \] с грамианом управляемости \[ U = \int\limits_0^\infty Y(\tau) Q Q^* Y^*(\tau) d\tau. \]

Грамиан управляемости удовлетворяет матричному уравнению Ляпунова: \[ UP^* + PU + Q Q^* = 0. \]

Проверяется подстановкой.

Проверим непосредственной подстановкой: \[ \begin{aligned} 0 &= \paren{ \int\limits_0^\infty Y(\tau) Q Q^* Y^*(\tau) d\tau } P^* + P \paren{ \int\limits_0^\infty Y(\tau) Q Q^* Y^*(\tau) d\tau } + Q Q^* \\ &= \int\limits_0^\infty P e^{P \tau} Q Q^* e^{P^* \tau} d\tau + \int\limits_0^\infty e^{P \tau} Q Q^* e^{P^* \tau} P^* d\tau + Q Q^* \\ &= \int\limits_0^\infty \dv{}{\tau} \paren{ e^{P \tau} Q Q^* e^{P^* \tau} } d\tau + Q Q^* \\ &= \left.e^{P \tau} Q Q^* e^{P^* \tau} \right|_0^{\cancel\infty} + Q Q^* \\ &= - Q Q^* + Q Q^* \\ &= 0. \end{aligned} \]

Зачем нужен грамиан управляемости?

Грамиан управляемости позволяет проверить асимптотически устойчивую стационарную систему \[ \dot{x} = P x + Q u + f(t) \] на полную управляемость без вычисления фундаментальной матрицы.

Постановка общей граничной задачи

Обобщаем построение программного управления.

Расмотрим систему \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u + f(t), \] пусть $P(t), Q(t), f(t) \in C([0;T])$.

Пусть отрезок $[0; T]$ разбит точками $0 \lt t_1 \lt \dots \lt t_m \leqslant T$ на $m$ частей, и пусть заданы $m$ постоянных матриц $G_1, \dots G_m$ размерности $N \times n$.

Уравнение, связывающее промежуточные состояния системы \[ \sum_{k=1}^m G_k x(t_k) = h \] называется общим граничным условием.

Лемма о представлении семейства допустимых управлений для ОГЗ

Расмотрим систему \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u + f(t) \] с заданным общим граничным условием \[ \sum_{k=1}^m G_k x(t_k) = h. \] Выпишем общее решение задачи Коши: \[ x(t) = Y(t) \paren{x_0 + \int\limits_0^t Y^{-1}(\tau) \left[ Q(\tau) u(\tau) + f(\tau) \right] d\tau}; \] подставим выражения \[ \begin{aligned} x(t_k) &= Y(t_k) \paren{x_0 + \int\limits_0^{t_k} Y^{-1}(\tau) \left[ Q(\tau) u(\tau) + f(\tau) \right] d\tau} \\ &= Y(t_k) \paren{ x_0 + \int\limits_0^{t_k} B(\tau) u(\tau) d\tau + \int\limits_0^{t_k} Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau } \end{aligned} \] в общее граничное условие: \[ \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) \paren{ x_0 + \int\limits_0^{t_k} B(\tau) u(\tau) d\tau + \int\limits_0^{t_k} Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau } = h. \] Перенесём налево все слагаемые, содержащие управление, а направо — не содержащие: \[ \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) \int\limits_0^{t_k} B(\tau) u(\tau) d\tau = h - \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) x_0 - \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) \int\limits_0^{t_k} Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau \] К сожалению, пределы интегрирования не совпадают. Введём функцию \[ \varphi_k(t) = \begin{cases} 1, & t \in [0; t_k], \\ 0, & t \in (t_k; T], \end{cases} \] на которую домножим соответствующие подынтегральные выражения. Тогда можно будет перейти к общему пределу интегрирования: \[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) \int\limits_0^{t_k} \varphi_k(\tau) B(\tau) u(\tau) d\tau &= h - \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) x_0 - \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) \int\limits_0^{t_k} \varphi_k(\tau) Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau \\ \int\limits_0^T \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) \varphi_k(\tau) B(\tau) u(\tau) d\tau &= h - \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) x_0 - \int\limits_0^T \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) \varphi_k(\tau) Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau \\ \end{aligned} \] Введя обозначения \[ \begin{aligned} B_1(t) &:= \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) \varphi_k(t) B(t) \\ \eta &:= h - \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) x_0 - \int\limits_0^T \sum_{k=1}^m G_k Y(t_k) \varphi_k(\tau) Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau, \end{aligned} \] запишем интегральное уравнение для построения программных управлений: \[ \int\limits_0^T B_1(\tau) u(\tau) d\tau = \eta. \]

Если существует допустимое управление, решающее ОГЗ, то оно может быть представлено в виде \[ u(t) = B_1^*(t) C + V(t), \] причём выполняется условие ортогональности: \[ \int\limits_0^T B_1(\tau) V(\tau) d\tau = 0. \]

Подставим $u(t)$ в уравнение ортогональности, докажем совместность системы от противного ($\rank A \lt \rank (A, \eta)$), воспользовавшись теоремой Фредгольма: \[ A x = b \text{ совместна} \iff \exists \gamma \neq 0: \gamma^* a = 0, \; \text{ но } \; \gamma^* b \neq 0. \]

Пусть существует допустимое управление $u(t) \in U$. Тогда утверждение леммы справедливо, если \[ \int\limits_0^T B_1(\tau) \left[u(\tau) - B_1^*(\tau) C \right] d\tau = 0. \] Перепишем это равенство в виде \[ \int\limits_0^T B_1(\tau) u(\tau) d\tau = \int\limits_0^T B_1(\tau) B_1^*(\tau) d\tau \cdot C; \] рассмотрим его как СЛАУ относительно неизвестного вектора $C$: \[ AC = \eta, \] где \[ A := \int\limits_0^T B_1(\tau) B_1^*(\tau) d\tau, \quad \eta := \int\limits_0^T B_1(\tau) u(\tau) d\tau. \]

Из теоремы Кронекера-Капелли известно, что система совместна тогда и только тогда, когда $\rank A = \rank (A, \eta)$.

Предположим, что система несовместна, то есть $\rank A \lt \rank (A, \eta)$. Тогда по теореме Фредгольма найдётся вектор $\gamma \neq 0$ такой, что \[ \gamma^* A = 0, \quad \gamma^* \eta \neq 0. \] Отсюда следует, что \[ \begin{aligned} 0 &= \gamma^* A \gamma \\ &= \gamma^* \int\limits_0^T B_1(\tau) B_1^*(\tau) d\tau \cdot \gamma \\ &= \int\limits_0^T \gamma^* B_1(\tau) B_1^*(\tau) \gamma d\tau \\ &= \int\limits_0^T \norm{\gamma^* B_1(\tau)}^2 d\tau = 0, \end{aligned} \] то есть $\gamma^* B_1(t) \equiv 0$. Но тогда \[ \gamma^* \eta = \gamma^* \int\limits_0^T B_1(\tau) u(\tau) d\tau = \int\limits_0^T \overbrace{\gamma^* B_1(\tau)}^{\equiv 0} u(\tau) d\tau = 0, \] что противоречит выбору $\gamma$. Значит, $\rank A = \rank (A,\eta)$, то есть система совместна.

Решая эту систему, находим вектор $C$, при котором разность $u(t) - B_1^*(t) C$ удовлетворяет условию \[ \int\limits_0^T B_1(\tau) \left[u(\tau) - B_1^*(\tau) C \right] d\tau = 0. \] Введя обозначение $V(t) := u(t) - B_1^*(t) C$, получаем, что \[ u(t) = B_1^*(t) C + V(t). \]

Критерий разрешимости ОГЗ

ОГЗ разрешима тогда и только тогда, когда $\rank A = \rank (A, \eta)$.

ОГЗ разрешима для любого $\eta$ тогда и только тогда, когда $\rank A = n$.

Определение: линейная разностная система

Линейная разностная система: \[ x(k+1) = P(k) x(k) + Q(k) u(k) + f(k), \quad k \in \Z. \]

Фундаментальная матрица линейной разностной системы

Рассмотрим линейную разностную систему \[ x(k+1) = P(k) x(k) + Q(k) u(k) + f(k), \quad k \in \Z. \]

Фундаментальная матрица, нормированная в $k_0$ — матрица $Y(k,k_0)$ такая, что \[ \begin{aligned} Y(k_0, k_0) &= E \\ Y(k, k_0) &= \sum_{j=k_0}^{k-1} P(j), \quad k \gt k_0. \end{aligned} \]

Определение: общее решение в форме Коши для линейной однородной разностной системы

Рассмотрим линейную однородную разностную систему \[ x(k+1) = P(k) x(k), \quad k \in \Z; \] пусть $Y(k, k_0)$ — фундаментальная матрица, нормированная в $k_0$.

Общее решение в форме Коши: \[ x(k, k_0, x_0) = Y(k, k_0) x_0. \]

Построение программного управления для линейной разностной системы

Пусть $x(0) = x_0$ и $x(m) = x_1$ — начальное и конечное состояния системы. Требуется найти допустимое управление $u(0), \dots, u(m-1)$ такое, чтобы решение разностной системы \[ x(k+1) = P(k) x(k) + Q(k) u(k) + f(k), \quad k \in \Z \] попадало из $x_0$ в $x_1$ за $m$ шагов.

Построим систему уравнений, которой должно удовлетворять программное управление $u(0), \dots, u(m-1)$: \[ \begin{aligned} x(1) &= P(0) x(0) + Q(0) u(0) + f(0), \\ x(2) &= P(1) x(1) + Q(1) u(1) + f(1), \\ &\dots \\ x(m) &= P(m-1) x(m-1) + Q(m-1) u(m-1) + f(m-1). \end{aligned} \] Рекурсивно подставляя значение $x$ с предыдущего шага, приходим к равенству: \[ \begin{aligned} x_1 &= {\color{blue} P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(1) Q(0) u(0)} \\ &+ {\color{blue} P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(2) Q(1) u(1)} \\ &+ {\color{blue} \dots} \\ &+ {\color{blue} P(m-1) Q(m-2) u(m-2)} \\ &+ {\color{blue} Q(m-1) u(m-1)} \\ &+ {\color{red} P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(1) P(0) x_0} \\ &+ {\color{red} P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(1) f(0)} \\ &+ {\color{red} \dots} \\ &+ {\color{red} P(m-1) f(m-2)} \\ &+ {\color{red} f(m-1)}. \end{aligned} \] Слагаемые, выделенные синим, содержат управление, а выделенные красным нет. Введя обозначения \[ \begin{aligned} A_0 &:= P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(1) Q(0), \\ A_1 &:= P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(2) Q(1), \\ &\dots \\ A_{m-2} &:= P(m-1) Q(m-2), \\ A_{m-1} &:= Q(m-1), \\ \eta &:= x_1 - \Big[ \phantom{+} P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(1) P(0) x_0 \\ &\phantom{:= x_1 - \Big[} + P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(1) f(0) \\ &\phantom{:= x_1 - \Big[} + \dots \\ &\phantom{:= x_1 - \Big[} + P(m-1) f(m-2) \\ &\phantom{:= x_1 - \Big[} + f(m-1) \Big], \end{aligned} \] уравнение перепишется в виде \[ A_0 u(0) + A_1 u(1) + \dots + A_{m-1} u(m-1) = \eta, \] или, в векторной форме: \[ A u = \eta, \] где \[ \begin{aligned} A &:= \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & \dots & A_{m-1} \end{pmatrix}, \\ u &:= \begin{pmatrix} u(0) \\ u(1) \\ \vdots \\ u(m-1) \end{pmatrix}. \end{aligned} \]

Лемма о представлении семейства допустимых управлений линейной разностной системы

Рассмотрим линейную разностную систему \[ x(k+1) = P(k) x(k) + Q(k) u(k) + f(k), \quad k \in \Z. \] Введём обозначения: \[ A_k := P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(k+1) Q(k), \quad k = \overline{0,m-1}. \]

Всякое допустимое управление $u(0), \dots, u(m-1)$ разностной системы может быть представлено в виде \[ u(k) = A_k^* C + V_k, \quad k = \overline{0, m-1}, \] причём выполняется условие ортогональности \[ \sum_{k=0}^{m-1} A_k V_k = 0. \]

Определение: управляемость пары точек линейной разностной системы

Рассмотрим линейную разностную систему \[ x(k+1) = P(k) x(k) + Q(k) u(k) + f(k), \quad k \in \Z. \]

Пара точек $(x_0, x_1)$ называется управляемой на $[0;m]$, если существует допустимое управление $u(0), \dots, u(m-1)$, при котором решение системы удовлетворяет условиям $x(0) = x_0, \; x(m) = x_1$.

Определение: полная управляемость линейной разностной системы

Линейная разностная система \[ x(k+1) = P(k) x(k) + Q(k) u(k) + f(k), \quad k \in \Z, \] называется полностью управляемой на $[0;m]$, если любая пара точек $(x_0, x_1)$ управляема на этом интервале.

Критерий управляемости пары точек линейной разностной системы

Рассмотрим линейную разностную систему \[ x(k+1) = P(k) x(k) + Q(k) u(k) + f(k), \quad k \in \Z. \]

Пара точек $(x_0, x_1)$ управляема на $[0; m]$ тогда и только тогда, когда \[ \rank A = \rank (A, \eta), \] где \[ \begin{aligned} A &:= \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & \dots & A_{m-1} \end{pmatrix}, \\ A_k &:= P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(k+1) Q(k), \\ \eta &:= x_1 - \Big[ \phantom{+} P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(1) P(0) x_0 \\ &\phantom{:= x_1 - \Big[} + P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(1) f(0) \\ &\phantom{:= x_1 - \Big[} + \dots \\ &\phantom{:= x_1 - \Big[} + P(m-1) f(m-2) \\ &\phantom{:= x_1 - \Big[} + f(m-1) \Big]. \end{aligned} \]

Критерий полной управляемости линейной разностной системы

Рассмотрим линейную разностную систему \[ x(k+1) = P(k) x(k) + Q(k) u(k) + f(k), \quad k \in \Z. \]

Система полностью управляема на $[0; m]$ тогда и только тогда, когда \[ \rank A = n, \] где \[ \begin{aligned} A &:= \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & \dots & A_{m-1} \end{pmatrix}, \\ A_k &:= P(m-1) \cdot \ldots \cdot P(k+1) Q(k). \end{aligned} \]

Критерий полной управляемости линейной стационарной разностной системы

Рассмотрим линейную стационарную разностную систему \[ x(k+1) = P x(k) + Q u(k) + f(k), \quad k \in \Z. \]

(Критерий полной управляемости). Разностная стационарная система полностью управляема на $[0; m]$ тогда и только тогда, когда \[ \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{m-1}Q \right] = n. \]

(Уточнённый критерий полной управляемости). Разностная стационарная система полностью управляема на $[0; m]$ тогда и только тогда, когда \[ \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{\overline m-1}Q \right] = n, \quad \text{где} \quad \overline m = \min(m, n). \]

Если $m \lt n$, то критерий остаётся таким же: \[ \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{m-1} Q \right] = n; \]
Если $m \geqslant n$, то \[ \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{n-1} Q, P^n Q, \dots, P^{m-1} Q \right] = n. \] По теореме Гамильтона-Кэли, $P^n, P^{n+1}, \dots, P^{m-1}$ выражаются в виде линейной комбинации через $E, P, \dots, P^{n-1}$, поэтому $P^n Q, \dots, P^{m-1} Q$ линейно зависимы с предыдущими блоками, то есть \[ \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{n-1} Q \right] = n. \]

Если $m \lt n$, то критерий остаётся таким же: \[ \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{m-1} Q \right] = n; \]
Если $m \geqslant n$, то \[ \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{n-1} Q, P^n Q, \dots, P^{m-1} Q \right] = n. \] По теореме Гамильтона-Кэли, $P^n, P^{n+1}, \dots, P^{m-1}$ выражаются в виде линейной комбинации через $E, P, \dots, P^{n-1}$, поэтому $P^n Q, \dots, P^{m-1} Q$ линейно зависимы с предыдущими блоками, то есть \[ \rank \left[ Q, PQ, \dots, P^{n-1} Q \right] = n. \]

Критерий Хаутуса полной управляемости линейной стационарной разностной системы

(Критерий Хаутуса). Линейная стационарная разностная система \[ x(k+1) = P x(k) + Q u(k) + f(k) \] полностью управляема на $[0; m]$ тогда и только тогда, когда \[ \rank \left[ sE - P, Q \right] = n \quad \forall s \in \mathbb{C}. \]

Критерий равномерной асимптотической устойчивости линейной стационарной разностной системы

(Критерий равномерной асимптотической устойчивости). Линейная стационарная разностная система \[ x(k+1) = P x(k), \quad k \in \Z \] равномерно асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда \[ \abs{\lambda_j(P)} \lt 1 \quad \forall j. \]

Критерий равномерной устойчивости линейной стационарной разностной системы

(Критерий равномерной устойчивости). Линейная стационарная разностная система \[ x(k+1) = P x(k), \quad k \in \Z \] равномерно устойчива тогда и только тогда, когда \[ \abs{\lambda_j(P)} \leqslant 1 \quad \forall j, \] причём если \[ \abs{\lambda_j(P)} = 1, \] то у $\lambda_j(P)$ имеются только простые элементарные делители.

Определение: грамиан управляемости для разностной системы

Рассмотрим линейную стационарную систему \[ x(k+1) = P x(k) + Q u(k) + f(k). \] Будем предполагать, что она асимптотически устойчива, то есть \[ \abs{\lambda_j(P)} \lt 1 \quad \forall j; \] тогда \[ P^k \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0. \]

Матрица \[ U = \sum_{k=0}^\infty P^k Q Q^* (P^*)^k \] называется грамианом управляемости линейной стационарной асимптотически устойчивой разностной системы.

Теорема о полной управляемости асимптотически устойчивой разностной системы

Рассмотрим стационарную асимптотически устойчивую разностную систему \[ x(k + 1) = P x(k) + Q u(k) + f(k), \quad m \geqslant n \] и её грамиан управляемости \[ U = \sum_{k=0}^\infty P^k Q Q^* (P^*)^k. \]

Система полностью управляема тогда и только тогда, когда $\det U \neq 0$.

Алгоритм нахождения грамиана управляемости для разностной системы

Рассмотрим стационарную асимптотически устойчивую разностную систему \[ x(k + 1) = P x(k) + Q u(k) + f(k) \] и её грамиан управляемости \[ U = \sum_{k=0}^\infty P^k Q Q^* (P^*)^k. \]

Грамиан управляемости $U$ удовлетворяет матричному уравнению Ляпунова \[ PUP^* - U + Q Q^* = 0. \]

Проверяется подстановкой.

Грамиан управляемости можно найти из матричного управления Ляпунова.

Постановка и решение задачи наблюдения в линейных системах

Рассмотрим линейную систему \[ \dot x = P(t) x + f(t). \] Предположим, что на $[0;T]$ ведётся наблюдение \[ y = R(t) x + \varphi(t), \quad y \in \R^r. \]

По доступным наблюдениям определить вектор фазовых переменных $x(t) \; \forall t \in [0; T]$.

Рассмотрим общее решение в форме Коши: \[ x(t) = Y(t) \paren{ x_0 + \int\limits_0^t Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau }, \] где $Y(t)$ — матрицант. Подставим это выражение в уравнение наблюдателя: \[ y(t) = R(t) Y(t) \paren{ x_0 + \int\limits_0^t Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau } + \varphi(t). \] Перенесём слагаемые, содержащие $x_0$, в левую часть, а все остальные — в правую: \[ R(t) Y(t) x_0 = y - R(t) Y(t) \int\limits_0^t Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau - \varphi(t). \] Введя обозначения \[ \begin{aligned} H(t) &:= R(t) Y(t) \\ g(t) &:= y - H(t) \int\limits_0^t Y^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau - \varphi(t), \end{aligned} \] уравнение можно переписать в виде \[ H(t) x_0 = g(t). \]

Определение: полностью наблюдаемая система

Система \[ \begin{aligned} \dot x &= P(t) x + f(t), \\ y &= R(t) x + \varphi(t) \end{aligned} \] называется полностью наблюдаемой, если по наблюдениям $y(t)$ на $[0; T]$ можно однозначно восстановить $x(0) = x_0$.

Критерии полной наблюдаемости линейной системы (2 штуки)

Рассмотрим систему \[ \begin{aligned} \dot x &= P(t) x + f(t), \\ y &= R(t) x + \varphi(t). \end{aligned} \]

Система полностью наблюдаема на $[0;T]$ тогда и только тогда, когда столбцы матрицы $H(t) = R(t) Y(t)$ линейно независимы на $[0;T]$.

Столбцы $H(t)$ линейно независимы на $[0; T]$ тогда и только тогда, когда существуют \[ 0 \leqslant t_1 \lt t_2 \lt \dots \lt t_m \leqslant T, \quad m \leqslant n, \] для которых \[ \rank \paren{ \begin{array}{c} H(t_1) \\ \vdots \\ H(t_m) \end{array} } = n. \]

Определение: система, двойственная к наблюдаемой

Рассмотрим систему \[ \begin{aligned} \dot x &= P(t) x + f(t), \\ y &= R(t) x + \varphi(t). \end{aligned} \]

Системой, двойственной к наблюдаемой называют систему \[ \dot z = - P^*(t) z + R^*(t) u. \]

Определение: система, двойственная к управляемой

Рассмотрим систему \[ \dot x = P(t) x + Q(t) u + f(t). \]

Системой, двойственной к управляемой называют систему \[ \begin{aligned} \dot z &= -P^*(t) z, \\ y &= \phantom{-} Q^*(t) z. \end{aligned} \]

Принцип двойственности

Система \[ \begin{aligned} \dot x &= P(t) x + f(t), \\ y &= R(t) x + \varphi(t) \end{aligned} \] полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда двойственная к ней система \[ \dot z = - P^*(t) z + R^*(t) u \] полностью управляема.

Из критериев полной управляемости и полной наблюдаемости известно, что соответственно строки матрицы $B(t) = Z^{-1}(t) R^*(t)$ и столбцы матрицы $H(t) = R(t) Y(t)$ должны быть линейно независимы. Нужно показать, что они совпадают, то есть $H^*(t) \equiv B(t)$. Вопрос сводится к тому, выполнено ли тождество $Y^*(t) \equiv Z^{-1}(t)$. Сначала доказываем, что \[ \dv{}{t} \paren{Y^*(t) Z(t)} \equiv 0, \] то есть \[ Y^*(t) Z(t) \equiv C, \] потом используем тот факт, что $Y(t)$ и $Z(t)$ — матрицанты, поэтому \[ Y^*(t) Z(t) \equiv 0, \] или, иначе, \[ Y^*(t) \equiv Z^{-1}(t). \]

Пусть $Y(t)$ — матрицант наблюдаемой системы, а $Z(t)$ — матрицант управляемой системы.

Известно, что система полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда столбцы матрицы $H(t) \bydef= R(t) Y(t)$ линейно независимы.

Известно, что система полностью управляема тогда и только тогда, когда строки матрицы $B(t) \bydef= Z^{-1}(t) R^*(t)$ линейно независимы.

Покажем, что строки $B(t)$ и столбцы $H(t)$ совпадают: \[ Y^*(t) R^*(t) = H^*(t) \overset{?}{=} B(t) = Z^{-1}(t) R^*(t). \] Нужно показать, что \[ Y^*(t) \equiv Z^{-1}(t). \] Рассмотрим \[ \dv{}{t} \paren{Y^*(t) Z(t)} = \dot{Y}^*(t) Z(t) + Y^*(t) \dot Z(t). \] Из курса дифференциальных уравнений известно, что фундаментальная матрица удовлетворяет соответствующему матричному уравнению: \[ \begin{aligned} \dot Y(t) &= P(t) Y(t), \\ \dot Z(t) &= -P^*(t) Z(t), \end{aligned} \] поэтому \[ \dot{Y}^*(t) Z(t) + Y^*(t) \dot Z(t) = Y^*(t) P^*(t) Z(t) - Y^*(t) P^*(t) Z(t) \equiv 0. \] Значит, \[ Y^*(t) Z(t) \equiv C. \] Так как $Y(t)$ и $Z(t)$ — матрицанты, то \[ Y^*(0) Z(0) = E, \] поэтому \[ Y^*(t) Z(t) \equiv E, \] или, в силу невырожденности матрицы $Z(t)$, \[ Y^*(t) \equiv Z^{-1}(t), \] что и требовалось показать.

Достаточное условие полной наблюдаемости

Рассмотрим систему \[ \begin{aligned} \dot x &= P(t) x + f(t), \\ y &= R(t) x + \varphi(t) \end{aligned} \] и двойственную к ней \[ \dot z = - P^*(t) z + R^*(t) u. \] Будем считать, что \[ \begin{aligned} R(t) &\in C^{n-1}[0;T] \\ P(t) &\in C^{n-2}[0;T]. \end{aligned} \] Введём обозначения: \[ \begin{aligned} S_0(t) &= R^*(t), \\ S_1(t) &= \dot S_0(t) + P^*(t) S_0(t), \\ &\dots \\ S_{n-1}(t) &= \dot S_{n-2}(t) + P^*(t) S_{n-2}(t), \end{aligned} \] считаем, что \[ S_k(t) \in C[0;T], \quad k = \overline{1, n-1}. \]

(Достаточное условие полной наблюдаемости). Для полной наблюдаемости системы \[ \begin{aligned} \dot x &= P(t) x + f(t), \\ y &= R(t) x + \varphi(t) \end{aligned} \] на интервале $[0;T]$ достаточно, чтобы нашёлся момент времени $\tau \in [0;T]$ такой, что \[ \rank S(\tau) = n. \]

Постановка задачи дискретной наблюдаемости

Рассмотрим систему с наблюдением \[ \begin{aligned} \dot x &= P(t) x + f(t), \\ y &= R(t) x + \varphi(t). \end{aligned} \] Предположим, что известны наблюдения в дискретные моменты времени \[ y(t_1), \dots, y(t_m), \quad t_1, \dots, t_m \in [0;T]. \]

По известным наблюдениям однозначно определить вектор $x(0) = x_0$.

Теоремы о разрешимости задачи дискретной наблюдаемости

Рассмотрим задачу дискретной наблюдаемости системы \[ \begin{aligned} \dot x &= P(t) x + f(t), \\ y &= R(t) x + \varphi(t). \end{aligned} \]

Пусть моменты времени $t_1, \dots, t_m \in [0;T]$ заданы заранее. Тогда задача дискретной наблюдаемости разрешима тогда и только тогда, когда \[ \rank \begin{pmatrix} H(t_1) \\ \vdots \\ H(t_m) \end{pmatrix} = n. \]

Пусть моменты времени $t_1, \dots, t_m \in [0;T]$ произвольны. Тогда задача дискретной наблюдаемости разрешима тогда и только тогда, когда система полностью наблюдаема.

Критерий Калмана полной наблюдаемости

Рассмотрим наблюдаемую стационарную систему \[ \begin{aligned} \dot x &= Px + f(t), \\ y &= Rx + \varphi(t), \end{aligned} \quad t \in [0;T] \] и двойственную к ней управляемую систему \[ \dot z = -P^*z + R^* u, \] для которой составим вспомогательные матрицы \[ \begin{aligned} S_0 &\bydef = R^* \\ S_1 &= P^* R^* \\ &\phantom{=} \dots \\ S_{n-1} &= (P^*)^{n-1} R^*. \end{aligned} \] Введём обозначение: \[ S^* \bydef= \left[ R^*, P^* R^*, \dots, (P^*)^{n-1} R^* \right]. \]

(Критерий Калмана полной наблюдаемости). Система полностью наблюдаема на $[0;T]$ тогда и только тогда, когда \[ \rank S = \rank \begin{bmatrix} R \\ RP \\ \vdots \\ RP^{n-1} \end{bmatrix} = n. \]

Критерий Хаутуса полной наблюдаемости

Рассмотрим наблюдаемую стационарную систему \[ \begin{aligned} \dot x &= Px + f(t), \\ y &= Rx + \varphi(t), \end{aligned} \quad t \in [0;T] \] и двойственную к ней управляемую систему \[ \dot z = -P^*z + R^* u. \]

(Критерий Хаутуса полной наблюдаемости). Система полностью наблюдаема на промежутке $[0;T]$ тогда и только тогда, когда для любого $s \in \mathbb{C}$ \[ \rank \begin{bmatrix} sE + P^* & R^* \end{bmatrix} = \rank \begin{bmatrix} sE + P \\ R \end{bmatrix} = n. \]

Декомпозиция линейной наблюдаемой системы. Следствие

Рассмотрим наблюдаемую стационарную систему \[ \begin{aligned} \dot x &= Px + f(t), \\ y &= Rx + \varphi(t), \end{aligned} \quad t \in [0;T]. \] Предположим, что она не является полностью наблюдаемой; тогда \[ \rank S = \rank \begin{bmatrix} R \\ RP \\ \vdots \\ RP^{n-1} \end{bmatrix} = m \lt n. \]

Линейная оболочка $\Lin S$ инвариантна относительно умножения на $P$, то есть \[ \forall l \in \Lin S \quad lP \in \Lin S. \]

Если система не полностью наблюдаема, то существует неособое преобразование, приводящее к декомпозиции исходной системы на наблюдаемую и ненаблюдаемую части.

Для матриц $P_{11}$ и $R_1$ наблюдаемой подсистемы справедливо: \[ \rank \begin{bmatrix} R_1 \\ R_1 P_{11} \\ \vdots \\ R_1 P_{11}^{m-1} \end{bmatrix} = m. \]

Определение: грамиан наблюдаемости

Рассмотрим асимптотически устойчивую линейную стационарную систему \[ \begin{aligned} \dot{x} &= P x + f(t) \\ y &= R x + \varphi(t), \end{aligned} \qquad \Re \lambda_j(P) \lt 0. \]

Матрица \[ V = \int\limits_0^\infty Y^*(\tau) R^* R Y(\tau) d\tau \] называется грамианом наблюдаемости.

Используя обозначение \[ H(t) \bydef= R \, Y(t), \] грамиан наблюдаемости можно переписать в виде \[ V = \int\limits_0^\infty H^*(\tau) H(\tau) d\tau. \]

Свойства грамиана наблюдаемости

Грамиан наблюдаемости удовлетворяет матричному уравнению Ляпунова: \[ P^* V + VP + R^* R = 0. \]

Проверяется подстановкой.

Критерий полной наблюдаемости устойчивой стационарной системы

Рассмотрим асимптотически устойчивую линейную стационарную систему \[ \begin{aligned} \dot{x} &= P x + f(t) \\ y &= R x + \varphi(t), \end{aligned} \qquad \Re \lambda_j(P) \lt 0. \]

(Критерий полной наблюдаемости устойчивой стационарной системы). Асимптотически устойчивая система полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда \[ \det V \neq 0. \]

Постановка задачи наблюдения для разностных систем

Рассмотрим разностную систему \[ x(k+1) = P(k) x(k) + f(k), \quad k \in \Z. \] Введём наблюдение \[ y(k) = R(k) x(k) + \varphi(k), \quad k = \overline{0,m-1}. \]

По имеющимся наблюдениям $y(0), \dots, y(m-1)$ однозначно восстановить вектор $x(0) = x_0$.

Установим связь между наблюдаемыми величинами и вектором $x_0$: \[ \begin{aligned} k = 0: & & y(0) &= R(0) x(0) + \varphi(0) \\ & & x(1) &= P(0) x(0) + f(0) \\ \\ k = 1: & & y(1) &= R(1) x(1) + \varphi(1) \\ & & x(2) &= P(1) x(1) + f(1) \\ & & &\vdots \end{aligned} \] Введём обозначения: \[ \begin{gathered} D = \begin{bmatrix} R(0) \\ R(1) P(0) \\ \vdots \\ R(m-1) P(m-2) \cdots P(0) \end{bmatrix}, \\ \eta = \begin{bmatrix} y(0) - \varphi(0) \\ y(1) - \varphi(1) - R(1) f(0) \\ y(2) - \varphi(2) - R(2) P(1) f(0) - R(2) f(1) \\ \vdots \\ y(m-1) - \varphi(m-1) - R(m-1) \sum_{k=0}^{m-1} f(k) \prod_{j=k+1}^{m-1} P(j) \end{bmatrix}, \end{gathered} \] тогда \[ D x_0 = \eta. \]

Теорема о полной наблюдаемости разностной системы

Рассмотрим разностную наблюдаемую систему \[ \begin{aligned} x(k+1) = P(k) x(k) + f(k), \\ y(k) = R(k) x(k) + \varphi(k), \\ \end{aligned} \qquad k = \overline{0,m-1}. \] Используя обозначения \[ \begin{gathered} D = \begin{bmatrix} R(0) \\ R(1) P(0) \\ \vdots \\ R(m-1) P(m-2) \cdots P(0) \end{bmatrix}, \\ \eta = \begin{bmatrix} y(0) - \varphi(0) \\ y(1) - \varphi(1) - R(1) f(0) \\ y(2) - \varphi(2) - R(2) P(1) f(0) - R(2) f(1) \\ \vdots \\ y(m-1) - \varphi(m-1) - R(m-1) \sum_{k=0}^{m-1} f(k) \prod_{j=k+1}^{m-1} P(j) \end{bmatrix}, \end{gathered} \] система дискретных значений системы запишется в виде \[ D x_0 = \eta. \]

Разностная система полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда \[ \rank D = n. \]

Теорема о полной наблюдаемости разностной стационарной системы

Рассмотрим стационарную разностную наблюдаемую систему \[ \begin{aligned} x(k+1) = P x(k) + f(k), \\ y(k) = R x(k) + \varphi(k), \\ \end{aligned} \qquad k = \overline{0,m-1}. \] Выпишем значения наблюдателя: для любого $k = \overline{0,m-1}$ \[ y(k) = R \left[ P^k x_0 + P^{k-1} f(0) + P^{k-2} f(1) + \dots + P f(k-2) + f(k-1) \right] + \varphi(k). \] Введём обозначения: \[ \begin{gathered} D = \begin{bmatrix} R \\ R P \\ \vdots \\ R P^{m-1} \end{bmatrix}, \\ \eta = \begin{bmatrix} y(0) - \varphi(0) \\ y(1) - \varphi(1) - R f(0) \\ y(2) - \varphi(2) - R P f(0) - R f(1) \\ \vdots \\ y(m-1) - \varphi(m-1) - R \sum_{k=0}^{m-2} f(k) P^{m-2-k} \end{bmatrix}, \end{gathered} \] тогда \[ D x_0 = \eta. \]

Стационарная разностная система полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда \[ \rank D = n. \]

Критерий Хаутуса полной наблюдаемости разностной системы

Рассмотрим стационарную разностную наблюдаемую систему \[ \begin{aligned} x(k+1) = P x(k) + f(k), \\ y(k) = R x(k) + \varphi(k), \\ \end{aligned} \qquad k = \overline{0,m-1}. \]

(Критерий Хаутуса полной наблюдаемости разностной системы). Разностная система полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда для любого $s \in \mathbb{C}$ \[ \rank \begin{bmatrix} R \\ sE - P \end{bmatrix} = n. \]

Определение: грамиан наблюдаемости для разностной системы

Рассмотрим разностную наблюдаемую систему \[ \begin{aligned} x(k+1) = P x(k) + f(k), \\ y(k) = R x(k) + \varphi(k), \\ \end{aligned} \qquad k \in [0;m-1]. \] Будем считать, что она асимптотически устойчива, то есть \[ \abs{\lambda_j(P)} \lt 1 \quad \forall j \in \overline{1,n}, \] поэтому \[ P^k \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0. \]

Матрицу \[ V = \sum_{k=0}^\infty (P^*)^k R^* R P^k \] называют грамианом наблюдаемости для разностной системы.

Свойства грамиана наблюдаемости разностной системы

Рассмотрим устойчивую разностную наблюдаемую систему \[ \begin{aligned} x(k+1) = P x(k) + f(k), \\ y(k) = R x(k) + \varphi(k), \\ \end{aligned} \qquad k \in [0;m-1] \] и её грамиан наблюдаемости \[ V = \sum_{k=0}^\infty (P^*)^k R^* R P^k. \]

Грамиан управляемости удовлетворяет матричному уравнению Ляпунова: \[ P^* V P - V + R^* R = 0. \]

Проверяется подстановкой.

Критерий полной наблюдаемости для устойчивой стационарной разностной системы

Рассмотрим устойчивую разностную наблюдаемую систему \[ \begin{aligned} x(k+1) = P x(k) + f(k), \\ y(k) = R x(k) + \varphi(k), \\ \end{aligned} \qquad k \in [0;m-1] \] и её грамиан наблюдаемости \[ V = \sum_{k=0}^\infty (P^*)^k R^* R P^k. \]

Устойчивая стационарная разностная система полностью наблюдаема на $[0;m]$ тогда и только тогда, когда \[ \det V \neq 0. \]

Общая постановка задачи стабилизации движения

Рассмотрим движение системы \[ \dot{y} = G(t, y, v). \] Будем предполагать, что решена задача программного управления: для заданных начальных данных $y(t_0) = y_0$ построено программное управление $v = v_p(t)$. Тогда уравнение программного движения запишем как \[ y = y_p(t, t_0, y_0, v_p(t)). \]

Найти дополнительные управляющие воздействия, при которых построенное программное движение $y_p$ будет асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Вывод системы в отклонениях для задачи стабилизации

Рассмотрим движение системы \[ \dot{y} = G(t, y, v) \] с программным управлением $v = v_p(t)$, построенным для начальных данных $y(t_0) = y_0$.

Проведём замену переменных: \[ \left\{ \begin{aligned} y &= y_p(t) + x \\ v &= v_p(t) + u \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} x &= y - y_p(t) \\ u &= v - v_p(t), \end{aligned} \right. \] где $x$ и $u$ являются отклонениями от программного движения и программного управления соответственно.

Тогда система примет вид \[ \dot{x} = G(t, y_p(t) + x, v_p(t) + u) - G(t, y_p(t), v_p(t)) = F(t, x, u). \]

Полученную систему называют системой в отклонениях.

Задача заключается в построении такого управления, при котором нулевое решение системы в отклонениях будет асимптотически устойчиво.

Стабилизация линейной стационарной системы в случае полной обратной связи

Рассмотрим стационарную систему в отклонениях: \[ \dot{x} = P x + Q u. \]

Управление вида $u = C x$, где $C$ — некоторая постоянная матрица, называется допустимым управлением вида линейной обратной связи.

Если все компоненты вектора $x$ измеримы, то линейная обратная связь называется полной.

Построить управление вида полной линейной обратной связи, при котором замкнутая система \[ \dot{x} = (P + QC) x \] асимптотически устойчива по Ляпунову, то есть \[ \Re [\lambda_j (P + QC)] \lt 0. \]

Метод неопределённых коэффициентов построения стабилизирующего управления

Рассмотрим стационарную систему в отклонениях: \[ \dot{x} = P x + Q u. \] Управление будем искать в виде полной обратной связи: $u = Cx$.

Рассмотрим характеристический полином матрицы замкнутой системы: \[ \varphi(\lambda) = \det (\lambda E - (P + QC)) = \lambda^n + \alpha_1(C) \lambda^{n-1} + \cdots + \lambda_n(C). \]

Собственные числа матрицы замкнутой системы называются неуправляемыми, если они не зависят от выбора матрицы $C$.

Выберем эталонные собственные числа $\mu_1, \dots, \mu_n: \; \Re (\mu_j) \lt 0$. Тогда эталонный полином запишется в виде \[ \psi(\lambda) = \prod_{i=1}^n (\lambda - \mu_i) = \lambda^n + \beta_1 \lambda^{n-1} + \cdots + \beta_n. \] Приравняем полиномы $\varphi(\lambda) = \psi(\lambda)$: получим систему уравнений \[ \left\{ \begin{aligned} \alpha_1(C) &= \beta_1 \\ &\dots \\ \alpha_n(C) &= \beta_n. \end{aligned} \right. \] Найдя из этой системы $C$, получим искомое управление.

Определение: время переходного процесса

Время $T$, необходимое системе стабилизации для подавления начального отклонения $x_0$ до величины безразличия $\varepsilon$: \[ x(T) = \varepsilon, \] называется временем переходного процесса.

Чем меньше собственное число, тем меньше время переходного процесса, но тем больше коэффициент усиления сигнала.

Лемма о количестве неуправляемых собственных чисел линейной стационарной системы

Рассмотрим стационарную систему \[ \dot{x} = P x + Q u, \quad \text{где} \quad u = Cx. \]

Если для системы ранг матрицы Калмана $\rank S = m \lt n$, то замкнутая система \[ \dot{x} = (P + QC) x \] имеет $n - m$ неуправляемых собственных чисел.

Проверяется декомпозицией системы на управляемую и неуправляемую части, после чего используется тот факт, что спектр блочно-диагональной матрицы равен объединению спектров блоков на диагонали.

Известно, что существует невырожденное преобразование $x = T y$, приводящее к декомпозиции системы на управляемую и неуправляемую подсистемы: \[ \paren{ \begin{array}{c} \dot{y}_1 \\ \dot{y}_2 \end{array} } = \paren{ \begin{array}{cc} P_{11} & P_{12} \\ 0 & P_{22} \end{array} } \paren{ \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array} } + \paren{ \begin{array}{c} Q_1 \\ 0 \end{array} } u, \] причём \[ u = Cx = CTy. \] Обозначив $CT =\paren{C_1, C_2}$, замкнём её: \[ \paren{ \begin{array}{c} \dot{y}_1 \\ \dot{y}_2 \end{array} } = \paren{ \begin{array}{cc} P_{11} + Q_1 C_1 & P_{12} + Q_1 C_2 \\ 0 & P_{22} \end{array} } \paren{ \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array} } \] Спектр матрицы замкнутой системы представляет собой объединение спектров диагональных блоков. Так как матрица $P_{22}$ не зависит от выбора $C$, её собственные числа всегда лежат в спектре.

Они неуправляемы, их количество: \[ \dim P_{22} = n - m. \]

Лемма об управлении спектром линейной системы с матрицей Фробениуса

Рассмотрим управляемую подсистему системы в отклонениях: \[ \dot{y} = P_0 y + q_0 u. \] Предположим, что \[ P_0 = \paren{ \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \dots & 0 & -\alpha_m \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -\alpha_{m-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & -\alpha_2 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -\alpha_1 \end{array} }, \qquad q_0 = \paren{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} }. \] Управление ищем в виде полной обратной связи: $u = C y$.

Для любого набора $\mu_1, \dots, \mu_m \in \mathbb{C}$ можно выбрать $C$ так, чтобы спектр матрицы замкнутой системы $P_0 + q_0 C$ совпадал с $\mu_1, \dots, \mu_m$.

Составляем матрицу \[ K_0 = \paren{ \begin{array}{ccccc} \alpha_{m - 1} & \alpha_{m-2} & \dots & \alpha_1 & 1 \\ \alpha_{m-2} & \dots & \alpha_1 & 1 & 0 \\ \vdots & \rddots & \rddots & \rddots & \vdots \\ \alpha_1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array} }, \] проводим замену переменных $y = K_0 z$, матрица снова фробениусова, замыкаем систему управлением $u = \gamma z$, находим из матрицы замкнутой системы полином.

Проведём замену переменных: $y = K_0 z$, где $K_0$ удовлетворяет уравнению \[ P_0^* = K_0^{-1} P_0 K_0, \quad \text{или} \quad K_0 P_0^* = P_0 K_0. \] Решая его методом Гаусса, получим, что \[ K_0 = \paren{ \begin{array}{ccccc} \alpha_{m - 1} & \alpha_{m-2} & \dots & \alpha_1 & 1 \\ \alpha_{m-2} & \dots & \alpha_1 & 1 & 0 \\ \vdots & \rddots & \rddots & \rddots & \vdots \\ \alpha_1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array} }. \] Тогда управляемая подсистема примет вид \[ \dot{z} = K_0^{-1} P_0 K_0 z + K_0^{-1} q_0 u. \] Используя \[ K_0 \bar{q}_0 = q_0 = \paren{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} }, \implies \bar{q}_0 = K_0^{-1} q_0 = \paren{ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} }, \] окончательно получаем: \[ \dot{z} = P_0^* z + \bar q_0 u. \]

Для этой системы будем строить стабилизационное управление $u = \gamma z$, доставляющее спектр $\mu_1, \dots, \mu_m$. Используем МНК: замыкаем систему \[ P_0^* + \bar q_0 \gamma = \paren{ \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ \gamma_m - \alpha_m & \gamma_{m-1} - \alpha_{m-1} & \dots & \gamma_2 - \alpha_2 & \gamma_1 - \alpha_1 \end{array} } \] — матрица Фробениуса для \[ \varphi(\lambda) = \det\paren{\lambda E - (P_0^* + \bar q_0 \gamma)} = \lambda^m + (\alpha_1 - \gamma_1) \alpha^{m-1} + \cdots + (\alpha_m - \gamma_m). \]

Если эталонный полином $\psi(\lambda) = \lambda^n + \beta_1 \lambda^{n-1} + \cdots + \beta_n$, то \[ \left\{ \begin{aligned} \beta_1 &= \alpha_1 - \gamma_1 \\ &\dots \\ \beta_m &= \alpha_m - \gamma_m \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} \gamma_1 &= \alpha_1 - \beta_1 \\ &\dots \\ \gamma_m &= \alpha_m - \beta_m \end{aligned}, \right. \] откуда \[ u = \gamma z = \gamma K_0^{-1} y, \implies C = \gamma K_0^{-1}. \]

Лемма об управлении спектром управляемой подсистемы общего вида

Рассмотрим управляемую подсистему \[ \dot{y} = P y + Q u, \] ищем $u = C y$.

Выбором $C$ матрице замкнутой управляемой подсистемы $P + QC$ можно обеспечить любой наперёд заданный спектр $\mu_1, \dots, \mu_m$.

Найти базисные векторы матрицы Калмана: \[ Q = (q_1, \dots, q_r), \] выбираем из последовательности \[ q_1, P q_1, P^2 q_1, \dots \] первые $n_1$ ЛНЗ. Если не хватает, то выбираем из \[ q_2, P q_2, P^2 q_2, \dots \] и так далее. В итоге рассмотрим $l$ последовательностей.
Строим из них матрицу $T$ и проводим замену $y = T z$. Получаем систему \[ \dot{z} = \widetilde{P} z + \widetilde{Q} u. \]
Находим матрицу $\widetilde{P} = T^{-1} P T$. Рассматриваем уравнение по столбцам, получаем, что $\widetilde{P}$ — блочно-диагональная с матрицами Фробениуса на диагонали (для каждого блока все, кроме последнего столбца, соответствуют какому-то базисному вектору, а последний раскладывается в линейную комбинацию базисных).
Найдём матрицу $\widetilde{Q} = T^{-1} Q$. Также рассматриваем по столбцам, получаем, что матрица $\widetilde{Q}$ состоит из блоков $e_k$ по диагонали, где $e_k$ получается из единичной матрицы заменой всех элементов нулями (кроме $e_{kk}$). Если $l = r$, то на этом всё, но если $l \lt r$, то после $l$ диагональных элементов оставшиеся будут раскладываться в линейные комбинации базисных векторов.
Рассмотрим теперь управление $u = C y = C T z = \widetilde{C} z$. Матрица $\widetilde{C}$ будет блочно-диагональной — можно найти из $\widetilde{C} = C T$. Если $l \lt r$, то снизу ещё нулевая матрица добавится.
Подставляя полученные матрицы в систему, находим, что матрица замкнутой системы будет блочно-диагональной с блоками вида $\widetilde{P}^{(k)} - e_k C_1$, причём $\widetilde{P}^{(k)}$ — Фробениуса. Такое уже решали, можем доставить любой спектр каждому блоку на диагонали, следовательно, задача решена.

Теорема об условиях существования стабилизирующего управления

Рассмотрим систему в отклонениях \[ \dot{x} = P x + Q u, \] ищем стабилизирующее управление в виде $u = C x$.

Стабилизирующее управление существует тогда и только тогда, когда неуправляемая подсистема асимптотически устойчива по Ляпунову, то есть собственные числа её матрицы лежат в левой полуплоскости.

Декомпозируем, получим, что матрица полученной системы блочная, значит, её спектр равен объединению спектров каждого блока, поэтому если хотя бы одно собственное число матрицы неуправляемой системы лежит в правой полуплоскости, то при любом выборе управления не получится сделать исходную систему асимптотически устойчивой.

Общий алгоритм решения задачи стабилизации

Строим $T$ — первые $m$ векторов берём из матрицы Калмана, остальными добиваем до базиса
Проводим замену $x = T y$.
Если есть неуправляемая подсистема, надо её проверить на асимптотическую устойчивость.
Строим \[ K = \paren{ \begin{array}{ccccc} \alpha_{m - 1} & \alpha_{m-2} & \dots & \alpha_1 & 1 \\ \alpha_{m-2} & \dots & \alpha_1 & 1 & 0 \\ \vdots & \rddots & \rddots & \rddots & \vdots \\ \alpha_1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array} }. \] Если система не ПУ, то справа ещё добавится единичная матрица размера $(n-m) \times (n-m)$ для неуправляемой подсистемы.
Для каждого блока матрицы $\widetilde{P}$ задаём эталонные значения и МНК ищем вектор $\gamma$.
Ставим полученные $\gamma_k$ на диагональ матрицы $\Gamma$, остальное забиваем нулями до нужной размерности.
Искомое управление: $u = C x$, где $C = \Gamma K^{-1} T^{-1}$.

Теорема о стабилизации нелинейной системы по линейному приближению

Рассмотрим нелинейную систему в отклонениях: \[ \dot{x} = F(t, x, u). \] Разложим $F(t, x, u)$ в ряд Маклорена в окрестности точки $0$ и выделим линейные слагаемые: \[ \dot{x} = P x + Q u + h(t, x, u). \] Считаем, что

$h(t, 0, 0) \equiv 0$ — т.к. система в отклонениях
$h(t, x, u) \in C\paren{\norm{x} \leqslant H_1, \norm{u} \leqslant H_2 }$, то есть $h$ непрерывна в некоторой окрестности точки $0$, причём \[ \norm{h(t, x, u)} \leqslant \alpha \paren{\norm{x} + \norm{u}}^{1 + \beta}, \] то есть $h$ имеет порядок малости меньше первого в этой окрестности.

Построим линейное приближение: \[ \dot{x}_1 = P x_1 + Q u_1. \]

Если при управлении $u = C x_1$ линейное приближение асимптотически устойчиво, то при управлении $u = C x$ нулевое решение нелинейной системы также будет асимптотически устойчиво.

Используя второй метод Ляпунова, нужно показать, что добавка $h(t, x, u)$ в достаточно малой окрестности нуля не портит отрицательную определённость производной в силу системы.

Доказательство будем проводить, используя второй метод Ляпунова, а именно:

Пусть существует заданная и непрерывно дифференцируемая при $\norm{x} \leqslant H, \; t \geqslant 0$ функция $V(t, x)$, обладающая следующими свойствами

$V(t, x)$ положительно определена
$V(t, x)$ допускает бесконечно малый высший предел:
- $V(t, 0) \equiv 0$
- $V(t, x)$ непрерывна по $x$ в точке $x = 0$ равномерно по $t \geqslant 0$.
Производная $V(t, x)$ в силу системы отрицательно определена.

Тогда нулевое решение системы равномерно асимптотически устойчиво.

Линейное приближение асимптотически устойчиво, а для линейных стационарных систем асимптотическая устойчивость эквивалентна экспоненциальной устойчивости, поэтому (по теореме об экспоненциальной устойчивости) существуют две положительно определённые квадратичные формы \[ v(x_1) = x_1^* V x_1 \quad \text{и} \quad w(x_1) = x_1^* W x_1 \] такие, что

существуют $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \gt 0$ такие, что \[ \begin{gathered} \alpha_1 \norm{x_1}^2 \leqslant v(x_1) \leqslant \alpha_2 \norm{x_1}^2\phantom{;} \\ \beta_1 \norm{x_1}^2 \leqslant w(x_1) \leqslant \beta_2 \norm{x_1}^2; \end{gathered} \]
и справедливо равенство \[ \at{\dv{v(x_1)}{t}}{(*)} = -w(x_1). \]

Для простоты положим $W := E$, то есть $w(x_1) = \norm{x_1}^2$. Тогда \[ \begin{aligned} \at{\dv{v(x_1)}{t}}{(*)} &= x_1^* (P + QC)^* V x_1 + x_1^* V (P + QC) x_1 = -x_1^* E x_1 \\ &\implies (P + QC)^* V + V(P + QC) = -E. \end{aligned} \] Получили матричное уравнение Ляпунова, откуда нашли $V$.

Рассмотрим квадратичную форму $v(x) = x^* V x$ с той же матрицей $V$. Рассмотрим производную в силу нелинейной системы: \[ \begin{aligned} \at{\dv{v(x_1)}{t}}{(1)} &\bydef= \at{\pd{v}{x_1} \dot{x}_1 + \cdots + \pd{v}{x_n} \dot{x}_n}{(1)} \\ &= \grad v(x) \cdot \left[(P + QC) x + h(t, x, Cx)\right] \\ &= \underbrace{\grad v(x) \cdot (P + QC) x}_{= -\norm{x}^2} + \grad v(x) \cdot h(t, x, Cx). \end{aligned} \] Оценим $\grad v(x) \cdot h(t, x, Cx)$: из неравенства Коши-Буняковского следует \[ \abs{\grad v(x) \cdot h(t, x, Cx)} \leqslant \norm{\grad v(x)} \cdot \norm{h(t, x, Cx)}. \] Так как \[ \begin{aligned} \norm{\grad v(x)} &\leqslant 2 \norm{V} \norm{x}, \quad \text{т.к. } \grad v(x) \text{ — линейная форма} \\ \norm{h(t, x, u)} &\leqslant \alpha \paren{\norm{x} + \norm{C} \norm{x}}^{1 + \beta} \\ &= \alpha\paren{1 + \norm{C}}^{1 + \beta} \norm{x}^{1 + \beta}, \end{aligned} \] поэтому \[ \abs{\grad v(x) \cdot h(t, x, Cx)} \leqslant \gamma \norm{x}^{2 + \beta}, \] где \[ \gamma := 2 \alpha \norm{V} \paren{1 + \norm{C}}^{1 + \beta}. \] Значит, \[ \begin{gathered} -\norm{x}^2 - \gamma \norm{x}^{2 + \beta} \leqslant \at{\dv{v(x_1)}{t}}{(1)} \leqslant -\norm{x}^2 + \gamma \norm{x}^{2 + \beta} \\ -\norm{x}^2 \underbrace{ \paren{1 + \gamma \norm{x}^{\beta}} }_{\geqslant 0} \leqslant \at{\dv{v(x_1)}{t}}{(1)} \leqslant -\norm{x}^2 \underbrace{ \paren{1 - \gamma \norm{x}^{\beta}} }_{\geqslant 0}. \end{gathered} \]

Оценка правой части справедлива, т.к. рассматриваем малую окрестность точки 0.

Значит, производная в силу системы ограничена отрицательно определёнными квадратичными формами, поэтому по теореме об экспоненциальной устойчивости нулевое решение нелинейной системы асимптотически устойчиво.

Постановка задачи оптимальной стабилизации

Рассмотрим линейную нестационарную систему в отклонениях: \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u, \] где

$x \in \mathbb{R}^n, \quad u \in \mathbb{R}^r$;
$P(t), Q(t) \in C_{t \geqslant 0}$, ограниченные, вещественные.

Управление \[ u = M(t) x \] будем считать допустимым, если замкнутая система \[ \dot{x} = (P(t) + Q(t) M(t)) x \] экспоненциально устойчива.

Введём функционал \[ J = \int\limits_0^\infty W^2 dt, \] где \[ W^2 := x^* A(t) x + x^* B(t) u + u^* B^*(t) x + u^* C(t) u. \] Считаем, что $u^* C(t) u$ положительно определена.

Найти допустимое управление, доставляющее минимум функционалу $J$.

Лемма о существовании семейства допустимых стабилизирующих управлений

Рассмотрим линейную нестационарную систему в отклонениях: \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u. \]

Управление \[ u = M(t) x \] будем считать допустимым, если замкнутая система \[ \dot{x} = (P(t) + Q(t) M(t)) x \] экспоненциально устойчива.

Если $u = M(t) x$ — допустимое управление, то для любой вещественной ограниченной непрерывной при $t \geqslant 0$ матрицы $N(t)$ управление \[ u = \paren{M(t) + \varepsilon N(t)} x \] также допустимо при достаточно малом $\varepsilon$.

Доказывается аналогично случаю стабилизации нелинейных систем (через второй метод Ляпунова) — надо показать, что добавка $\varepsilon N(t)$ при достаточно малых $\varepsilon$ не портит отрицательную определённость производной в силу системы.

Теорема об условиях существования оптимального стабилизирующего управления (без док-ва)

Рассмотрим линейную нестационарную систему в отклонениях: \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u \] с заданным функционалом \[ J = \int\limits_0^\infty W^2 dt, \] где \[ W^2 := x^* A x + x^* B u + u^* B^* x + u^* C u. \]

Оптимальное стабилизирующее управление $u_0 = M_0(t) x$ для $\forall x_0$ существует тогда и только тогда, когда матричное уравнение Рикатти \[ \dot{\Theta} - \Theta Q C^{-1} Q^* \Theta + \Theta \paren{P - Q C^{-1} B^*} + \paren{P^* - B C^{-1} Q^*} \Theta + A - B C^{-1} B^* = 0 \] имеет вещественное, ограниченное, непрерывное при $t \geqslant 0$ решение в виде такой симметричной матрицы $\Theta(t)$, что \[ u = - C^{-1} (Q^* \Theta + B^*) x \] является допустимым управлением.

Метод последовательных приближений Зубова

Рассмотрим систему $(1)$ в отклонениях \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u \] с заданным функционалом \[ J = \int\limits_0^\infty f(t, x, u) dt. \] Пусть квадратичная форма $f(t, x, u) = x^* A(t) x + u^* C(t) u$ положительно определена по $x$ и $u$.

Сущность метода заключается в построении последовательности допустимых управлений, сходящихся к оптимальному стабилизирующему.

Алгоритм

Возьмём допустимое управление $u_k(t) = M_k(t) x$, замкнём им систему: \[ \dot{x} = (P(t) + Q(t) M_k(t)) x. \] Обозначим её $(*)$.
Квадратичная форма в функционале примет вид $f(t, x, u_k) = x^* \paren{A + M_k^* C M_k} x$. По условию она положительно определена, значит, можно построить квадратичную форму $v_k(t, x) = x^* V_k(t) x$ такую, что \[ \at{\dv{v_k(t, x)}{t}}{(*)} = -f(t, x, u_k). \]
Распишем: \[ \begin{aligned} \at{\dv{v_k(t, x)}{t}}{(*)} &= -f(t, x, u_k) \\ \dot{V}_k + (P + Q M_k)^* V_k + V_k (P + Q M_k) &= -(A + M_k^* C M_k). \end{aligned} \]
Пусть $V_k(t)$ — решение предыдущего уравнения. Рассмотрим вспомогательную функцию \[ L_k(u(\cdot)) \bydef= v_k(t, x) + \int\limits_0^t f(t, x, u) dt. \] Построим управление, оптимальное в смысле демпфирования функции $L_k$, то есть доставляющее минимум производной в силу незамкнутой системы: \[ \at{\dv{L_k(t, x)}{t}}{(1)} = \at{\dv{v_k(t, x)}{t}}{(1)} + f(t, x, u). \] Можно показать, что точка минимума существует и единственна, а оптимальное в смысле демпфирования управление имеет вид \[ \overline u = -C^{-1} Q^* V_k x. \]
Положим $u_{k+1} := \overline u = -C^{-1} Q^* V_k x$.
Вернёмся к шагу 1.

Свойства последовательности приближений

Рассмотрим систему в отклонениях \[ \dot{x} = P(t) x + Q(t) u \] с заданным функционалом \[ J = \int\limits_0^\infty f(t, x, u) dt. \] Пусть квадратичная форма $f(t, x, u) = x^* A(t) x + u^* C(t) u$ положительно определена по $x$ и $u$.

По построению матрицы $V_k(t)$ \[ \at{\dv{v_k(t, x)}{t}}{(1), u=u_k} + f(t, x, u_k) = 0. \]
Функция \[ L_k(u(\cdot)) \bydef= v_k(t, x) + \int\limits_0^t f(t, x, u) dt \] убывает наискорейшим образом вдоль решений исходной системы, замкнутой управлением, оптимальным в смысле демпфирования, то есть $u_{k+1}(t, x)$. Из свойства 1 следует, что \[ \at{\dv{L_k(t, x)}{t}}{(1),u=u_k} = 0, \implies \at{\dv{L_k(t, x)}{t}}{(1),u=u_{k+1}} \leqslant 0, \] откуда получаем \[ \at{\dv{v_k(t, x)}{t}}{(1), u=u_{k+1}} + f(t, x, u_{k+1}) \leqslant 0. \]

Последовательные приближения: лемма 1

Если $u_k(t, x)$ допустимо, то $u_{k+1}(t,x)$ — тоже.

Следует из свойства 2.

Из свойства 2 следует, что \[ \at{\dv{v_k(t, x)}{t}}{(1), u=u_{k+1}} \leqslant -f(t, x, u_{k+1}), \] но ведь $f(t, x, u)$ — положительно определённая квадратичная форма (по условию), поэтому, по критерию экспоненциальной устойчивости, $u_{k+1}(t,x)$ — стабилизирующее управление.

Если $u_1(t,x)$ — допустимое, то для любого $k \in \N$ управление $u_k(t, x)$ также допустимо.

Последовательные приближения: лемма 2

Для любого $k \geqslant 0$ \[ v_{k+1}(t, x) \leqslant v_k(t, x) \] при всех $t \geqslant 0$.

Следует из свойств 1 и 2.

Из свойств 1 и 2 следует, что \[ \left\{ \begin{aligned} &\at{\dv{v_{k+1}(t, x)}{t}}{(1), u=u_{k+1}} + f(t, x, u_{k+1}) = 0 \\ &\at{\dv{v_k(t, x)}{t}}{(1), u=u_{k+1}} + f(t, x, u_{k+1}) \leqslant 0, \end{aligned} \right. \] поэтому \[ \at{\dv{}{t} \paren{v_{k+1}(t, x) - v_k(t, x)}}{(1), u=u_k} \geqslant 0. \] Найдём решение $x = x(t, t_0, x_0)$ системы при $u = u_{k+1}$ для произвольных начальных условий, тогда \[ \at{\dv{}{t} \paren{ v_{k+1}(t, x(t, t_0, x_0)) - v_k(t, x(t, t_0, x_0)) }}{(1), u=u_k} \geqslant 0. \] Проинтегрируем от $t_0$ до $T$: \[ \left[ v_{k+1} \paren{T, x(T, t_0, x_0)} - v_k \paren{T, x(T, t_0, x_0)} \right] - \left[ v_{k+1} \paren{t_0, x_0} - v_k \paren{t_0, x_0} \right] \geqslant 0. \] Первое слагаемое стремится к нулю при $T \to \infty$, т.к. решение $x = x(t, t_0, x_0) \to 0$ в силу экспоненциальной устойчивости, а $v_k$ и $v_{k+1}$ — положительно определённые квадратичные формы.

Получается, что \[ - \left[ v_{k+1} \paren{t_0, x_0} - v_k \paren{t_0, x_0} \right] \geqslant 0. \] откуда в силу произвольности $t_0, x_0$ и $k$ следует, что \[ v_{k+1}(t, x) \leqslant v_k(t, x). \]

Последовательные приближения: лемма 3

Если $u_1(t, x)$ — допустимое управление, то существуют $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \gt 0$ такие, что $\forall k \in \N$ для любого решения системы с управлением $u = u_k(t,x)$ при $t \geqslant t_0$ справедливо: \[ \alpha_1 \norm{x_0} e^{-\beta_1 (t - t_0)} \leqslant \norm{x(t, t_0, x_0)} \leqslant \alpha_2 \norm{x_0} e^{-\beta_2 (t - t_0)}. \]

Теорема о сходимости последовательности приближений

Если $f(t, x, u)$ положительно определена, а $u_1(t,x)$ допустимо, то последовательность $u_k$ сходится к $u_0$ равномерно: \[ \set{u_k(t, x)} \underset{\displaystyle \to}{\to} u_0(t, x). \]

Надо доказать, что последовательность \[ \set{V_k(t)} \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} V_0(t). \] Проверяем сначала сходимость диагональных элементов, потом недиагональных.

Если \[ \set{V_k(t)} \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} V_0(t), \] то \[ M_k(t) = -C^{-1} Q^* V_k(t) \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} M_0(t) = -C^{-1} Q^* V_0(t). \]

Проверим допустимость. Из леммы 3 следует экспоненциальная устойчивость левой части \[ M_k(t) = -C^{-1} Q^* V_k(t) \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} M_0(t) = -C^{-1} Q^* V_0(t), \] значит, следует и правая.

Проверим оптимальность. Достаточно показать, что $V_0(t)$ удовлетворяет уравнению Риккати. Так как $V_k(t)$ — решение матричного уравнения Ляпунова, то \[ \dot{V}_k + (P + Q M_k)^* V_k + V_k (P + Q M_k) = -(A + M_k^* C M_k) \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} \dot{V}_0 + (P + Q M_0)^* V_0 + V_0 (P + Q M_0) = -(A + M_0^* C M_0). \] Подставляя $M_0(t) = -C^{-1} Q^* V_0(t)$, получаем уравнение Риккати: \[ \dot{V}_0 + P^* V_0 + V_0 P + A - V_0 Q C^{-1} Q^* V_0 = 0. \]

Вопросы — Теория управления

1. Программные управления в линейных системах. Лемма о представлении семейства допустимых управлений

2. Управляемость пары точек и критерии полной управляемости линейной системы

3. Простейшая задача оптимального управления. Область управляемости и область достижимости. Выпуклость множеств

4. Достаточное условие полной управляемости

5. Критерий Калмана полной управляемости

6. Уточнённый критерий Калмана

7. Декомпозиция линейной управляемой системы. Следствие

8. Критерий Хаутуса полной управляемости

9. Матричная норма

10. Матричная экспонента

11. Оценка нормы матричной экспоненты

12. Устойчивость линейных систем. Основные определения

13. Устойчивость линейных стационарных систем. Теорема

14. Управляемость устойчивых линейных стационарных систем. Грамиан управляемости

15. Общая граничная задача. Лемма. Критерий разрешимости ОГЗ

16. Построение программных управлений в линейных разностных системах. Лемма о представлении семейства допустимых управлений

17. Управляемость пары точек и полная управляемость линейных разностных систем

18. Управляемость стационарных разностных систем. Критерий Хаутуса

19. Управляемость устойчивых стационарных разностных систем. Грамиан управляемости

20. Задача наблюдения в линейных системах. Критерии полной наблюдаемости

21. Принцип двойственности

22. Достаточное условие полной наблюдаемости

23. Задача дискретной наблюдаемости

24. Критерии Калмана и Хаутуса полной наблюдаемости

25. Декомпозиция линейной наблюдаемой системы. Следствие

26. Наблюдаемость устойчивых линейных стационарных систем. Интегральный критерий линейной независимости. Грамиан наблюдаемости

27. Задача наблюдения в линейных разностных системах

28. Наблюдаемость стационарных разностных систем. Критерий Хаутуса

29. Наблюдаемость устойчивых стационарных разностных систем. Грамиан наблюдаемости

30. Общая постановка задачи стабилизации движения. Система в отклонениях

31. Стабилизация линейных стационарных систем в случае полной обратной связи. Метод неопределённых коэффициентов. Понятие времени переходного процесса

32. Лемма о количестве неуправляемых собственных чисел

33. Лемма об управлении спектром линейной системы с матрицей Фробениуса

34. Лемма об управлении спектром управляемой подсистемы общего вида

35. Теорема об условиях существования стабилизирующего управления

36. Общий алгоритм решения задачи стабилизации

37. Стабилизация нелинейных систем по линейному приближению

38. Постановка задачи оптимальной стабилизации. Лемма. Теорема об условиях существования оптимального стабилизирующего управления (без док-ва)

39. Метод последовательных приближений Зубова построения оптимального стабилизирующего управления. Свойства последовательности приближений. Леммы 1-3

Алгоритм

40. Теорема о сходимости последовательности приближений