Рассмотрим его сначала для скалярного уравнения
\[
\tag{6}
\dot x = a x(t) + b x(t - \tau).
\]
Тогда характеристическое уравнение имеет вид
\[
\lambda - a - b c^{-\lambda \tau} = 0.
\]
Преобразуем его так: умножим на $\tau$:
\[
\lambda \tau - a \tau - b \tau e^{-\lambda \tau} = 0
\]
и введём обозначения
\[
z = \lambda \tau,
\qquad
a_1 = a \tau,
\qquad
b_1 b \tau.
\]
Умножим также на экспоненту с плюсовым показателем. Окончательно получаем
\[
\tag{7}
z e^z - a_1 e^z - b_1 = 0
\]
рис 1
На плоскости $a_1 b_1$ зафиксируем точку. Значит мы тем самым зафиксировали
уравнение (7), а значит зафиксировали какое-то расположение корней на плоскости.
Начнём эту точку на $a_1 b_1$ непрерывно двигать. Для квазиполинома справедливо то,
что корни непрерывно зависят от коэффициентов, поэтому при непрерывном сдвиге точки
$(a_1,b_1)$ начали непрерывно сдвигаться корни уравнения (7).
В силу непрерывности ни один корень не может перейти из одной полуплоскости
в другую без пересекания мнимой оси.
Для применения метода на плоскости $a_1 b_1$ построим линии, точкам которых
соответствуют уравнения (7), имеющие хотя бы один корень на мнимой оси. Построенные
линии разделят плоскость $a_1 b_1$ на области. Их будет, вообще говоря, счётное
число. При этом всем точкам какой-либо одной области соответствует уравнения (7)
с одинаковым количеством корней в правой полуплоскости.
Как это разбиение построить? Начнём с нуля:
\[
z = 0,
\]
тогда
\[
a_1 + b_1 = 0.
\]
рис 2
Теперь подставим $z = iy$, тогда
\[
\begin{aligned}
iy e^{iy} - a_1 e^{iy} - b_1
&=
iy (\cos y + i \sin y) - a_1 (\cos y + i \sin y) - b_1 = 0.
\end{aligned}
\]
Приравниваем вещественные и мнимые части нулю:
\[
\begin{aligned}
-y \sin y - a_1 \cos y - b_1 &= 0, \\
y \cos y - a_1 \sin y &= 0.
\end{aligned}
\]
Отсюда следует, что
\[
\tag{8}
\begin{aligned}
a_1 &= \frac{y \cos y}{\sin y}, \\
b_1 &= -\frac{y}{\sin y}.
\end{aligned}
\]
Заметим, что:
Обе функции по $y$ являются чётными, значит, можно использовать только
положительные $y$.
Знаменатели обращаются в $0$ в точках, кратных $\pi$, значит, положительную
полуось разбиваем на интервалы
\[
y \in (0, \pi) \cup (\pi, 2\pi) \cup \dots,
\]
и на каждом интервале получаем свой кусок границы.
Рассмотрим интервал $(0, \pi)$. Пусть $y \to +0$, тогда
\[
a_1 \to 1, \qquad b_1 \to -1.
\]
Получаем точку $(1, -1)$, она находится на ранее построенной прямой.
Пусть $y = \pi / 2$, тогда
\[
a_1 = 0, \qquad b_1 = -\frac{\pi}{2}.
\]
Если теперь рассмотрим $y \to \pi - 0$, то
\[
a_1 \to -\infty, \qquad b_1 \to -\infty.
\]
Заметим, что $a_1 = b_1$ служит асимптотой.
Если теперь расмотреть второй интервал и $y \to \pi + 0$, то оба значения поменяли
знак (на рисунке видно). И так далее — получаем счётное число областей.
Можно установить, что заштрихованная область является областью, которая отвечает
0 корням в правой полуплоскости. Это можно проверить, взяв точку
\[
a_1 \lt 0, \qquad b_1 = 0.
\]
Возникает вопрос: а одна ли такая область?
Вертикальная ось протыкает все области, которые лежат выше прямой $a_1 + b_1 = 0$.
Будем рассматривать точки
\[
a_1 = 0, \qquad b_1 \gt 0,
\]
а $z = x \in R$. Тогда
\[
x e^x = b_1, \implies e^x = \frac{b_1}{x}.
\]
Заметим, что экспонента и гипербола могут пересекаться только в положительной
области:
рис 3
Остальные области проверяются в книге Эльсгольца.
Таким образом, построили $D$-разбиение для этого уравнения.
Если уравнение (7) имеет порядок выше первого, то для исследования можно попытаться
разложить квазиполином в произведение нескольких квазиполиномов первого порядка
или (что тоже возможно) в произведение квазиполиномов первого порядка и полинома
произвольного порядка (так как для исследования его корней есть методы), то есть
произвести факторизацию.
Мулюков исследовал случай $n = 2$:
\[
\dot X = A_0 X(t) + A_1 X(t - \tau), \qquad n = 2.
\]
Критерий (необходимое и достаточное условие) факторизации:
\[
\det \paren{ A_0 A_1 - A_1 A_0 } = 0.
\]
Выяснить вопрос об устойчивости нулевого решения системы
\[
\ddot x(t) + 3 \dot x(t) + 2 x(t) - 3 \dot x(t - 1) - 5 x(t - 1) + 2 x(t - 2) = 0.
\]
Тогда
\[
\begin{aligned}
a_1 &= -1, \\
a_2 &= -2, \\
b_1 &= 1, \\
b_2 &= 2,
\end{aligned}
\]
и квазиполином факторизуется как
\[
\paren{ \lambda + 1 - e^{-\lambda} }
\paren{ \lambda + 2 - 2 e^{-\lambda} }.
\]
Из первого квазиполинома следует, что асимптотической услойчивости нет, так как
$(a_1, b_1)$ должна попасть внутрь области, а не на границу.
рис 4, проверь предложение выше
Класс систем, всегда допускающий факторизацию
\[
\tag{9}
\dot X = A X(t - \tau).
\]
Размерность произвольная, но матрица всего одна. Характеристическое уравнение:
\[
\det\paren{ \lambda E - A e^{-\lambda \tau} } = 0,
\]
или
\[
\det\paren{ \lambda e^{\lambda \tau} E - A } = 0.
\]
Пусть характеристическое уравнение матрицы $A$ имеет вид
\[
\det\paren{ \lambda E - A }
=
\prod_{k=1}^n \paren{ \lambda - \lambda_k },
\]
откуда следует, что характеристическое уравнение системы (9) можно представить как
\[
\tag{10}
\prod_{k=1}^n \paren{ \lambda e^{\lambda \tau} - \lambda_k } = 0.
\]
Посмотрим, что даёт применение метода $D$-разбиений к каждому сомножителю:
\[
\lambda e^{\lambda \tau} - \lambda_k, \qquad \lambda_k = \alpha + i \beta.
\]
Тогда, подставив $\lambda = i y$, получаем
\[
\begin{aligned}
iy e^{iy\tau} - \alpha - i \beta
&=
iy \paren{ \cos(y \tau) + i \sin(y \tau) } - \alpha - i \beta = 0.
\end{aligned}
\]
Рассматриваем вещественные и мнимые части:
\[
\begin{aligned}
\alpha &= -y \sin (y \tau), \\
\beta &= \phantom{-} y \cos (y \tau).
\end{aligned}
\]
Домножим оба уравнения на $\tau$ и введём обозначения:
\[
\alpha_1 = \alpha \tau,
\qquad
\beta_1 = \beta \tau,
\qquad
z = y \tau,
\]
тогда
\[
\begin{aligned}
\alpha_1 &= -z \sin z, \\
\beta_1 &= \phantom{-} z \cos z.
\end{aligned}
\]
причём
\[
z \in \paren{ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} }.
\]
Для асимптотической устойчивости системы (9) можно сосчитать, что получится в разных
точках области
рис 5
В эту область вписывается окружность, которая задаётся как
\[
\paren{ \alpha_1 + \frac{1}{2} }^2 + \beta_1^2 = \frac{1}{4},
\]
а попадание в эту окружность легко проверить.
Покажем, что эта окружность вписывается в область устойчивости на комплексной
плоскости. Подставим вместо $\alpha_1, \beta_1$ выражения через $z$, тогда
\[
\begin{aligned}
\paren{ -z \sin z + \frac{1}{2} }^2 + \paren{ z \cos z }^2
&=
z^2 - z \sin z + \frac{1}{4} = \\
&=
z^2 \underbrace{\paren{ 1 - \frac{\sin z}{z} }}_{\gt 0} + \frac{1}{4}
\gt \frac{1}{4}.
\end{aligned}
\]
почитай методичку и проверь что тут написано
\[
A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
- 13 & -6
\end{pmatrix},
\]
собственные числа:
\[
\lambda = -3 \pm 2 i.
\]
я забил, сумбур + пишет на мокрой доске, я ничего не вижу
2023-11-11
Исследование по линейному приближению
\[
\tag{1}
\dot x = f(x(t), x(t - \tau))
\]
Пусть
\[
y(t) = x(t) - x_0, \qquad y_\tau = y(t - \tau) = x(t - \tau) - x_0,
\]
тогда
\[
\tag{3}
\begin{aligned}
\dot y &= \dot x = f(x, x_\tau) = \\
&= f(x_0, x_0) + \at{\pd{f}{x}}{x = x_0, x_\tau = x_0} \cdot (x - x_0)
+ \at{\pd{f}{x_\tau}}{x = x_0, x_\tau = x_0} \cdot (x_\tau - x_0)
+ l(x - x_0, x_\tau - x_0) = \\
&= a y + b y(t - \tau) + l(y, y_\tau)
\end{aligned}
\]
Так как
\[
x(t) \equiv x_0 \implies y(t) \equiv 0, \varphi(t) \equiv 0.
\]
Тогда
\[
\tag{4}
\dot y = ay + b y_\tau.
\]
(Пуанкаре-Ляпунова).
Добавить формулировку
Если
Все корни характеристического уравнения
\[
\tag{5}
\lambda - a - b e^{-\lambda \tau} = 0
\]
имеют отрицательные вещественные части
то нулевое решение уравнения (3) асимптотически устойчиво.
Разбей на пункты
Перейдём от уравнения (3) к равносильному интегральному уравнению.
Построим последовательное приближение. Доказательство таким образом
частично будет напоминать доказательство теоремы Пикара.
Покажем, что если начальные функции выбираются из условия
\[
\abs{\varphi_\tau(\cdot)}_\tau \lt \delta,
\]
где $\delta$ достаточно мало, то все последовательные приближения
нелокально продолжимы вправо, то есть определены при всех
$t \geqslant \tau$, и последовательность приближений равномерно
ограничена.
Установим, что построенная последовательность равномерно
относительно $t$ сходится на $[\tau, +\infty)$ к некоторой
предельной функции $\bar y(t)$.
Проверим, что $\bar y(t)$ является решением интегрального уравнения,
которое было введено вместо уравнения (3), и покажем, что $\bar y(t)
\limto{t \to +\infty} 0$.
Рассмотрим уравнение (4). Все корни уравнения (5) имеют отрицательные вещественные части.
В прошлый раз было доказано, что если $\lambda_k$ — некоторый корень уравнения (5),
то соответствующее ему решение уравнения (4) может быть представлено в виде
\[
y_k(t) = P_k(t) e^{\lambda_k t},
\]
где $P_k(t)$ — полином относительно $t$ с произвольными постоянными коэффициентами
степени на 1 меньше чем кратность корня. Тогда все решения уравнения (4) содержатся в формуле
\[
y = \sum\limits_{k=1}^{\infty} P_k(t) e^{\lambda_k t}.
\]
По условию все корни имеют отрицательные вещественные части:
\[
\Re \lambda_k \lt 0,
\]
следовательно, все решения уравнения (4) стремятся к нулю при $t \to +\infty$:
\[
\forall y \limto{t \to +\infty} 0
\]
независимо от начальной функции. При этом говорят, что уравнение (4) асимптотически устойчиво
в целом.
Пусть далее $k(t)$ — одномерный аналог фундаментальной матрицы для уравнения (4).
Поскольку выбран начальный момент времени $\tau$, то $k(\tau) = 1$, причём
\[
k(t) \equiv 0, \qquad t \lt \tau.
\]
Выпишем решение уравнение (4), соответствующее начальной функции $\varphi$:
\[
y(t, \varphi_\tau(\cdot), \tau)
=
k(t - \tau) \varphi(\tau)
+ b \int\limits_{-\tau}^{0} k(t - \tau - \tau - \xi) \varphi(\tau + \xi) d\xi.
\]
Введём замену: $s = \tau + \xi$, поэтому $ds = d\xi$, откуда следует, что
\[
\tag{7}
y(t, \varphi_\tau(\cdot), \tau)
=
k(t - \tau) \varphi(\tau)
+ b \int\limits_{0}^{\tau} k(t - \tau - s) \varphi(s) ds.
\]
Для сокращения введём обозначение
\[
y_0(t) \equiv y(t, \varphi_\tau(\cdot), \tau).
\]
В силу ранее сказанного мы знаем, что $y_0(t)$ ограничена, причём
\[
y_0(t) \limto{t \to +\infty} 0 \qquad \forall \varphi.
\]
Построим оценку на $k(t)$. Оно удовлетворяет условию для фундаментальной матрицы:
\[
\dv{k}{t} = a k(t) + b k(t - \tau).
\]
Тогда оценить можно так:
\[
\abs{k(t)} \leqslant c_0 e^{\alpha_0 t},
\]
где $c_0, \alpha_0 = \const$, причём $\alpha_0 \lt 0$ —
вещественная часть корня уравнения (5), ближайшего слева к мнимой оси.
Используя эту оценку, напишем оценку для $\abs{y_0(t)}$. Для этого посмотрим на формулу (7).
В неё входит $k$ и $\varphi$ в оба слагаемых, причём
\[
\abs{\varphi_\tau(\cdot)}_\tau \lt \delta,
\]
поэтому
\[
\abs{y_0(t)} \leqslant c_1 \delta,
\]
где $c_1 = c_1(c_0, \alpha_0, \abs{b}, \tau)$.
Заменим уравнение (3) следующим интегральным уравнением:
\[
\tag{8}
y(t) = y_0(t) + \int\limits_{\tau}^{t} k(t - s) l(y(s), y(s - \tau)) ds.
\]
Обратим внимание на пределы интегрирования. Нижний предел равняется $\tau$, так как
$y(s - \tau)$, который определяется только при неотрицательных значениях аргумента.
Проверим на равномерную ограниченность последовательные приближения:
\[
\tag{9}
y_{n+1}(t) =
\begin{cases}
\varphi(t), & t \in [0, \tau], \\
y_0(t) + \int\limits_{\tau}^{t} k(t - s) l(y_n(s), y_n(s - \tau)) ds,
& t \geqslant \tau.
\end{cases}
\]
В качестве нулевого приближения возьмём $y_0(t)$.
Так как
\[
\abs{y_0(t)} \leqslant c_1 \delta \lt 2 c_1 \delta,
\]
то для $y_0(t)$ очевидно.
Двойка в оценке появилась, так как в приближение входит два аргумента:
$y_n(s)$ и $y_n(s - \tau)$.
Индуктивное предположение: пусть
\[
\tag{10}
\abs{y_n(t)} \lt 2 c_1 \delta, \qquad \abs{y_n(t - \tau)} \lt 2 c_1 \delta
\qquad \forall t \geqslant \tau.
\]
Нелокальную продолжимость $y_{n+1}$ может нарушить только $l$.
Рассуждаем следующим образом. Уравнение (3) имело нулевое решение,
следовательно,
\[
l(0, 0) = 0,
\]
поэтому функция $l$ определена в некоторой окрестности нуля. Но ведь
условие (10) эту некоторую окрестность нуля и задаёт, поэтому в нём
выберем $\delta$ настолько малым, чтобы значения $y_n(s)$ и $y_n(s -
\tau)$ не выходили из области определения $l$. Если так, то $y_{n+1}$
будет определена тоже для всех $t \geqslant \tau$, потому что никакие
другие элементы формулы (9) этому не мешают.
Таким образом показали нелокальную продолжимость. Оценим её теперь.
Для этого вернёмся к функции $f(x, x_0)$, она удовлетворяла условию
Липшица, следовательно, функция $l(y, y_\tau)$ тоже липшицева:
\[
\abs{l(u,v) - l(\bar u, \bar v)} \leqslant L \paren{
\abs{u - \bar u} + \abs{v - \bar v}
}.
\]
Положим $\bar u = \bar v = 0$, откуда
\[
\abs{l(u,v)} \leqslant L\paren{ \abs{u} + \abs{v} }.
\]
Тогда
\[
\frac{\abs{l(u,v)}}{\abs{u} + \abs{v}} \leqslant L,
\]
однако в силу условия (6) величина слева не просто ограничена
константой, но и стремится к нулю, если $\abs{u} + \abs{v} \to 0$.
Отсюда следует, что существует величина $\hat L(u, v) \leqslant L$
такая, что
\[
\hat L(u, v) \limto{\abs{u} + \abs{v} \to 0} 0,
\]
для которой
\[
\tag{11}
\abs{l(u, v)} \leqslant \hat L(u, v) \cdot \paren{ \abs{u} + \abs{v} }.
\]
Отсюда сразу следует, что
\[
\tag{12}
\begin{aligned}
\abs{l(y_n(s), y_n(s - \tau))}
&\leqslant
\hat L(y_n(s), y_n(s - \tau)) \cdot \paren{ \abs{y_n(s)} + \abs{y_n(s - \tau)} } \lt \\
&\lt
4 c_1 \delta \hat L.
\end{aligned}
\]
Тогда
\[
\abs{y_{n+1}(t)} \leqslant
\begin{cases}
\delta, & t \in [0, \tau], \\
\abs{y_0(t)} + \int\limits_{\tau}^{t} \abs{k(t - s)} \abs{l(y_n(s), y_n(s - \tau))} ds.
& t \geqslant \tau.
\end{cases}
\]
Поэтому при $t \geqslant \tau$
\[
\abs{y_{n+1}(t)}
\lt
c_1 \delta + \int\limits_{0}^{\infty} \abs{k} \cdot 4 c_1 \delta \hat L ds.
\]
Пределы интегрирования такие, тк подынтегральное выражение неотрицательно, поэтому
с такими пределами оценка только усилится.
Рассмотрим
\[
\int\limits_{0}^{\infty} \abs{k} ds.
\]
Этот интеграл сходится, так как при отрицательных значениях аргумента $k = 0$, а при
положительных значениях
\[
\abs{k(t)} \leqslant c_0 e^{\alpha_0 t},
\]
поэтому
\[
\int\limits_{0}^{\infty} \abs{k} ds = I_0.
\]
Численное значение нас не интересует.
Окончательно получаем, что при $t \geqslant \tau$.
\[
\begin{aligned}
\abs{y_{n+1}(t)}
&\lt
c_1 \delta + 4 c_1 \delta \hat L I_0 = \\
&= c_1 \delta \paren{ 1 + 4 \hat L I_0 }.
\end{aligned}
\]
Известно, что $\hat L \limto{\abs{y_n} + \abs{y_n(t - \tau)} \to 0}
0$, то есть при $t \to +\infty$. Значит, при достаточно больших
значениях $t$
\[
4 \hat L I_0 \lt 1,
\]
поэтому
\[
\abs{y_{n+1}(t)} \lt 2 c_1 \delta.
\]
Величина справа не зависит ни от $t$, ни от номера $n$. Итак, получили
равномерную ограниченность всех элементов последовательности.
Покажем теперь, что последовательность $y_n$ равномерно по $t$ сходится на интервале
$[\tau, +\infty)$. Заменим равномерную сходимость последовательности на равномерную сходимость
функционального ряда:
\[
\tag{13}
y_0(t) + \sum\limits_{n=0}^{\infty} \paren{ y_{n-1}(t) - y_n(t) }.
\]
Построим числовой мажорантный ряд. $y_0(t)$ по модулю уже оценен, поэтому, пользуясь
формулой (9), оценим первую разность:
\[
\abs{y_1(t) - y_0(t)}
\leqslant
\int\limits_{\tau}^{t} \abs{k(t - s)} \cdot \abs{l(y_0(s), y_0(s - \tau))} ds.
\]
Применим опять формулу, полученную для оценки на $l$:
\[
\begin{aligned}
\abs{y_1(t) - y_0(t)}
&\lt
\int\limits_{0}^{\infty} \abs{k(t - s)}
\cdot \hat L \paren{ \abs{y_0(s)} + \abs{y_0(s - \tau)} } ds \lt \\
&\lt
4 \hat L c_1 \delta \int\limits_{0}^{\infty} \abs{k(t - s)} ds.
\end{aligned}
\]
Но
\[
\int\limits_{0}^{\infty} \abs{k(t - s)} ds = \frac{c_0}{\abs{\alpha_0}},
\]
поэтому
\[
\abs{y_1(t) - y_0(t)}
\lt
\frac{4 c_0 c_1 \delta \hat L}{\abs{\alpha_0}}
\limto{t \to +\infty} 0.
\]
Итак, получили, что
\[
\abs{y_1(t) - y_0(t)} \limto{t \to +\infty} 0,
\]
но
\[
y_0(t) \limto{t \to +\infty} 0,
\]
поэтому
\[
y_1(t) \limto{t \to +\infty} 0.
\]
Построили мажорантный ряд:
\[
\begin{aligned}
\abs{y_0} + \abs{y_1 - y_0} + \cdots + \abs{y_{n+1} - y_n} + \dots
&\lt
2 c_1 \delta + m_1(t) + c_2 m_1(t) + c_2^2 m_1(t) + \dots = \\
&=
2 c_1 \delta + m_1(t) \paren{ 1 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} c_2^k } \leqslant \\
&\leqslant
2 c_1 \delta + \paren{ 1 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} c_2^k } 2 c_1 c_2 \delta.
\end{aligned}
\]
Так как в $c_2$ входит $\hat L$, то при достаточно больших $t$ $\abs{c_2} \lt 1$,
поэтому
\[
\abs{y_0} + \abs{y_1 - y_0} + \cdots + \abs{y_{n+1} - y_n} + \dots \lt \infty.
\]
Сошёлся мажорантный ряд, причём сумма ряда не зависит от $t$, поэтому
по признаку Вейерштрасса функциональный ряд (13) сходится равномерно
к предельной функции $\bar y(t)$.
Перейдём к пределу при $n \to \infty$ в формулах последовательных приближений (9).
Получаем, что
\[
\tag{14}
\bar y(t) = y_0(t) + \int\limits_{\tau}^{t} k(t - s) \cdot l(\bar y(s), \bar y(s - \tau)) ds.
\]
Так как
\[
y_0(t) \to 0, \qquad k(t - s) \to 0, \qquad l \to 0,
\]
то $\bar y(t) \to 0$, если
\[
\abs{\varphi_\tau(\cdot)}_\tau \lt \delta,
\]
причём $\delta$ достаточно мало (насколько достаточно — смотри
индукционное предположение).
Условие (6)
\[
\lim\limits_{\abs{y} + \abs{y_\tau} \to 0}
\frac{\abs{l(y, y_\tau)}}{\abs{y} + \abs{y_\tau}} = 0,
\]
выполнено автоматически, если функция $f$ в уравнении (1) имеет
вторые непрерывные производные по $x, x_\tau$ и смешанные
хотя бы в окрестности точек равновесия.
В этом случае тейлоровское разложение можем продолжить, тогда порядок малости
$l(y, y_\tau)$ квадратом, и условие выполняется.
Исследовать на усточивость стационарное решение уравнения
\[
\dot x = - 2 \sin x(t) - x(t - \tau).
\]
Найдём положения равновесия (приравниваем нулю правую часть), получаем $x = 0$.
Условие (6) выполнено по предыдущему замечанию, поэтому рассмотрим
\[
\dot y = a y + b y_\tau,
\]
где
\[
\begin{aligned}
a &= \at{\pd{f}{x}}{0} = -2, \\
b &= \at{\pd{f}{x_\tau}}{0} = -1.
\end{aligned}
\]
Тогда уравнение линейного приближения имеет вид
\[
\dot y = -2 y - y(t - \tau).
\]
Посмотри методичку. Картинку можно найти в Эльсгольце (стр. 126)
\[
\dot x = x^2(t) - x^3(t - \tau).
\]
Две точки равновесия: $x \equiv 0, x \equiv 1$.
Рассмотрим первое. Так как $\dot x = 0$, то есть у характеристического
уравнения есть нулевой корень. Первое условие теоремы не выполнено,
поэтому ей пользоваться нельзя.
Рассмотрим второе.
\[
\pd{f}{x} = 2, \qquad \pd{f}{x_\tau} = -3,
\]
поэтому
\[
a_1 = 2 \tau, \qquad b_1 = - 3 \tau.
\]
Если провести эту линию на $D$-разбиениях (рис. 11 Эльсгольца), то можно
увидеть, что при небольших $\tau$ точка лежит в области асимптотической
устойчивости, а при $\tau \gt \bar \tau$ линия выходит, поэтому можно
сказать, что второе положение равновесия устойчиво при малых
запаздываниях.
Потренироваться решать задачи из методчики.
Применение к системам
Рассмотрим систему
\[
\begin{aligned}
\dot x &= P(x, x_\tau, y, y_\tau), \\
\dot y &= Q(x, x_\tau, y, y_\tau).
\end{aligned}
\]
Запаздывание одно, постоянное и равно $\tau = \const$. Про функции $P$ и $Q$
предполагаем, что они непрерывны и имеют непрерывные первые производные на
области задания.
Положения равновесия находятся из системы
\[
\begin{aligned}
P(x_0, x_0, y_0, y_0) = 0, \\
Q(x_0, x_0, y_0, y_0) = 0.
\end{aligned}
\]
Если она разрешима, то
\[
x(t) \equiv x_0, \qquad y(t) \equiv y_0.
\]
Введём систему в отклонениях. Пусть
\[
\begin{aligned}
u(t) &= x(t) - x_0, \\
v(t) &= y(t) - y_0,
\end{aligned}
\]
тогда
\[
\begin{aligned}
\dot u = \dot x
&= P(x_0, x_0, y_0, y_0) + \\
&\phantom{=}+ \at{\pd{P}{x}}{(x_0, y_0)} \cdot (x - x_0)
+ \at{\pd{P}{x_\tau}}{(x_0, y_0)} \cdot (x_\tau - x_0) + \\
&\phantom{=} + \at{\pd{P}{y}}{(x_0, y_0)} \cdot (y - y_0)
+ \at{\pd{P}{y_\tau}}{(x_0, y_0)} \cdot (y_\tau - y_0) + \\
&\phantom{=} + l_1(...).
\end{aligned}
\]
Аналогично для $\dot v$. Заметим, что $l_1, l_2$ зависят от скобок $(x - x_0)$ и так далее.
Итак, система в отклонениях:
\[
\begin{pmatrix}
\dot u \\
\dot v
\end{pmatrix}
=
A (x_0, y_0)
\begin{pmatrix}
u \\ v
\end{pmatrix}
+
B (x_0, y_0)
\begin{pmatrix}
u_\tau \\ v_\tau
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
l_1(u, v, u_\tau, v_\tau) \\
l_2(u, v, u_\tau, v_\tau)
\end{pmatrix},
\]
где
\[
A =
\left.
\begin{pmatrix}
\pd{P}{x} & \pd{P}{y} \\
\pd{Q}{x} & \pd{Q}{y} \\
\end{pmatrix}
\right|_{(x_0, y_0)},
\qquad
B =
\left.
\begin{pmatrix}
\pd{P}{x_\tau} & \pd{P}{y_\tau} \\
\pd{Q}{x_\tau} & \pd{Q}{y_\tau} \\
\end{pmatrix}
\right|_{(x_0, y_0)}.
\]
Тогда система линейного приближения:
\[
\begin{pmatrix}
\dot u \\
\dot v
\end{pmatrix}
=
A
\begin{pmatrix}
u \\ v
\end{pmatrix}
+
B
\begin{pmatrix}
u_\tau \\ v_\tau
\end{pmatrix}.
\]
Условия теоремы:
\[
\det( \lambda E - A - B e^{-\lambda \tau} ) = 0.
\]
Рассмотрим систему
\[
\tag{1}
\dot X = A_0 X(t) + A_1 X(t - \tau)
\]
Система (1) неустойчива тогда и только тогда, когда существует
$\lambda_0 \in \C$ с неотрицательной вещественной частью
$\Re \lambda_0 \geqslant 0$ и постоянный ненулевой вектор $C$
такой, что функция Ляпунова
\[
\tag{2}
V(t,x) = e^{(\alpha - \lambda_0) t} C^T x,
\]
продифференцированная в силу системы (1), имеет
на нетривиальных решения вспомогательной системы
\[
\tag{3}
\dot z_i = \lambda_0 z_i, \qquad i = \overline{1,n}
\]
вид
\[
\at{\dv{V}{t}}_{(1), (3)} = \alpha V(t, Z),
\]
где $\alpha \in \C$ — произвольная постоянная.
Обычно мы писали
\[
\at{\dv{V}{t}}_{(1)} = \pd{V}{t} + \pd{V}{x} \dot x.
\]
Всюду вместо $x$ подставляем нетривиальное решение системы (3).
Пусть система (1) неустойчива. Рассмотрим характеристическое уравнение
\[
\det \paren{ \lambda E - A_0 - A_1 e^{-\lambda \tau} } = 0.
\]
В силу неустойчивости это уравнение имеет хотя бы один корень
с неотрицательной вещественной частью. Возьмём его в качестве $\lambda_0$,
а вектор $C$ построим как собственный вектор для собственного числа
$\lambda_0$:
\[
\tag{4}
C^T \paren{ \lambda_0 E - A_0 - A_1 e^{-\lambda_0 \tau} } = 0.
\]
Тогда вектор $C \neq 0$.
Рассмотрим теперь систему (3). Её нетривиальное решение имеет вид
\[
z_i(t) = e^{\lambda_0 t}.
\]
Тогда
\[
\tag{5}
z_i(t - \tau)
= e^{\lambda_0 (t - \tau)}
= z_i(t) e^{- \lambda_0 \tau}.
\]
Рассмотрим теперь производную функции Ляпунова в силу системы (1):
\[
\begin{aligned}
\at{\dv{V}{t}}_{(1)} &= \pd{V}{t} + \pd{V}{x} \dot x = \\
&=
(\alpha - \lambda_0) e^{(\alpha - \lambda_0) t} C^T X(t)
+
e^{(\alpha - \lambda_0) t} C^T \paren{ A_0 X(t) + A_1 X(t - \tau) }.
\end{aligned}
\]
Вместо $X(t)$ подставим решение вспомогательной системы:
\[
\tag{6}
\begin{aligned}
\at{\dv{V}{t}}_{(1), (3)}
&=
\overbrace{\alpha e^{(\alpha - \lambda_0) t} C^T Z}^{\alpha V(t, Z)}
+
e^{(\alpha - \lambda_0) t} C^T \paren{ A_0 Z + A_1 e^{-\lambda_0 \tau} Z } - \\
&\phantom{=}
- \lambda_0 e^{(\alpha - \lambda_0) t} C^T Z = \\
&= \alpha V(t, Z)
+
e^{(\alpha - \lambda_0) t} C^T \paren{
A_0 + A_1 e^{-\lambda_0 \tau} - \lambda_0 E
} Z.
\end{aligned}
\]
В силу соотношения (4)
\[
C^T \paren{ A_0 + A_1 e^{-\lambda_0 \tau} - \lambda_0 E } = 0.
\]
Необходимость доказана.
Пусть выполнены условия теоремы. Продифференцируем функцию $V$ в силу системы (1)
и рассмотрим эту производную на нетривиальных решениях системы (3). Получим
\[
\at{\dv{V}{t}}_{(1), (3)}
= \alpha V(t, Z)
+
e^{(\alpha - \lambda_0) t} C^T \paren{
A_0 + A_1 e^{-\lambda_0 \tau} - \lambda_0 E
} Z.
\]
но по условию теоремы эта производная должна равняться
$\alpha V(t, Z)$. Следовательно, второе слагаемое равняется нулю:
\[
e^{(\alpha - \lambda_0) t}
C^T \paren{ A_0 + A_1 e^{-\lambda_0 \tau} - \lambda_0 E } Z = 0.
\]
Так как $Z \neq 0$, следовательно, выполняется равенство (4):
\[
C^T \paren{ \lambda_0 E - A_0 - A_1 e^{-\lambda_0 \tau} } = 0,
\]
где $\lambda_0$ — корень характеристического уравнения системы (1)
с неотрицательной вещественной частью. Отсюда следует неустойчивость.
Вернёмся к нелинейному случаю и рассмотрим ещё одно определение — устойчивость
в широком смысле как отрицание равномерной устойчивости.
Рассмотрим систему
\[
\tag{7}
\dot X = F(t, X_t(\cdot)).
\]
Говорят, что нулевое решение системы (7) неустойчиво в широком смысле, если
существует $\varepsilon \gt 0$ такой, что можно построить три последовательности
\[
\set{ t_{0_k} }_{k=1}^\infty, \qquad
\set{ X_{0_k} }_{k=1}^\infty, \qquad
\set{ T_k }_{k=1}^\infty,
\]
удовлетворяющие набору условий:
$\set{ t_{0_k} }_{k=1}^\infty$ — последовательность начальных
моментов времени,
$\set{ X_{0_k} }_{k=1}^\infty$ — последовательность начальных
условий, взятых в $\varepsilon$-окрестности.
Нулевое решение системы (7) неустойчиво в широком смысле, если
существует функция $V(t, X)$, заданная при $t \geqslant 0$ и $\norm{X} \lt H$,
такая, что выполняются условия
$V(t, X)$ ограничена в области задания;
$V(t, X)$ допускает б.м.в.п.;
существует значение $t^* \gt 0$ такое, что в любой сколь угодно
малой окрестности нуля найдётся $X^*$ такой, что
\[
V(t^*, X^*) \gt 0;
\]
производная $V(t, X)$ в силу системы (7) есть функционал
\[
\at{\dv{V}{t}}_{(7)} = U(t, X_t(\cdot)),
\]
заданный на любых непрерывных кривых $y_t(\cdot)$, удовлетворяющих
условию $\norm{y_t(\cdot)}_\tau \lt H$, и удовлетворяющий условию
\[
\tag{8}
U(t, y_t(\cdot)) \geqslant W(\norm{y(t)})
\]
на кривых, подчинённых условию Разумихина:
\[
V(s, y(s)) \leqslant V(t, X(t)),
\qquad y(t) = X(t), \quad s \in [t - \tau, t],
\]
где $W(z)$ — определённо-положительная функция.
Докажем от противного. Пусть в условиях теоремы нулевое решение системы (7)
равномерно устойчиво. Зададим $\varepsilon \gt 0$, по нему построим
$\delta(\varepsilon)$, не зависящее от начальной точки, возьмём начальную функцию
из $\delta$-окрестности:
\[
\norm{\varphi_{t_0}(\cdot)}_\tau \lt \delta(\varepsilon),
\]
тогда
\[
\norm{X_\varphi(t)} \lt \varepsilon, \qquad \forall t \geqslant t_0.
\]
Подставим это решение в функцию $V(t, X)$ и найдём ту точку $(t^*,
X^*)$, где
\[
V(t^*, X^*) \gt 0.
\]
Так как $X^*$ существует в сколь угодно малой окрестности нуля, то
считаем, что
\[
\norm{X^*} \lt \delta.
\]
Перенесём начальную точку в точку $t^*$. Из предположения о равномерной
устойчивости следует, что $\delta$ не изменится. Новое начальное множество:
\[
E_{t^*} = [t^* - \tau, t^*].
\]
На нём определим новую начальную функцию $\overline \varphi(t)$ такую, что
для функции $\overline \varphi(t)$ на начальном множестве $E_{t^*}$
выполняется условие Разумихина:
\[
V(s, \overline \varphi(s))
\leqslant
V(t^*, \overline \varphi(t^*))
= V(t^*, X^*),
\qquad s \in E_{t^*}.
\]
Так как $V(t^*, X^*) \gt 0$, то этому условию можно удовлетворить.
Из выполнения условия Разумихина вытекает, что
\[
\tag{9}
U(t^*, \overline \varphi_{t^*}(\cdot))
\geqslant
W(\norm{\overline \varphi(t^*)})
=
W(\norm{X^*})
\gt 0.
\]
Отсюда следует, что в начальной точке $t^*$ решение системы (7),
соответствующее начальной функции $\overline \varphi(t)$, возрастает.
По непрерывности решение будет возрастать ещё на некотором интервале
$(t^*, T)$, но на возрастающих функциях условие Разумихина всегда
выполнено.
Из неравенства (8) вытекает, что $T = \infty$.
Пусть $T \lt \infty$ и
\[
U(T, X_{\overline\varphi}(T)) = 0.
\]
Это сразу противоречит неравенству (8).
Проинтегрируем
\[
\at{\dv{V}{t}}_{(7)} = U
\]
по $[t^*, +\infty)$ вдоль этого возрастающего решения, получим
\[
\tag{10}
V(t, X_{\overline\varphi}(t))
\geqslant
V(t^*, X^*)
+
W(\norm{X^*})(t - t^*),
\qquad t \to +\infty.
\]
Это противоречит ограниченности функции $V(t, X)$.
Синтез управлений с запаздыванием
§1. Построение управлений с запаздыванием, переводящих систему из точки в точку
Рассмотрим для начала линейный случай в случае полной информации:
\[
\tag{1}
\dot X = P(t) X + Q(t) u + f(t).
\]
Пусть
\[
\dim X = n, \qquad \dim u = r \leqslant n
\]
и
\[
P(t), Q(t), f(t) \in C[0, T].
\]
Построить управление
\[
\tag{2}
u = u(t, X(t - \tau))
\]
и начальную функцию $\varphi(t) \in C[0, \tau]$ (здесь $t_0 = \tau$) так, чтобы
система (1), замкнутая построенным управлением, имело решение, соответствующее
начальной функции $\varphi$, которое удовлетворяло бы граничным условиям
\[
\tag{3}
X(0) = X_0, \qquad X(T) = 0.
\]
Подставим управление (2) в систему (1), используя представление из
леммы о представлении допустимых управлений
\[
\tag{4}
u = B^T(t) C + V(t),
\]
где
\[
B(t) = Y^{-1}(t) Q(t),
\]
а $Y(t)$ — фундаментальная матрица системы
\[
\dot X = P(t) X,
\]
нормированная в нуле: $Y(0) = E$, а $V(t)$ — вектор, удовлетворяющий условию
ортогональности:
\[
\int\limits_{0}^{T} B(t) V(t) dt = 0.
\]
Получаем
\[
\tag{5}
\dot X
=
P(t) X
+ Q(t) \paren{
B^T C + V
} + f(t).
\]
По формуле Коши
\[
X(t) = Y(t) \paren{
X_0
+ \int\limits_{0}^{t} \underbrace{Y^{-1} Q}_{=B} (B^T C + V) dt
+ \int\limits_{0}^{t} Y^{-1} f dt
}.
\]
Вычислим решение в момент времени $t = T$:
\[
X(T) = Y(T) \paren{
X_0
+ \int\limits_{0}^{T} B B^T dt \cdot C + \cancel{\int\limits_{0}^{T} B V dt}
+ \int\limits_{0}^{T} Y^{-1} f dt
}.
\]
Введём обозначение
\[
A(0, T) = \int\limits_{0}^{T} B B^T dt.
\]
Необходимо, чтобы $X(T) = 0$, поэтому
\[
Y(T) \paren{
X_0
+ A(0, T) C + \int\limits_{0}^{T} Y^{-1} f dt
} = 0.
\]
Отсюда следует, что
\[
\tag{6}
X_0 + A(0, T) C + \int\limits_{0}^{T} Y^{-1} f dt = 0.
\]
Проинтегрируем систему (5) на отрезке $[t, T]$ при произвольном текущем $t$,
учитывая, что $X(T) = 0$:
\[
- Y^{-1}(t) X(t)
=
\int\limits_{t}^{T} B(s) B^T(s) ds \cdot C
+
\int\limits_{t}^{T} \paren{ B(s) V(s) + Y^{-1}(s) f(s) } ds.
\]
Пусть
\[
A(t, T) = \int\limits_{t}^{T} B(s) B^T(s) ds.
\]
Тогда
\[
\tag{7}
X(t) = - Y(t) A(t, T) C
- Y(t) \int\limits_{t}^{T} \paren{ BV + Y^{-1} f } ds.
\]
Из соотношения (6) выразим вектор $C$ (предполагая, что это возможно):
\[
\tag{8}
C = A^{-1}(0, T) \paren{
X_0 + \int\limits_{0}^{T} Y^{-1} f ds
}.
\]
Подставим это соотношение в (7):
\[
\tag{9}
\begin{aligned}
X(t)
&=
- Y(t) A(t, T) A^{-1}(0, T) \paren{
X_0 + \int\limits_{0}^{T} Y^{-1} f ds
} - \\
&\phantom{=}
- Y(t) \int\limits_{t}^{T} \paren{ BV + Y^{-1} f } ds.
\end{aligned}
\]
Проверим, что функция (9) удовлетворяет граничным условиям (3):
очевидно, что $X(T) = 0$. Теперь рассмотрим
\[
\begin{aligned}
X(0) &= E A(0, T) A^{-1}(0, T) \paren{
X_0 + \int\limits_{0}^{T} Y^{-1} f ds
} - \\
&\phantom{=}
- E
\int\limits_{0}^{T} Y^{-1} f ds = \\
&= E X_0 = X_0.
\end{aligned}
\]
Итак, граничные условия (3) для функции (9) выполнены, поэтому на отрезке $[0, \tau]$
мы можем считать её начальной функцией.
Построим теперь управление. Так как выражение (7) представляет собой решение
системы (1), то подставим вместо $t$ значение $t - \tau$:
\[
X(t - \tau) = - Y(t - \tau) A(t - \tau, T) C
- Y(t - \tau) \int\limits_{t - \tau}^{T} \paren{ BV + Y^{-1} f } ds.
\]
Отсюда выразим $C$ (предполагая, что это возможно):
\[
C =
- A^{-1}(t - \tau, T) Y^{-1}(t - \tau)
\left[
X(t - \tau) + Y(t - \tau) \int\limits_{t - \tau}^{T} \paren{ BV + Y^{-1} f } ds
\right].
\]
Получилась структура, линейная относительно $X(t - \tau)$, поэтому
можно ввести новые обозначения и записать
\[
\tag{10}
C = M(t - \tau, T) X(t - \tau) + N(t - \tau, T).
\]
Подставим это выражение в (4) и получим требуемое управление.
Соберём теперь все условия, которые позволяют нам выполнить все действия.
Нужно, чтобы были невырождены две матрицы:
\[
A(0, T) \quad \text{и} \quad A(t - \tau, T)
\]
для произвольного $t$.
Поставленная задача имеет решение, если строки матрицы $B(t)$ линейно
независимы на любом отрезке $[t, T]$, где $t \in [0, T - \tau]$,
при этом начальная функция выражается формулой (9), а управление —
формулами (4) и (10).
Рассмотрим теперь задачу с неполной информацией. Пусть известен вектор $Z$,
заданный как
\[
\tag{11}
Z(t) = \int\limits_{-\tau}^{0} d R(t, \theta) X(t + \theta),
\]
где $R(t, \theta) \in \R^{n \times n}$ — матрица, непрерывная по $t$,
а относительно $\theta$ являющаяся матричной функцией ограниченной вариации.
Интегрирование проводится по $\theta \in [-\tau, 0]$, а интеграл понимается
как интеграл Стилтьеса.
Построить управление
\[
\tag{12}
u = u(t, Z(t))
\]
и начальную функцию на отрезке $[0, \tau]$ так, чтобы для соответствующего
решения выполнялись граничные условия (3).
Из формулы (9) следует, что для её построения ни вектор $X$, ни вектор $Z$
не нужны, следовательно, в качестве начальной функции можно и в этой задаче
взять (9).
Для построения управления воспользуемся формулой (7), а вместо $t$ подставим
$t + \theta$:
\[
\tag{13}
X(t + \theta) = - Y(t + \theta) A(t + \theta, T) C
- Y(t + \theta) \int\limits_{t + \theta}^{T} \paren{ BV + Y^{-1} f } ds.
\]
Подставим это выражение в (11):
\[
\begin{aligned}
Z(t)
&=
-\int\limits_{-\tau}^{0} d R(t, \theta) Y(t + \theta) A(t + \theta, T) C - \\
&\phantom{=}
-\int\limits_{-\tau}^{0} d R(t, \theta)
Y(t + \theta) \int\limits_{t + \theta}^{T} \paren{ BV + Y^{-1} f } ds.
\end{aligned}
\]
Введём два обозначения:
\[
\begin{aligned}
H(t, T)
&=
-\int\limits_{-\tau}^{0} d R(t, \theta) Y(t + \theta) A(t + \theta, T), \\
D(t, T)
&=
-\int\limits_{-\tau}^{0} d R(t, \theta)
Y(t + \theta) \int\limits_{t + \theta}^{T} \paren{ BV + Y^{-1} f } ds.
\end{aligned}
\]
Тогда
\[
\tag{14}
Z(t) = H(t, T) C + D(t, T).
\]
Выражая отсюда $C$ (предполагая, что это возможно), получаем
\[
\tag{15}
C = H^{-1}(t, T) Z(t) - H^{-1}(t, T) D(t, T).
\]
Структура линейна по $Z$. Подставляем в (4) и получаем требуемую конструкцию
управления.
Существование решения опять упирается в невырожденность $A(0, T)$ и $H(t, T)$.
Поставленная задача (11) имеет решение, если строки матрицы $B(t)$ линейно
независимы на отрезке $[0, T]$ и матрица $H(t, T)$ невырожденная.
Второй вариант задачи с неполной информацией: пусть задан
вектор
\[
\tag{16}
\xi(t) = R(t) X(t).
\]
Задача осложняется тем, что матрица $R(t)$ не квадратная:
\[
\dim \xi(t) \lt \dim X(t).
\]
К тому же задан набор
\[
\tag{17}
\xi(t - \tau_1(t)), \quad \dots, \quad \xi(t - \tau_n(t)).
\]
Можно сказать, что задан своего рода аналог задачи дискретной наблюдаемости.
По набору наблюдений (17) построить управление и начальную функцию так, чтобы
для соответствующего решения выполнялись граничные условия (3).
Пусть строки матрицы $B(t)$ линейно независимы на отрезке $[0, T]$, тогда
в качестве начальной функции опять возьмём функцию (9).
Задача построения начальной функции и управления по набору наблюдений вида (17)
разрешима, если строки матрицы $B(t)$ линейно независимы на отрезке $[0, T]$
и существует число $\tau \in [0, T]$ такое, что столбцы матрицы $\beta(t, T)$
линейно независимы на любом отрезке $[t - \tau, t]$.
Пусть условия теоремы выполнены, тогда для любого отрезка $[t - \tau, t]$
найдутся моменты
\[
t - \tau_1(t), \quad \dots, \quad t - \tau_n(t)
\]
такие, что квадратная матрица
\[
\tag{19}
\overline \beta
=
\sum\limits_{j=1}^{n} \beta^T (t - \tau_j(t), T) \beta(t - \tau_j(t), T)
\]
невырожденная:
\[
\det \overline \beta \neq 0.
\]
В формуле (7) вместо $t$ ставим $t - \tau_j(t)$ и всё, что получилось, подставляем
в (16):
\[
\xi(t - \tau_j(t))
=
\beta(t - \tau_j(t), T) C
-
R(t - \tau_j(t)) Y(t - \tau_j(t))
\int\limits_{t - \tau_j(t)}^{T} (BV + Y^{-1} f) ds.
\]
Пусть
\[
\mu(t - \tau_j(t), T)
=
- R(t - \tau_j(t)) Y(t - \tau_j(t))
\int\limits_{t - \tau_j(t)}^{T} (BV + Y^{-1} f) ds.
\]
Тогда
\[
\tag{20}
\xi(t - \tau_j(t))
=
\beta(t - \tau_j(t), T) C +
\mu(t - \tau_j(t), T),
\qquad j = \overline{1,n}.
\]
Матрица $\beta$ не является квадратной, поэтому сразу же выразить $C$
не получится. Домножим каждое из этих выражений на $\beta^T(t - \tau_j(t), T)$
и просуммируем по $j$ от $1$ до $n$:
\[
\overline \beta C = \sum\limits_{j=1}^{n} \beta^T(t - \tau_j(t), T)
\left[
\xi(t - \tau_j(t)) - \mu(t - \tau_j(t), T)
\right].
\]
Так как $\overline \beta$ невырожденная, то можно отсюда выразить $C$
и подставить в (4).