Рассмотрим дифференциальный оператор
\[
L: u \to Y.
\]
Пусть необходимо решить уравнение
\[
L u = f.
\]
Рассматриваем конечно-разностную схему с частотой
дискретизации $h$:
\[
L_h u_h = f_h.
\]
Пусть $u^*$ — решение исходной задачи:
\[
L u^* = f.
\]
Пусть $u_h^*$ — точное решение дискретной задачи.
Тогда ему соответствует какое-то приближённое решение
исходной задачи $\tilde u^*$.
Можем измерить расстояние $\rho(u_h^*, u^*)$ между $u_h^*$ и $u^*$.
Оно характеризует степень аппроксимации. Возникает вопрос: а насколько
приближённое решение $\tilde u^*$ близко к $u^*$? Речь идёт о сходимости.
Величина $\rho(\tilde u_h, u_h^*)$ характеризует устойчивость.
Необходимо решить задачу так, чтобы получить сходимость. Получили простейшую
формулу: сходимость = аппроксимация + устойчивость.
Можно рассмотреть два способа аппроксимации производной функции $u(x)$:
\[
\frac{u(x+h) - u(x-h)}{2h},
\qquad
\frac{u(x+h) - u(x)}{h}.
\]
Аппроксимация:
\[
\begin{aligned}
u(x+h) &= u(x) + u'(x) h + o(h^2), \\
u(x-h) &= u(x) - u'(x) h + o(h^2).
\end{aligned}
\]
Пусть наше уравнение такое:
\[
u'(x) + \alpha u(x) = 0.
\]
Скомбинируем эти две формулы:
\[
\mu
\frac{u(x+h) - u(x-h)}{2h}
+ (1-\mu)
\frac{u(x+h) - u(x)}{h}.
\]
Это тоже будет аппроксимировать производную. Если, например, $\mu = 4$, то получим
неустойчивую схему.
Будем заниматься устойчивостью дискретных схем.
Рассмотрим линейное уравнение
\[
A x = y.
\]
Пусть существует $A^{-1}$.
Говорят, что задача поставлена корректно, если
решение существует;
решение единственно;
решение непрерывно зависит от начальных данных.
Если $\delta y$ — погрешность, то ей соответствует погрешность $\delta x$:
\[
\delta x = A^{-1} \delta y.
\]
Посчитаем
\[
\frac{\norm{\delta x}}{\norm{x}}.
\]
Норма мультипликативна, поэтому
\[
\norm{\delta x} \leqslant \norm{A^{-1}}\norm{\delta y},
\]
тогда
\[
\frac{\norm{\delta x}}{\norm{x}}
\leqslant
\frac{\norm{A^{-1}}\norm{\delta y}}{\norm{x}}.
\]
Из первого равенства следует, что
\[
\norm{y} \leqslant \norm{A} \norm{x},
\implies
\norm{x} \geqslant \frac{\norm{y}}{\norm{A}},
\]
поэтому
\[
\frac{\norm{\delta x}}{\norm{x}}
\leqslant
\frac{\norm{A^{-1}}\norm{\delta y}}{\norm{x}}
\leqslant
\norm{A^{-1}}\norm{A}
\frac{\norm{\delta y}}{\norm{y}}.
\]
Число
\[
\mu(A) = \norm{A} \norm{A^{-1}}
\]
называется числом обусловленности. Она не может быть меньше единицы, так как
\[
E = A A^{-1} \implies \norm{E} \leqslant \norm{A} \norm{A^{-1}}.
\]
Будем заниматься дискретными системами вида
\[
x(k+1) = F(k, x(k)), \qquad k \geqslant k_0,
\]
где $F(k, z)$ при каждом $k$ непрерывна по $z \in D \subset \mathbb{E}^n$.
Будем изучать устойчивость этой системы.
Задача Коши: пусть $x(k_0) = x_0$, тогда при $k = k_0, k_0 + 1, \dots$ можно
рекуррентно построить решение системы.