Вопросы — Дискретные системы

Определение: разностная система

Разностной называется система вида \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)), \] где

$\bvec{x}(k)$ — $n$-мерный вектор, причём $k$ принимает значения $0, 1, \dots$;
$\bvec{F}(k, \bvec{z})$ — векторная функция, определённая при $k = 0, 1, \dots$ и $\bvec{z} \in G$, где $G \subseteq \mathbb{E}^n$, причём при любом фиксированном $k$ функция $\bvec{F}(k, \bvec{x})$ непрерывна по $\bvec{z}$.

Определение: решение разностной системы

Рассмотрим разностную систему \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)). \]

Функция $\bvec{x}(k)$, заданная при $k' \leqslant k \lt k''$, где $k' \geqslant 0$ и $k'' \leqslant \infty$, называется решением разностной системы, если она обращает эту систему в тождество.

Решение, удовлетворяющее начальному условию $\bvec{x}(k_0) = \bvec{x}_0$, обозначают как $\bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0)$.

Определение: общее решение системы в форме Коши

Решение разностной системы $\bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0)$, заданное на множестве $k_0 \geqslant 0, \bvec{x}_0 \in G, k_0 \leqslant k \lt k_1(k_0, \bvec{x}_0)$, называют общим решением системы в форме Коши.

Определение: устойчивость по Ляпунову (ненулевое решение)

Решение $\tilde{\bvec{x}}(k)$ устойчиво по Ляпунову, если для любого $k_0 \geqslant 0$ и любого числа $\varepsilon \gt 0$ можно указать такое $\delta(k_0, \varepsilon) \gt 0$, что при выполнении неравенства \[ \norm{\bvec{x}_0 - \tilde{\bvec{x}}(k_0)} \lt \delta(k_0, \varepsilon) \] решение $\bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0)$ определено для всех $k \geqslant k_0$ и удовлетворяет условию \[ \norm{\bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0) - \tilde{\bvec{x}}(k)} \lt \varepsilon. \]

Определение: устойчивость и равномерная устойчивость по Ляпунову

Нулевое решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого $k_0 \geqslant 0$ и любого числа $\varepsilon \gt 0$ можно указать такое $\delta(k_0, \varepsilon) \gt 0$, что при выполнении неравенства \[ \norm{\bvec{x}_0} \lt \delta(k_0, \varepsilon) \] решение $\bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0)$ определено для всех $k \geqslant k_0$ и удовлетворяет условию \[ \norm{\bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0)} \lt \varepsilon. \]

Если в определении устойчивости нулевого решения число $\delta(k_0, \varepsilon)$ можно выбрать не зависящим от $k_0$, то говорят, что нулевое решение устойчиво равномерно относительно $k_0$.

Определение: асимптотическая и равномерная асимптотическая устойчивость по Ляпунову

Нулевое решение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если

оно является устойчивым;
для любого $k_0 \geqslant 0$ существует число $\delta'(k_0) \gt 0$ такое, что при всех $\bvec{x}_0$, удовлетворяющих условию $\norm{\bvec{x}_0} \lt \delta'(k_0)$, справедливо предельное соотношение \[ \lim\limits_{k \to \infty} \norm{\bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0)} = 0. \]

Нулевое решение называется асимптотически устойчивым равномерно по $k_0$ и $\bvec{x}_0$, если

оно равномерно устойчиво;
существует не зависящее от $k_0$ число $\delta' \gt 0$ такое, что \[ \norm{\bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0)} \to 0 \quad \text{при} \quad k - k_0 \to \infty \] равномерно относительно $k_0$ и $\bvec{x}_0$ на множестве $k_0 \geqslant 0, \norm{\bvec{x}_0} \lt \delta'$.

Определение: фундаментальная матрица линейной однородной системы

Рассмотрим линейную однородную разностную систему \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P}(k) \bvec{x}(k). \]

Фундаментальной матрицей этой системы, нормированной в точке $k_0$, называют заданная при всех $k \geqslant k_0$ матрица $\bvec{X}(k, k_0)$ такая, что $\bvec{X}(k_0, k_0) = \bvec{I}$ и \[ \bvec{X}(k, k_0) = \prod_{j = k_0}^{k - 1} \bvec{P}(j), \qquad k \gt k_0. \]

Как выглядит общее решение в форме Коши для линейной однородной системы?

Общее решение в форме Коши для системы \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P}(k) \bvec{x}(k) \] имеет вид \[ \bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0) = \bvec{X}(k, k_0) \bvec{x}_0, \] где $\bvec{X}(k, k_0)$ — фундаментальная матрица.

Теорема об устойчивости линейной однородной системы

Для устойчивости системы \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P}(k) \bvec{x}(k) \] необходимо и достаточно, чтобы условие \[ \sup_{k \geqslant k_0} \norm{\bvec{X}(k, k_0)} = M(k_0) \lt +\infty \] выполнялось при всех $k_0 \geqslant 0$.

Система \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P}(k) \bvec{x}(k) \] неустойчива тогда и только тогда, когда при некотором $k_0 \geqslant 0$ имеет место равенство \[ \sup_{k \geqslant k_0} \norm{\bvec{X}(k, k_0)} = +\infty. \]

Теорема о равномерной устойчивости линейной однородной системы

Для равномерной устойчивости системы \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P}(k) \bvec{x}(k) \] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие \[ \sup_{k_0 \geqslant 0} \sup_{k \geqslant k_0} \norm{\bvec{X}(k, k_0)} = M_1 \lt +\infty. \]

Теорема об асимптотической устойчивости линейной однородной системы

Для асимптотической устойчивости системы \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P}(k) \bvec{x}(k) \] необходимо и достаточно, чтобы условие \[ \lim\limits_{k \to \infty} \norm{\bvec{X}(k, k_0)} = 0 \] выполнялось при любом $k_0 \geqslant 0$.

Теорема о равномерной асимптотической устойчивости линейной однородной системы

Для того, чтобы система \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P}(k) \bvec{x}(k) \] была асимптотически устойчивой равномерно по $k_0$ и $\bvec{x}_0$, необходимо и достаточно, чтобы равномерно по $k_0 \geqslant 0$ выполнялось условие \[ \lim\limits_{k - k_0 \to \infty} \norm{\bvec{X}(k, k_0)} = 0. \]

Теорема об устойчивости линейной стационарной системы через собственные числа матрицы $\bvec{P}$

Система \[ \bvec{x}(k+1) = \bvec{P} x(k) \] является:

равномерно асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы $\bvec{P}$ по модулю меньше единицы;
равномерно устойчивой тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы $\bvec{P}$ по модулю не превосходят единицы, и при этом у собственных чисел, по модулю равных единице, имеются только простые элементарные делители;
неустойчивой в остальных случаях.

Критерий Шура-Кона

(критерий Шура‐Кона).
Рассмотрим полином \[ f(\lambda) = a_0 \lambda^{n} + a_1 \lambda{n-1} + \dots + a_n. \] Построим возвратный к $f(\lambda)$ полином: \[ \tilde f(\lambda) = a_n \lambda^{n} + a_{n-1} \lambda{n-1} + \dots + a_0. \] Корни полинома $f(\lambda)$ будут по модулю меньше единицы тогда и только тогда, когда будут положительны все главные миноры матрицы $\bvec{R}$, полученной следующим образом: \[ \frac{\tilde f(\lambda) \tilde f(\mu) - f(\lambda) f(\mu)}{1 - \lambda \mu} = \left( 1, \lambda, \dots, \lambda^{n-1} \right) \mathbb{R} \begin{pmatrix} 1 \\ \mu \\ \vdots \\ \mu^{n-1} \end{pmatrix}. \]

Корни полинома $f(\lambda)$ лежат в центральном единичном круге, если $\abs{a_n} \lt \abs{a_0}$ и у полинома $f_1(\lambda)$, полученного из равенства \[ \lambda f_1(\lambda) = a_0 f(\lambda) - a_n \tilde f(\lambda), \] корни также лежат в центральном единичном круге.

Определение: экспоненциальная устойчивость линейной однородной системы

Система \[ \bvec{x}(k+1) = \bvec{P}(k) \bvec{x}(k) \] называется экспоненциально устойчивой, если существуют числа $L \gt 0$ и $0 \lt q \lt 1$ такие, что для всех $k_0 \geqslant 0, \bvec{x}_0 \in \mathbb{E}^n$ и $k \geqslant k_0$ выполняется неравенство \[ \norm{\bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0)} \leqslant L \norm{\bvec{x}_0} q^{k - k_0}. \]

Определение: положительно определённая функция $V(\bvec{z})$

Пусть вещественная функция $V(\bvec{z})$ задана и непрерывна в области $\norm{\bvec{z}} \lt H$, где $0 \lt H \leqslant +\infty$, а $\bvec{z}$ — $n$-мерный вектор.

Функция $V(\bvec{z})$ называется положительно определённой, если $V(\bvec{0}) = 0$ и $V(\bvec{z}) \gt 0$ при всех $\bvec{z} \neq \bvec{0}$.

Определение: знакопеременная функция $V(\bvec{z})$

Пусть вещественная функция $V(\bvec{z})$ задана и непрерывна в области $\norm{\bvec{z}} \lt H$, где $0 \lt H \leqslant +\infty$, а $\bvec{z}$ — $n$-мерный вектор.

Функция $V(\bvec{z})$ называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Определение: положительно определённая функция $V(k, \bvec{z})$

Рассмотрим вещественную функцию $V(k, \bvec{z})$, заданную на множестве \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H. \]

Функция $V(k, \bvec{z})$ называется положительно определённой, если она обладает следующими свойствами:

$V(k, \bvec{0}) = 0$ при всех $k = 0, 1, \dots$;
при любом фиксированном $k \geqslant 0$ функция $V(k, \bvec{z})$ непрерывна по $\bvec{z}$ в точке $\bvec{z} = \bvec{0}$;
существует положительно определённая функция $V_1(\bvec{z})$ такая, что $V(k, \bvec{z}) \geqslant V_1(\bvec{z})$ в области определения функции.

Определение: знакопостоянная положительная функция $V(k, \bvec{z})$

Рассмотрим вещественную функцию $V(k, \bvec{z})$, заданную на множестве \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H. \]

Функция $V(k, \bvec{z})$ называется знакопостоянной положительной, если в её области определения выполнено неравенство $V(k, \bvec{z}) \geqslant 0$.

Определение: функция $V(k, \bvec{z})$ допускает б. м. в. п.

Рассмотрим вещественную функцию $V(k, \bvec{z})$, заданную на множестве \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H. \]

Говорят, что функция $V(k, \bvec{z})$ допускает бесконечно малый высший предел (б.м.в.п.), если $V(k, \bvec{0}) = 0$ при всех $k = 0, 1, \dots$ и она непрерывна по $\bvec{z}$ в точке $\bvec{z} = \bvec{0}$ равномерно относительно $k \geqslant 0$.

Определение: обобщённо-однородная класса $(m_1, \dots, m_n)$ порядка $\mu$ функция

Рассмотрим вещественную функцию $\varphi(\bvec{z})$, заданную при всех $z \in \mathbb{E}^n$.

Функция $\varphi(\bvec{z})$ называется обобщённо-однородной класса $(m_1, \dots, m_n)$ порядка $\mu$, где $m_1, \dots, m_n, \mu$ — положительные рациональные числа с нечётными знаменателями, если для любых $\bvec{z} \in \mathbb{E}^n$ и $c \in \mathbb{R}$ имеет место равенство \[ \varphi\left( c^{m_1} z_1, \dots, c^{m_n} z_n \right) = c^\mu \varphi(z_1, \dots, z_n). \] Если это равенство справедливо при $c \gt 0$, то функция $\varphi(\bvec{z})$ называется положительно обобщённо-однородной. При этом не требуется, чтобы числа $m_1, \dots, m_n, \mu$ были рациональными с нечётными знаменателями.

Определение: однородная порядка $\mu$ функция

Функция $\varphi(\bvec{z})$ называется однородной порядка $\mu$, где $\mu$ — положительное рациональное число с нечётным знаменателем, если для любых $\bvec{z} \in \mathbb{E}^n$ и $c \in \mathbb{R}$ имеет место равенство \[ \varphi(c z_1, \dots, c z_n) = c^\mu \varphi(z_1, \dots, z_n). \] Если это равенство справедливо при $c \gt 0$, то функция $\varphi(\bvec{z})$ называется положительно однородной. При этом не требуется, чтобы число $\mu$ было рациональным с нечётным знаменателем.

Теорема Ляпунова об устойчивости

Рассмотрим систему \[ \bvec{x}(k+1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)), \] определённую на множестве \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H. \] Будем считать, что функция $\bvec{F}(k, \bvec{z})$ при каждом фиксированном значении $k$ непрерывна по $\bvec{z}$, а также что $\bvec{F}(k, \bvec{0}) = \bvec{0}$ при всех $k = 0, 1, \dots$.

Если существует заданная на множестве $k = 0, 1, \dots, \norm{\bvec{z}} \lt H$ положительно определённая функция $V(k, \bvec{z})$, приращение которой на решениях рассматриваемой системы \[ \Delta V = V(k + 1, \bvec{F}(k, \bvec{x}(k))) - V(k, \bvec{x}(k)) = W(k, \bvec{z}) \] неположительно, то нулевое решение этой системы устойчиво.

Если функция $V(k, \bvec{z})$ удовлетворяет условиям теоремы и при этом допускает б.м.в.п., то нулевое решение равномерно устойчиво.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости

Рассмотрим систему \[ \bvec{x}(k+1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)), \] определённую на множестве \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H. \] Будем считать, что функция $\bvec{F}(k, \bvec{z})$ при каждом фиксированном значении $k$ непрерывна по $\bvec{z}$, а также что $\bvec{F}(k, \bvec{0}) = \bvec{0}$ при всех $k = 0, 1, \dots$.

Если существует заданная на множестве $k = 0, 1, \dots, \norm{\bvec{z}} \lt H$ положительно определённая функция $V(k, \bvec{z})$, приращение которой на решениях рассматриваемой системы \[ \Delta V = V(k + 1, \bvec{F}(k, \bvec{x}(k))) - V(k, \bvec{x}(k)) = W(k, \bvec{z}) \] отрицательно определено, то нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво.

Теорема Ляпунова о равномерной асимптотической устойчивости

Рассмотрим систему \[ \bvec{x}(k+1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)), \] определённую на множестве \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H. \] Будем считать, что функция $\bvec{F}(k, \bvec{z})$ при каждом фиксированном значении $k$ непрерывна по $\bvec{z}$, а также что $\bvec{F}(k, \bvec{0}) = \bvec{0}$ при всех $k = 0, 1, \dots$.

Если существует функция $V(k, \bvec{z})$, заданная на множестве \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H \] и обладающая следующими свойствами:

$V(k, \bvec{z})$ положительно определена;
$V(k, \bvec{z})$ допускает б.м.в.п.;
функция $W(k, \bvec{z}) = V(k+1, \bvec{F}(k, \bvec{z})) - V(k, \bvec{z})$ отрицательно определена,

то нулевое решение системы равномерно асимптотически устойчиво.

Первая теорема Ляпунова о неустойчивости

Рассмотрим систему \[ \bvec{x}(k+1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)), \] определённую на множестве \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H. \] Будем считать, что функция $\bvec{F}(k, \bvec{z})$ при каждом фиксированном значении $k$ непрерывна по $\bvec{z}$, а также что $\bvec{F}(k, \bvec{0}) = \bvec{0}$ при всех $k = 0, 1, \dots$.

Если существует функция $V(k, \bvec{z})$, заданная на множестве \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H \] и обладающая следующими свойствами:

$V(k, \bvec{z})$ допускает б.м.в.п.;
для некоторого $\tilde k \geqslant 0$ и любого $\delta \gt 0$ найдётся $\tilde{\bvec{z}}$ такое, что \[ \norm{\tilde{\bvec{z}}} \lt \delta, \qquad V(k, \tilde{\bvec{z}}) \gt 0; \]
функция $W(k, \bvec{z}) = V(k+1, \bvec{F}(k, \bvec{z})) - V(k, \bvec{z})$ положительно определена,

то нулевое решение системы неустойчиво.

Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости

Рассмотрим систему \[ \bvec{x}(k+1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)), \] определённую на множестве \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H. \] Будем считать, что функция $\bvec{F}(k, \bvec{z})$ при каждом фиксированном значении $k$ непрерывна по $\bvec{z}$, а также что $\bvec{F}(k, \bvec{0}) = \bvec{0}$ при всех $k = 0, 1, \dots$.

Если существует функция $V(k, \bvec{z})$, заданная на множестве \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H \] и обладающая следующими свойствами:

$V(k, \bvec{z})$ ограничена;
для некоторого $\tilde k \geqslant 0$ и любого $\delta \gt 0$ найдётся $\tilde{\bvec{z}}$ такое, что \[ \norm{\tilde{\bvec{z}}} \lt \delta, \qquad V(k, \tilde{\bvec{z}}) \gt 0; \]
для функции $W(k, \bvec{z}) = V(k+1, \bvec{F}(k, \bvec{z})) - V(k, \bvec{z})$ имеет место равенство \[ W(k, \bvec{z}) = \lambda V(k, \bvec{z}) + \widetilde{W}(k, \bvec{z}), \] где $\lambda \gt 0$ и $\widetilde{W}(k, \bvec{z}) \geqslant 0$,

то нулевое решение системы неустойчиво.

Матричное уравнение Ляпунова. Условие однозначной разрешимости

Рассмотрим линейную однородную стационарную систему: \[ \tag{4.1} \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P} \bvec{x}(k). \]

Уравнение \[ \tag{4.2} \bvec{P}^T \bvec{A} \bvec{P} - \bvec{A} = \bvec{B} \] является дискретным аналогом матричного уравнения Ляпунова.

Пусть $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ — собственные числа матрицы $\bvec{P}$.

Если \[ \lambda_j \lambda_s \neq 1, \qquad j, s = 1, \dots, n, \] то для любой постоянной симметрической матрицы $\bvec{B}$ существует единственная постоянная симметрическая матрица $\bvec{A}$, удовлетворяющая матричному уравнению Ляпунова $(4.2)$.

Теорема о виде функции Ляпунова для асимптотически устойчивой линейной стационарной системы

Рассмотрим линейную однородную стационарную систему: \[ \tag{4.1} \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P} \bvec{x}(k). \]

Пусть система $(4.1)$ асимптотически устойчива. Тогда для неё существует функция Ляпунова в виде квадратичной формы, удовлетворяющая требованиям теоремы Ляпунова о равномерной асимптотической устойчивости.

Если у матрицы $\bvec{P}$ существует хотя бы одно собственное число, по модулю большее единицы, то для любой положительно определённой квадратичной формы $W(\bvec{z}) = \bvec{z}^T \bvec{B} \bvec{z}$ с постоянной матрицей $\bvec{B}$ найдутся положительное число $\alpha$ и квадратичная форма $V(\bvec{z}) = \bvec{z}^T \bvec{A} \bvec{z}$ с постоянной матрией $\bvec{A}$ такие, что \[ V(\bvec{P} \bvec{z}) - V(\bvec{z}) = \alpha V(\bvec{z}) + W(\bvec{z}) \qquad \forall \bvec{z} \in \mathbb{E}^n, \] причём $V(\bvec{z})$ не является знакопостоянной отрицательной.

Если матрица $\bvec{P}$ имеет хотя бы одно собственное число, по модулю большее единицы, то для системы $(4.1)$ существует функция Ляпунова, удовлетворяющая требованиям второй теоремы о неустойчивости.

Теорема об асимптотической устойчивости системы по линейному приближению

Рассмотрим нелинейную систему \[ \tag{4.8} \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P} \bvec{x}(k) + \bvec{R}(k, \bvec{x}(k)), \] где $\bvec{R}(k, \bvec{z})$ — векторная функция, определённая при \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H, \] непрерывная по $\bvec{z}$ и удовлетворяющая неравенству \[ \norm{\bvec{R}(k, \bvec{z})} \leqslant c \norm{\bvec{z}}^\sigma, \] где $c \gt 0, \sigma \gt 1$.

Если система \[ \tag{4.1} \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P} \bvec{x}(k) \] асимптотически устойчива, то нулевое решение системы $(4.8)$ также является асимптотически устойчивым.

Теорема о неустойчивости системы по линейному приближению

Рассмотрим нелинейную систему \[ \tag{4.8} \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P} \bvec{x}(k) + \bvec{R}(k, \bvec{x}(k)), \] где $\bvec{R}(k, \bvec{z})$ — векторная функция, определённая при \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{z}} \lt H, \] непрерывная по $\bvec{z}$ и удовлетворяющая неравенству \[ \norm{\bvec{R}(k, \bvec{z})} \leqslant c \norm{\bvec{z}}^\sigma, \] где $c \gt 0, \sigma \gt 1$.

Если у матрицы $\bvec{P}$ существует хотя бы одно собственное число, по модулю большее единицы, то нулевое решение системы $(4.8)$ неустойчиво.

Когда исследование устойчивости по линейному приближению не даёт результата?

Когда у матрицы $\bvec{P}$ исходной системы \[ \tag{4.8} \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P} \bvec{x}(k) + \bvec{R}(k, \bvec{x}(k)) \] нет собственных чисел, лежащих вне единичного круга, но есть собственные числа, по модулю равные единице.

Теорема об асимптотической устойчивости нестационарной системы по линейному приближению

Если линейная нестационарная система \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P}(k) \bvec{x}(k) \] экспоненциально устойчива, а векторная функция $R(k, \bvec{z})$ определена при $k = 0, 1, \dots, \norm{\bvec{z}} \lt H$, непрерывна по $\bvec{z}$ и удовлетворяет неравенству \[ \norm{\bvec{R}(k, \bvec{z})} \leqslant c \norm{\bvec{z}}^\sigma, \] где $c \gt 0, \sigma \gt 1$, то нулевое решение системы \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{P}(k) \bvec{x}(k) + R(k, \bvec{x}(k)) \] асимптотически устойчиво, причём асимптотическая устойчивость также имеет экспоненциальный характер.

Определение: область асимптотической устойчивости

Областью асимптотической устойчивости нулевого решения системы \[ \tag{5.1} \bvec{x}(k + 1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)) \] называется множество \[ \bvec{A} = \left\{ (k_0, \bvec{x}_0): \bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0) \to \bvec{0} \quad \text{при} \quad k \to \infty \right\}. \]

Определение: область притяжения нулевого решения

Областью притяжения нулевого решения системы \[ \tag{5.1} \bvec{x}(k + 1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)) \] называется множество \[ \bvec{A}(k_0) = \left\{ \bvec{x}_0: (k_0, \bvec{x}_0) \in \bvec{A} \right\}. \]

Определение: асимптотическая устойчивость в целом

Если область асимптотической устойчивости нулевого решения системы \[ \tag{5.1} \bvec{x}(k + 1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)) \] имеет вид $\bvec{A} = \left\{ 0, 1, \dots, \right\} \times \mathbb{E}^n$, то говорят, что нулевое решение этой системы асимтотически устойчиво в целом.

Теорема об асимптотической устойчивости в целом нулевого решения

Рассмотрим систему \[ \tag{5.1} \bvec{x}(k+1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)). \] Пусть векторная функция $\bvec{F}(k, \bvec{z})$ определена на множестве \[ \tag{5.2} k = 0, 1, \dots, \qquad \bvec{z} \in \mathbb{E}^n, \] непрерывна по $\bvec{z}$ и $F(k, \bvec{0}) \equiv \bvec{0}$.

Пусть функции $V(k, \bvec{z})$ и $W(k, \bvec{z})$ обладают следующими свойствами:

функция $V(k, \bvec{z})$ задана, непрерывна по $\bvec{z}$ на множестве $(5.2)$ и отрицательно определена;
функция $W(k, \bvec{z})$ задана, непрерывна по $\bvec{z}$ на множестве $(5.2)$, положительно определена, и для любого $\alpha \gt 0$ существует $\gamma \gt 0$ такое, что если $\norm{\bvec{z}} \geqslant \alpha$, то $W(k, \bvec{z}) \geqslant \gamma$ при всех $k \geqslant 0$;
справедливо соотношение \[ \Delta V = V(k + 1, \bvec{F}(k, \bvec{z})) - V(k, \bvec{z}) = W(k, \bvec{z}) (1 + V(k, \bvec{z})). \]

Тогда множество \[ \bvec{A}_1 = \left\{ (k_0, \bvec{x}_0): -1 \lt V(k_0, \bvec{x}_0) \leqslant 0 \right\} \] содержится в области асимптотической устойчивости.

Для того чтобы нулевое решение системы $(5.1)$ было асимптотически устойчивым в целом, достаточно, чтобы существовали функции Ляпунова $V(k, \bvec{z})$ и $W(k, \bvec{z})$, удовлетворяющие условиям 1,2 предыдущей теоремы и условию

справедливо соотношение: \[ \Delta V = V(k + 1, \bvec{F}(k, \bvec{z})) - V(k, \bvec{z}) = W(k, \bvec{z}). \]

Определение: область асимптотической устойчивости нулевого решения автономной системы

Областью асимптотической устойчивости нулевого решения системы \[ \bvec{x}(k + 1) = \tilde{\bvec{F}}(\bvec{x}(k)) \] называется множество \[ \tilde{\bvec{A}} = \left\{ \bvec{x}_0: \bvec{x}(k, \bvec{x}_0) \to \bvec{0} \quad \text{при} \quad k \to \infty \right\}. \]

Определение: положительно инвариантное множество автономной системы

Множество $\bvec{M} \subset \mathbb{E}^n$ называется положительно инвариантным множеством системы \[ \tag{5.5} \bvec{x}(k + 1) = \tilde{\bvec{F}}(\bvec{x}(k)), \] если для любой точки $\bvec{x}_0 \in \bvec{M}$ выполняется условие $\bvec{x}(k, \bvec{x}_0) \in \bvec{M}$ при всех $k \geqslant 0$.

Свойства области асимтотической устойчивости нулевого решения автономной системы

Рассмотрим область $\tilde{\bvec{A}}$ асимптотической устойчивости нулевого решения системы \[ \tag{5.5} \bvec{x}(k + 1) = \tilde{\bvec{F}}(\bvec{x}(k)). \] Справедливы свойства:

$\tilde{\bvec{A}}$ — положительно инвариантное множество;
$\tilde{\bvec{A}}$ — открытое множество;
$\tilde{\bvec{A}}$ содержит некоторую окрестность положения равновесия $\bvec{x} = \bvec{0}$;
граница области $\tilde{\bvec{A}}$ является положительно инвариантным замкнутым множеством.

Теорема об асимптотической устойчивости в целом нулевого решения автономной системы

Для того чтобы нулевое решение системы \[ \tag{5.5} \bvec{x}(k + 1) = \tilde{\bvec{F}}(\bvec{x}(k)) \] было асимптотически устойчиво в целом, достаточно, чтобы существовали функции $V(\bvec{z})$ и $W(\bvec{z})$, удовлетворяющие условиям:

функция $V(\bvec{z})$ задана и непрерывна при всех $\bvec{z} \in \mathbb{E}^n$, положительно определена, и для любого $\alpha \gt 0$ существует $\beta \gt 0$ такое, что если $\norm{\bvec{z}} \geqslant \beta$, то $V(\bvec{z}) \geqslant \alpha$;
функция $W(\bvec{z})$ задана, непрерывна и неположительна при всех $\bvec{z} \in \mathbb{E}^n$, и множество \[ \left\{ \bvec{z} \in \mathbb{E}^n: W(\bvec{z}) = 0 \right\} \] не содержит целых полутраекторий системы $(5.5)$, отличных от положения равновесия $\bvec{x} = \bvec{0}$;
имеет место соотношение \[ \Delta V = V(\tilde{\bvec{F}}(\bvec{z})) - V(\bvec{z}) = W(\bvec{z}). \]

Определение: оценка области асимптотической устойчивости нулевого решения автономной системы

Положительно инвариантное множество $\widehat{\bvec{A}}$, содержащееся в области $\tilde{\bvec{A}}$, называют оценкой области асимптотической устойчивости.

Алгоритм построения оценок области асимптотической устойчивости для автономных систем

Рассмотрим параметрическое семейство поверхностей $S(\bvec{z}) = c$. Считаем, что функция $S(\bvec{z})$ задана, непрерывна и положительно определена при всех $\bvec{z} \in \mathbb{E}^n$, причём \[ S(\bvec{z}) \to +\infty \quad \text{при} \quad \norm{\bvec{z}} \to \infty. \] Значит, поверхности не пересекаются, охватывают начало координат и при $c \to 0$ непрерывно стягиваются к точке $\bvec{z} = \bvec{0}$.

Пусть семейство выбрано так, чтобы при достаточно малых значениях параметра $c$ точки поверхности отображались системой \[ \tag{5.5} \bvec{x}(k + 1) = \tilde{\bvec{F}}(\bvec{x}(k)) \] внутрь множества, ограниченного поверхностью. Выберем среди поверхностей (исключая точку $\bvec{z} = \bvec{0}$) те, у которых есть точки, отображаемые системой $(5.5)$ в точки этой же поверхности. Тогда в качестве оценки $\widehat{\bvec{A}}$ области асимптотической устойчивости можно взять множество, ограниченное минимальной из выбранных поверхностей: \[ \widehat{\bvec{A}} = \left\{ \bvec{x}_0: S(\bvec{x}_0) \lt \hat c \right\}, \qquad \hat c = \inf_{0 \lt S(\bvec{z}) = S(\tilde{\bvec{F}}(\bvec{z}))} S(\bvec{z}). \]

Определение: равномерно диссипативная система

Система \[ \bvec{x}(k + 1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)) \] называется равномерно диссипативной, если существует число $D \gt 0$ такое, что для любого $R \gt 0$ можно указать натуральное число $N$, для которого при всех $k_0 \geqslant 0$ и $k \geqslant k_0 + N$ выполняется неравенство \[ \norm{\bvec{x}(k, \bvec{x}_0, k_0)} \lt D, \] если $\norm{\bvec{x}_0} \leqslant R$.

Достаточное условие равномерной диссипативности системы

Рассмотрим систему \[ \tag{6.1} \bvec{x}(k + 1) = \bvec{F}(k, \bvec{x}(k)). \] Пусть функция $\bvec{F}(k, \bvec{z})$ ограничена во всякой ограниченной области изменения $\bvec{z}$.

Пусть существует функция $V(k, \bvec{z})$, которая на множестве $k \geqslant 0, \norm{\bvec{z}} \geqslant H$ удовлетворяет следующим условиям:

$V_1(\bvec{z}) \leqslant V(k, \bvec{z}) \leqslant V_2(\bvec{z})$;
$V(k+1, \bvec{F}(k, \bvec{z})) - V(k, \bvec{z}) \leqslant - W(\bvec{z})$,

где $V_1(\bvec{z}), V_2(\bvec{z}), W(\bvec{z})$ — непрерывные и положительные при $\norm{\bvec{z}} \geqslant H$ функции, причём $V_1(\bvec{z}) \to +\infty$ при $\norm{\bvec{z}} \to \infty$.
Тогда система $(6.1)$ равномерно диссипативна.

Стабилизация системы по нелинейному приближению

Рассмотрим систему \[ \tag{7.3} \bvec{y}(k+1) = \bvec{G}(k, \bvec{y}(k), \bvec{v}(k)). \] Пусть при \[ k = 0, 1, \dots, \qquad \norm{\bvec{y}(k)} \lt H, \qquad \norm{\bvec{v}(k)} \lt H \] система $(7.3)$ представима в виде \[ \tag{7.5} \bvec{y}(k+1) = \bvec{A}(k) \bvec{y}(k) + \bvec{B}(k) \bvec{v}(k) + \bvec{Q}(k, \bvec{y}(k), \bvec{v}(k)), \] где матрицы $\bvec{A}(k)$ и $\bvec{B}(k)$ заданы и ограничены при $k \geqslant 0$, а векторная функция $\bvec{Q}(k, \bvec{z}, \bvec{\xi})$ при каждом фиксированном $k$ непрерывна по $\bvec{z}, \bvec{\xi}$ и удовлетворяет условию \[ \tag{7.6} \norm{\bvec{Q}(k, \bvec{z}, \bvec{\xi})} \leqslant L {\left( \norm{\bvec{z}} + \norm{\bvec{\xi}} \right)}^{1 + \alpha}, \] где $\alpha, L \gt 0$.

Если при управлении \[ \tag{7.8} \bvec{v}(k) = \bvec{C}(k) \bvec{y}(k), \] где $\bvec{C}(k)$ — заданная и ограниченная при $k \geqslant 0$ матрица, нулевое решение системы линейного приближения \[ \bvec{y}(k+1) = \bvec{A}(k) \bvec{y}(k) + \bvec{B}(k) \bvec{v}(k) \] асимптотически устойчиво и выполнены неравенства \[ \tag{7.10} a_1 e^{-b_1(k - k_0)} \norm{\bvec{y}_0} \leqslant \norm{\bvec{y}(k, \bvec{y}_0, k_0)} \leqslant a_2 e^{-b_2(k - k_0)} \norm{\bvec{y}_0}, \qquad a_1, a_2, b_1, b_2 \gt 0, \] то нулевое решение системы $(7.5)$, замкнутой управлением $(7.8)$: \[ \bvec{y}(k + 1) = \bvec{A}(k) \bvec{y}(k) + \bvec{B}(k) \bvec{C}(k) \bvec{y}(k) + \bvec{Q}(k, \bvec{y}(k), \bvec{C}(k) \bvec{y}(k)) \] равномерно асимптотически устойчиво, и любое её решение, начинающееся в достаточно малой окрестности точки $\bvec{y} = \bvec{0}$, удовлетворяет оценкам типа $(7.10)$.

Теоремы о построении скалярного стабилизирующего управления для линейной автономной системы

Рассмотрим систему \[ \tag{7.15} \bvec{y}(k + 1) = \bvec{A} \bvec{y}(k) + \bvec{b} v(k), \] где $v(k)$ является скалярной функцией.

Пусть векторы \[ \tag{7.16} \bvec{b}, \bvec{A} \bvec{b}, \bvec{A}^2 \bvec{b}, \dots \bvec{A}^{n-1} \bvec{b} \] линейно независимы. В этом случае всегда можно построить управление вида \[ \tag{7.17} v(k) = \bvec{c}^T \bvec{y}(k), \qquad \bvec{c} = \const, \] доставляющее системе $(7.15)$ любые наперёд заданные собственные числа.

Если векторы $(7.16)$ линейно независимы, то систему $(7.15)$ всегда можно сделать экспоненциально устойчивой за счёт выбора управления вида $(7.17)$.

Пусть $\rho_1, \dots, \rho_n$ — собственные числа матрицы $\bvec{A}$. Предположим, что среди них имеется $l$ чисел, по модулю больших или равных единицы. Тогда неособым линейным преобразованием $\bvec{y}(k) = \tilde{\bvec{S}} \tilde{\bvec{y}}(k)$ систему $(7.15)$ можно привести к виду \[ \tag{7.23} \left\{ \begin{aligned} \tilde{\bvec{y}}^{(1)}(k+1) &= \bvec{A}_1 \tilde{\bvec{y}}^{(1)}(k) + \bvec{b}^{(1)} v(k), \\ \tilde{\bvec{y}}^{(2)}(k+1) &= \bvec{A}_2 \tilde{\bvec{y}}^{(2)}(k) + \bvec{b}^{(2)} v(k), \end{aligned} \right. \] где $\bvec{A}_1$ и $\bvec{A}_2$ — матрицы размерности $l \times l$ и $(n - l) \times (n - l)$ соответственно. Собственные числа матрицы $\bvec{A}_1$ по модулю больше или равны единицы, а все собственные числа матрицы $\bvec{A}_2$ по модулю строго меньше единицы.

Если векторы \[ \bvec{b}^{(1)}, \bvec{A}_1 \bvec{b}^{(1)}, \dots, \bvec{A}_1^{l-1} \bvec{b}^{(1)} \] линейно независимы, то систему $(7.15)$ можно сделать экспоненциально устойчивой за счёт выбора управления вида $(7.17)$.