Вопросы — Математические методы финансового анализа

Время как фактор финансовых операций. Проценты и виды процентных ставок

Под процентными деньгами или процентами (interest) понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме:

выдача ссуды;
продажа товара в кредит;
помещение денег на депозитный счёт;
учёт векселя;
покупка облигаций и т.д.

Под процентной ставкой (rate of interest) понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т.е. отношение дохода (процентов) к сумме долга за единицу времени.
Измеряется в процентах или в десятичных/натуральных дробях.

Исходная сумма долга, на которую начисляются проценты по заданной ставке, называется базовой суммой или базой для начисления процентов.

Отрезок времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления.
Обычно принимают год, полугоде, квартал, месяц или день.

По договору кредитора и заёмщика проценты могут выплачиваться по мере их поступления или присоединяться к основной сумме долга (капитализация процентов).

Процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов называют наращением или ростом этой суммы.

От чего зависит размер процентной ставки?

Размер процентной ставки зависит от большого количества объективных и субъективных факторов:

от общего состояния экономики (в том числе денежно-кредитного рынка);
от кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики;
от вида конкретной сделки;
от вида валюты сделки;
от срока кредита;
от истории отношений заёмщика и кредитора и т.д.

Существует несколько способов начисления процентов, которым соответствуют различные виды процентных ставок.

Ставки различаются по базе для их начисления:
- если базовая сумма постоянна, то проценты и процентная ставка называются простыми;
- если база последовательно меняется и на каждом последующем этапе за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе, то проценты и процентная ставка называются сложными.
Ставки различаются по принципу расчёта процентов:
- если наращение идёт на сумму долга, то ставки (простые и сложные) называются ставками наращения (interest base rate);
- если имеет место процесс скидки с конечной суммы задолженности, то ставка называется учётной (discount base rate).
Процентные ставки могут быть фиксированными или плавающими (floating). В последнем случае фиксируется не сама ставка, а так называемая базовая ставка, к которой в свою очередь добавляется маржа, меняющая своё значение от периода к периоду.
Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка LIBOR (London interbank offered rate) и её российский аналог MIBOR.

Проценты в любой их конкретной форме являются проявлением одной из основных экономических категорий — ссудного процента.

Ссудный процент является одним из основных генераторов инфляции наряду с тарифами естественных монополий и коррупционными сверхдоходами.

Наращение по простой процентной ставке. Приведение к базовому периоду

$P$ — первоначальная сумма ссуды или долга.
$S$ — наращенная сумма: первоначальная сумма $P$ с начисленными процентами к концу соответствующего периода.
$r$ — годовая процентная ставка наращения.
$n$ — срок или период ссуды в годах.

В данном случае $P$ является постоянной базой для начисления процентов, величина которых в год есть $I_1 = P r$, а за $n$ лет — $I_n = P n r$.

Так как $S = P + I_n$, то \[ \tag{1} S = P (1 + n r). \]

Выражение $(1)$ называют формулой наращения по простым процентам или просто формулой простых процентов, а множитель $\mu = 1 + nr$ — множителем наращения простых процентов.

В формуле $(1)$ любую величину можно считать параметром. Например, \[ \tag{2} P = \frac{S}{1 + nr} \] есть решение обратной задачи. Эта формула поволяет рассчитать величину ссуды, которую необходимо выдать на срок $n$ лет по ставке $r$ для получения наперёд заданной наращенной суммы $S$.

Аналогичным образом можно получить выражение для срока ссуды: \[ \tag{3} n = \frac{1}{r} \left( \frac{S}{P} - 1 \right). \]

Пусть первоначальная сумма ссуды 20 тыс. руб. выдана на срок 2.5 года по ставке 5% годовых. Требуется определить наращенную сумму долга.

По формуле $(1)$ \[ S = 20 (1 + 2.5 \cdot 0.05) = 22.5 \; \mbox{тыс. руб.} \]

Выясним теперь, за какой срок сумма долга достигла бы величины в 24 тыс. руб.

Пользуясь формулой $(3)$, получаем \[ n = \frac{1}{0.05} \left( \frac{24}{20} - 1 \right) = 4 \; \mbox{года}. \]

Используя данные примера 1, определим, во сколько раз необходимо увеличить срок ссуды, чтобы множитель наращения увеличился в 1.2 раза.

При увеличении срока $n$ в $k$ раз множитель наращения будет равен \[ \mu = 1 + k n r. \] Для определения $k$ получим уравнение: \[ \frac{1 + k n r}{1 + nr} = 1.2, \] откуда \[ \begin{aligned} k &= \frac{1}{nr} \left( 1.2 \cdot (1 + nr) - 1 \right) = \\ &= \frac{1}{0.05 \cdot 2.5} \left( 1.2 \cdot (1 + 0.05 \cdot 2.5) - 1 \right) = \\ &= 2.8. \end{aligned} \]

Формула простых процентов $(1)$ обычно используется для выдачи краткосрочных ссуд со сроком меньше года.

Существует некоторая специфика вычисления срока ссуды $n$. Очевидно, что \[ n = \frac{t}{K}, \] где $t$ — число дней ссуды, а $K$ — число дней в году или временная база (time basis).

Существует два способа задания величин $t$ и $K$.

Точный способ: $K = 365$ (или 366) дней. В этом случае проценты называют точными (exact interest).
Предполагаем, что в каждом месяце 30 дней, а в году 360 дней. Проценты, расчитанные в этом случае, называются обыкновенными или коммерческими (ordinary interest).

В результате возможны три варианта расчётов:

точные проценты с точным числом дней ссуды (обозначение: 365/365);
обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (обозначение: 365/360);
обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды (обозначение: 360/360).

Вариант 360/365 в экономической теории и практике считается лишённым смысла и не применяется.

Рассмотрим ситуацию, когда весь срок $n$ кредитного договора разбит на $m$ периодов продолжительностью $n_1, \dots, n_m$ соответственно. В силу каких-либо причин на каждом из этих отрезков времени может действовать своя ставка простых процентов $r_1, \dots, r_m$. В этом случае формула наращения имеет вид \[ \tag{4} S = P \left( 1 + \sum\limits_{i=1}^{m} n_i r_i \right). \]

Пусть начальная ставка 5% годовых снижается на 0.25% каждый квартал в течение одного календарного года в рамках схемы 365/360. Требуется определить множитель наращения для кредитного договора.

Сначала определим длины периодов: \[ n_1 = \frac{90}{360}; \qquad n_2 = \frac{91}{360}; \qquad n_3 = n_4 = \frac{92}{360}. \] Тогда \[ \begin{aligned} \mu &= 1 + \frac{1}{4} \left( 0.05 + 0.0475 + 0.045 + 0.0425 \right) = \\ &= 1.04625. \end{aligned} \]

Простая процентная ставка. Реинвестирование

Рассмотрим схему реинвестирования (rollover) процентов, полученных на предыдущих этапах. Она выглядит следующим образом: \[ \begin{aligned} S_1 &= P (1 + n_1 r_1), \\ S_2 &= S_1 (1 + n_2 r_2), \\ &\vdots \\ S_m &= S_{m-1} (1 + n_m r_m). \end{aligned} \] В окончательном виде (с учётом $S = S_m$) имеем \[ \tag{5} S = P \prod_{i=1}^m (1 + n_i r_i). \]

В частном случае, когда периоды и ставки процентов постоянны, формула $(5)$ принимает вид \[ \tag{6} S = P {\left( 1 + nr \right)}^m. \]

Примером практического использования схем $(5-6)$ является последовательность банковских депозитов, когда клиент банка не забирает полученные проценты, а добавляет их к первоначальной сумме и вновь размещает на депозит.

Погашение задолженности частями. Актуарный метод

Ссуда в размере $P$ выдана под $r%$ годовых на срок $n$, во время которого её необходимо погасить. Банк, выдавший ссуду, согласен получать частичные платежи $R_1, \dots, R_m$ в течение всего срока при условии, что последний платёж $R_m$, совпадающий по сроку с концом периода $n$, обеспечит баланс, то есть ссуда будет полностью погашена.
Требуется спланировать схему этой операции.

Актуарный метод

Обозначим через $n_1, \dots, n_m$ периоды между платежами; очевидно, \[ n_1 + \dots + n_m = n. \] Проведём вычисления для каждого периода.

В начальный момент времени базовая сумма совпадает с $P$, поэтому, по формуле наращивания, \[ S_1 = P (1 + n_1 r). \] Затем поступает платёж $R_1$, в результате базовая сумма $P_1$ для второго этапа вычисляется по формуле \[ P_1 = S_1 - R_1 = P (1 + n_1 r) - R_1. \]
На втором этапе имеем \[ \begin{aligned} S_2 &= P_1 (1 + n_2 r), \\ P_2 &= P_1 (1 + n_2 r) - R_2. \end{aligned} \]

Продолжая ту же логику, на последнем этапе получим \[ S_m = P_{m-1} (1 + n_m r). \]

Экономический смысл величины $S_m$ — задолженность клиента перед банком на конечный момент времени всего периода $n$. Эта сумма и должна быть сбалансирована последним платежом, то есть \[ S_m - R_m = 0 \implies R_m = P_{m-1} (1 + n_m r). \]

На практике каждый платёж $R_i$ сначала идёт на погашение текущих процентов, то есть величины $P_{i-1} n_i r$. Если же $R_i \lt P_{i-1} n_i r$, то он не учитывается и прибавляется к следующему платежу.
Стоит отметить, что это обстоятельство не нарушает указанный алгоритм. В этом случае складываются два интервала времени и два платежа: \[ \overline n_i = n_i + n_{i+1}, \qquad \overline R_i = R_i + R_{i+1}. \]

По договору сторон расчёт периодов $n_1, \dots, n_m$ может осуществляться по любому из трёх вариантов расчётов, однако на практике по умолчанию обычно используют схему $360/360$.

Рекуррентные формулы принципиально не изменятся, если процентная ставка $r$ будет меняться на каждом или на некоторых из отрезков времени $n_1, \dots, n_m$, принимая значения $r_1, \dots, r_m$.

Погашение задолженности частями. Правило торговца. Выплата процентов в потребительском кредите

Ссуда в размере $P$ выдана под $r%$ годовых на срок $n$, во время которого её необходимо погасить. Банк, выдавший ссуду, согласен получать частичные платежи $R_1, \dots, R_m$ в течение всего срока при условии, что последний платёж $R_m$, совпадающий по сроку с концом периода $n$, обеспечит баланс, то есть ссуда будет полностью погашена.
Требуется спланировать схему этой операции.

Правило торговца

Метод предусматривает неизменность суммы долга с начисленными процентами и вычисляется в самом начале периода ссуды $n$: \[ S = P(1 + nr). \] Погашение величины $S$ идёт частичными платежами $R_1, \dots, R_m$, каждый из которых учитывается не только сам по себе, но и с начисленными на него процентами по той же ставке $r$: \[ \overline R_i = R_i (1 + n_i r), \] где $n_i$ — отрезок времени от момента платежа до конца срока ссуды.

Конверсия валюты и наращение в схеме простых процентов

Дисконтирование по простым учётным ставкам. Математическое дисконтирование

Банковский учёт и его сравнение с математическим дисконтированием

Наращение по учётной ставке. Прямые и обратные задачи. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

Начисление сложных процентов. Формулы наращения

Начисление при дробном числе лет. Сравнение множителей наращения простых и сложных процентов

Наращение процентов $m$ раз в году. Номинальная и эффективная ставки

Дисконтирование по сложной ставке процентов

Учёт по сложной учётной ставке. Номинальная и эффективная учётная ставка

Наращение по сложной учётной ставке. Сравнение наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок

Непрерывное наращение и дисконтирование. Сила роста (постоянная и переменная)

Конверсия валюты и наращение сложных процентов

Учёт налогообложения в схемах наращения

Учёт инфляции в схемах наращения

Эквивалентность финансовых обязательств

Консолидирование платежей. Величина консолидированного платежа

Консолидирование платежей. Срок консолидированного платежа

Эквивалентность простых и сложных процентных ставок

Эквивалентность сложных процентных ставок

Средние ставки

Системный подход в реализации процессов управления (§13)

Деньги как управленчески значимая информация (§13)

Социальный дарвинизм в практике кредитования бизнеса (§13)