Говорят, что последовательность $\set{x_n} \in X$ сходится к $\hat x
\in X$, если $\rho(x_n, \hat x) \limto{n \to \infty} 0$.
Пусть задана $f: X \to X$. Тогда $f(x_n) \to f(\hat x)$, если
\[
\rho(f(x_n), f(\hat x)) \limto{n \to \infty}c 0.
\]
Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $\hat x$,
если для всех последовательностей $\set{x_n} \limto{n \to \infty} \hat x$
выполнено
\[
\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(\hat x).
\]
Последовательность $\set{x_n}$ называется фундаментальной,
если
\[
\rho(x_n, x_m) \limto{n,m \to \infty} 0.
\]
Фундаментальная последовательность может не иметь предела в $X$.
$X = (0, +\infty)$, $x_n = \frac{1}{n}$.
§2. Динамические системы в евклидовом пространстве
Рассмотрим систему
\[
\tag{1}
y' = f(y), \qquad y \in \mathbb{R}^n.
\]
Будем считать, что $f(y)$ непрерывно дифференцируема.
Рассмотрим начальное условие $(x_0, y^0)$. Из наших предположений следует
существование и единственность решения $y = \psi(x, x_0, y^0)$.
Из стационарности исходной системы $(1)$ следует, что
\[
\psi(x, x_0, y^0) = \Phi(x - x_0, y^0).
\]
Справедливо групповое свойство решений в форме Коши:
\[
\Phi(x_1, \Phi(x_0, y^0)) = \Phi(x_1 + x_2, y^0).
\]
Пусть $\Phi_x(y) := \Phi(x,y)$ тогда
\[
\Phi_x: X \to X, \qquad \Phi_x^{-1}: X \leftarrow X.
\]
Имеет место взаимнооднозначность.
Множество операторов
$\left\{ \Phi_x \; | \; x \in \mathbb{R} \right\}$
представляет собой абелеву группу.
Если оператор $\Phi_x: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ определён при всех
$x \in \mathbb{R}$ и удовлетворят свойствам 0-4, то множество операторов
называется динамической системой в евклидовом пространстве.
2024-09-11
Рассмотрим
\[
y' = f(y).
\]
Нас интересует проекция решения $y(x)$ на ось $Oy$.
Если решение непродолжимо на $\mathbb{R}$, то сделаем замену: $y(x(t)) =
z(t)$. Пусть:
(Винтера).
Рассмотрим систему
\[
\tag{*}
y' = f(x, y).
\]
Пусть $f(x, y)$ определена и непрерывна в области $\mathbb{R}^{n+1}$.
Предположим, что
\[
\norm{f(x,y)} \leqslant W(\norm{y})
\]
для некоторой функции $W$ и выполнено условие
\[
\int\limits_{0}^{\infty} \frac{dr}{1 + W(r)} = \infty.
\]
Тогда любое решение $y = \varphi(x)$ уравнения $(*)$ определено при всех
$x \in \mathbb{R}$.
Рассмотрим решение $y = \varphi(x)$. Значит, справедливы тождества
\[
\varphi_s'(x) \equiv f_s(x, \varphi(x)), \qquad s = \overline{1,n}.
\]
Домножим $s$-ое уравнение на $\varphi_s(x)$:
\[
\varphi_s(x) \varphi_s'(x) \equiv \varphi_s(x) f_s(x, \varphi(x)), \qquad s = \overline{1,n},
\]
после чего сложим их:
\[
\sum\limits_{s=1}^{n} \frac{1}{2} \paren{\varphi_s^2(x)}'
\equiv
\sum\limits_{s=1}^{n} \varphi_s(x) f_s(x, \varphi(x)).
\]
Тогда
\[
\frac{1}{2} \paren{
\norm{\varphi(x)}^2
}'
=
\dp{\varphi(x)}{f(x, \varphi(x))},
\]
поэтому
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \norm{\varphi(x)} \paren{\norm{\varphi(x)}}'
&\equiv
\norm{\varphi(x)} \cdot \norm{f(x, \varphi(x))}
\cdot \cos \paren{ \widehat{\varphi(x), f(x, \varphi(x))} }
\leqslant \\
&\leqslant
\norm{\varphi(x)} \cdot \norm{f(x, \varphi(x))}.
\end{aligned}
\]
В силу положительности нормы и выполнения условия
\[
\norm{f(x,y)} \leqslant W(\norm{y})
\]
следует
\[
\norm{\varphi(x)} \paren{\norm{\varphi(x)}}'
\leqslant
\norm{\varphi(x)} \cdot W(\norm{\varphi(x)}).
\]
Если $\norm{\varphi(x)} = 0$, то неравенство остаётся верным —
функция $\varphi(x)$ непрерывна.
Разделив обе части неравенства на $\norm{\varphi(x)}$, получаем
\[
\norm{\varphi(x)}'
\leqslant
W(\norm{\varphi(x)}) \lt 1 + W(\norm{\varphi(x)}).
\]
Правая часть положительна, поэтому можно разделить:
\[
\frac{\norm{\varphi(x)}'}{1 + W(\norm{\varphi(x)})} \lt 1.
\]
Покажем, что решение определено при $x \in [x_0, +\infty)$.
Проинтегрируем обе части неравенства от $x_0$ до $x$ (считаем, что
$x \gt x_0$, в обратную сторону аналогично):
\[
\int\limits_{x_0}^{x}
\frac{\norm{\varphi(\tau)}'}{1 + W(\norm{\varphi(\tau)})} d\tau
\lt x - x_0.
\]
Предположим, что решение определено при $x \in [x_0, H)$, где
$H \lt +\infty$. Сделаем замену:
\[
\norm{\varphi(\tau)} = r,
\qquad
\norm{\varphi(\tau)}' = \frac{d r}{d \tau},
\]
тогда
\[
\int\limits_{\norm{\varphi(x_0)}}^{\norm{\varphi(x)}}
\frac{dr}{1 + W(r)} \lt x - x_0.
\]
Устремим $x \to H - 0$, получим
\[
\int\limits_{\norm{y^0}}^{\norm{\varphi(H - 0)}}
\frac{dr}{1 + W(r)} \leqslant H - x_0.
\]
Знак неравенства стал нестрогим, тк ищем предел.
Если $\norm{\varphi(H - 0)} = M \lt +\infty$, то отсюда следует,
что в точке $x = H$ тоже определена, следовательно, решение
определено на отрезке $[x_0, H]$ — можно продолжить дальше.
Получили противоречие.
Расписать, почему можно продолжить дальше.
Значит, $\norm{\varphi(H - 0)} = +\infty$. Получаем:
\[
\int\limits_{\norm{y^0}}^{+\infty}
\frac{dr}{1 + W(r)} \leqslant H - x_0.
\]
По условию теоремы интеграл равен $\infty$, а справа стоит конечная
величина — противоречие. Значит, решение $\varphi(x)$ определено
при $[x_0, +\infty)$.
§4. Динамические системы на торе
Рассмотрим двухстепенный гироскоп.
Риc. 1
Углы $\varphi$ и $\psi$ независимы. Уравнения Ньютона можно представить в
виде
\[
\left\{
\begin{aligned}
\dot \varphi &= \Phi(\varphi, \psi), \\
\dot \psi &= \Psi(\varphi, \psi).
\end{aligned}
\right.
\]
$(\varphi, \psi)^T$ однозначно определяют положение системы,
причём $\varphi, \psi \in (-\infty, +\infty)$.
Функции $\Phi, \Psi$ считаем непрерывными и $2\pi$-периодическими по обоим
аргументам:
\[
\begin{aligned}
\Phi(\varphi + 2 \pi, \psi) &= \Phi(\varphi, \psi)
&
\Phi(\varphi, \psi + 2 \pi) &= \Phi(\varphi, \psi), \\
\Psi(\varphi + 2 \pi, \psi) &= \Psi(\varphi, \psi)
&
\Psi(\varphi, \psi + 2 \pi) &= \Psi(\varphi, \psi).
\end{aligned}
\]
Из периодичности и непрерывности по теореме Вейерштрасса следует, что
существуют максимумы
\[
\max_{\mathbb{R}^2} \abs{\Phi(\varphi, \psi)} \leqslant M,
\qquad
\max_{\mathbb{R}^2} \abs{\Psi(\varphi, \psi)} \leqslant M.
\]
Значит, продолжимость решения есть.
Опираясь на предыдущий параграф, заключаем, что перед нами динамическая
система. В связи с этим перейдём к фазовому пространству.
Рис. 2
Пусть траектория вышла на границу. В силу периодичности траектория
"телепортируется" в совпадающую точку (см. рисунок).
Вообще говоря, участки траектории не пересекаются в силу единственности
решения.
Совместим одинаковые границы — получим цилиндр. Повторив процесс ещё
раз, получаем тор, который будем обозначать $T_2$.
$T_2$ — компакт.
(система на торе).
\[
\begin{aligned}
\dot \varphi &= 1, \\
\dot \psi &= \alpha.
\end{aligned}
\]
Если $\alpha = 1$, то
\[
\begin{aligned}
\varphi &= \varphi_0 + x, \\
\psi &= \psi_0 + x.
\end{aligned}
\]
Исключаем $x$, чтобы получить фазовую траекторию:
\[
\psi = \psi_0 + \varphi - \varphi_0.
\]
Получили прямую.
Рис. 3
Если $\alpha = \dfrac{m}{n}$, тогда
\[
\begin{aligned}
\varphi &= \varphi_0 + x, \\
\psi &= \psi_0 + \frac{m}{n} x.
\end{aligned}
\]
Точки $x = 0$ и $x = 2 \pi n$ совпадают. Получили периодическую
траекторию, но она зацикливается после $n$ оборотов.
Если $\alpha$ — иррациональное число, то получаем
\[
\begin{aligned}
\varphi &= \varphi_0 + x, \\
\psi &= \psi_0 + \alpha x.
\end{aligned}
\]
Исключаем $x$:
\[
\psi = \psi_0 + \alpha \varphi - \alpha \varphi_0.
\]
Ни при каком $\varphi$, кратным $2 \pi k$, мы не попадём в $\psi$.
Тогда фазовая траектория будет всюду плотно на торе, то есть
замыкание множества точек
\[
\left\{
\begin{pmatrix}
\varphi \\ \psi
\end{pmatrix}
\paren{x,
\begin{pmatrix}
\varphi_0 \\ \psi_0
\end{pmatrix}
}
\; | \; x \in \mathbb{R}
\right\}.
\]
совпадает с $T_2$.
Получили три типа траекторий, которые возникают в зависимости от $\alpha$.
2024-09-18
Напомнить об аналитической записи метрики на торе — хотели обсудить.