Основные понятия — МАДС

1. Определение: динамическая система в евклидовом пространстве
   Рассмотрим систему \[ y' = f(y), \quad y \in \mathbb{R}^n. \] Будем считать, что $f(y)$ является непрерывно дифференцируемой, то есть принадлежит классу $C^1$. Отсюда следует существование и единственность решения задачи Коши с начальными условиями $(x_0, y^0)$.

   Также будем считать, что все решения системы продолжимы на интервал $I = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$.

   Пусть $y = \psi(x, x_0, y^0)$ — решение исходной системы ОДУ.

   В силу стационарности системы \[ \psi(x, x_0, y^0) = \Phi(x - x_0, y^0), \] причём справедливо групповое свойство решений в форме Коши: \[ \Phi(x_1, \Phi(x_2, y^0)) = \Phi(x_1 + x_2, y^0). \]

   Введём обозначение: $\Phi_x(y) := \Phi(x, y)$, тогда \[ \Phi_x: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n. \] Справедливы следующие свойства оператора $\Phi_x$:

   • $\Phi_{x_1} \circ \Phi_{x_2} = \Phi_{x_1 + x_2}$;
   • ассоциативность: \[ \Phi_{x_1} \circ (\Phi_{x_2} \circ \Phi_{x_3}) = (\Phi_{x_1} \circ \Phi_{x_2}) \circ \Phi_{x_3}; \]
   • коммутативность: \[ \Phi_{x_1} \circ \Phi_{x_2}) = \Phi_{x_2} \circ \Phi_{x_1}; \]
   • существует тождественный оператор $\Phi_0 := \varepsilon$ такой, что: \[ \Phi_x \circ \Phi_0 = \Phi_x. \]
   • оператор $\Phi_x$ обратим, причём \[ \Phi_x^{-1} = \Phi_{-x}; \]

   Множество операторов $\left\{ \Phi_x, \; x \in \mathbb{R} \right\}$ представляет собой абелеву группу.

   Если оператор $\Phi_x: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$

   • определён при всех $x \in \mathbb{R}$;
   • удовлетворяет свойствам 1-5,

   то множество операторов $\left\{ \Phi_x, \; x \in \mathbb{R} \right\}$ называется динамической системой в евклидовом пространстве.
2. Теорема Уинтнера (формулировка)
   (Уинтнера).
   Рассмотрим систему \[ y' = f(x, y). \] Пусть $f(x, y)$ определена и непрерывна в области $\mathbb{R}^{n+1}$. Преположим, что \[ \norm{f(x,y)} \leqslant W(\norm{y}) \] для некоторой функции $W$ и выполнено условие \[ \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dr}{1 + W(r)} = +\infty. \] Тогда любое решение $y = \varphi(x)$ исходной системы определено при всех $x \in \mathbb{R}$.
3. Определение: динамическая система в метрическом пространстве
   Пусть $(X, \rho)$ — произвольное метрическое пространство.

   Динамической системой в метрическом пространстве $X$ называют однопараметрическое семейство преобразований пространства $X$ \[ \left\{ F_t: X \to X, \; p \mapsto F_t(p) = f(p, t): \; t \in \mathbb{R} \right\}, \] удовлетворяющее свойствам:

   1. $F_0 = \id$ или $f(p, 0) = p$ для любого $p \in X$;
   2. отображение $f(p, t)$ непрерывно по совокупности аргументов;
   3. $F_{t_2} \circ F_{t_1} = F_{t_2 + t_1}$, или, в развёрнутом виде, \[ f(f(p, t_1), t_2) = f(p, t_1 + t_2) \qquad \forall t_1, t_2 \in \mathbb{R}, \; p \in X. \]
4. Определение: фазовое пространство ДС
   Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

   Пространство $X$ называют фазовым пространством динамической системы, а параметр $t$ — временем.
5. Определение: движение точки ДС
   Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

   Отображение $f(p, t)$ при произвольной фиксированной точке $p \in X$, то есть отображение \[ \mathbb{R} \to X, \quad t \mapsto f(p,t) \in X, \] называется движением (точки p) динамической системы.
6. Определение: траектория ДС
   Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

   Множество точек \[ f(p, I) = \left\{ f(p, t): \; t \in \mathbb{R} \right\} \] называется траекторией динамической системы, проходящей через точку $p \in X$.
7. Какие виды движений существуют в ДС?
   Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

   (о трёх видах траекторий).
   Движение ДС и соответствующая ему траектория может быть только одного из следующих трёх видов:

   1. непериодическое движение $f(p,t)$, для которого \[ f(p, t_1) \neq f(p, t_2) \qquad \forall t_1, t_2 \in \mathbb{R}, \; t_1 \neq t_2. \] Траектория, соответствующая этому движению, является простой (без самопересечений) кривой в пространстве $X$.
   2. периодическое движение, то есть движение $f(p, t)$, для которого существует такая постоянная $T \gt 0$, что \[ f(p, t + T) = f(p, t) \qquad \forall t \in \mathbb{R} \] и \[ f(p, t_1) \neq f(p, t_2) \qquad \forall t_1, t_2 \in \mathbb{R}: \; 0 \leqslant t_1 \lt t_2 \lt T. \] Этому движению отвечает простая замкнутая траектория $f(p, I)$.
   3. постоянное движение $f(p, t) \equiv p$ при всех $t \in \mathbb{R}$. Соответствующая траектория — точка $f(p, 0) = p$.
8. Определение: точка покоя ДС
   Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

   Рассмотрим постоянное движение $f(p,t) \equiv p$. Соответствующую ему траекторию, состоящую из одной точки $p$, называют точкой покоя или положением равновесия.
9. Определение: цикл ДС
   Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

   Циклом называют траекторию, соответствующую периодическому движению.
10. Определение: инвариантное множество
    Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Множество $A$ называется инвариантным, если \[ f(A, t) = A \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \]
11. Каковы свойства инвариантных множеств?
    Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    1. Множество $A$ инвариантно тогда и только тогда, когда оно состоит из целых траекторий, то есть \[ f(p, I) \subset A \qquad \forall p \in A. \]
    2. Инвариантными множествами являются:
       • вся траектория $A = f(p, I)$ для любой точки $p \in X$;
       • произвольное объединение траекторий $A = \bigcup_{\alpha} f(p_\alpha, I)$ для любого набора $\left\{p_\alpha \right\} \subset X$;
       • само пространство $A = X$.
    3. Если множества $A, A_1, A_2$ — инвариантны, то инвариантными также являются множества
       • $A_1 \cap A_2$;
       • $A_1 \cup A_2$;
       • $A_1 \setminus A_2$;
       • $X \setminus A$.
    4. Если множество $A \subset X$ инвариантно, то инвариантными также являются:
       • его замыкание $\overline{A}$;
       • внутренность $\mathring{A}$;
       • граница $\Gamma A = \overline{A} \setminus \mathring A$;
       • край $\partial A = A \setminus \mathring A$;
       • внешность $\Ext A$.
12. Каковы свойства множества точек покоя?
    Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    1. Множество точек покоя ДС является замкнутым инвариантным множеством.
    2. Ни одна траектория ни при каком конечном t не может входить в точку покоя и выходить из неё.
    3. Пусть $p \in X$. Если для любого $\delta \gt 0$ существует точка $q \in u_\delta(p)$ такая, что полутраектория $f(q, I^+) \subset u_\delta(p)$, то $p$ — точка покоя.
    4. Если $f(q, t) \to p$ при $t \to +\infty$ или $t \to -\infty$, то $p$ — точка покоя.
13. Определение: изолированная точка покоя
    Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Точка покоя $p$ ДС $f(p, t)$ называется изолированной, если существует её окрестность, не содержащая других точек покоя. В противном случае она называется неизолированной.
14. Определение: $\omega$-предельная точка
    Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Если существуют последовательность $t_n \to \infty, \; t_n \geqslant 0$ и точка $q \in X$ такие, что \[ f(p, t_n) \limto{n \to \infty} q, \] то точка $q$ называется $\omega$-предельной точкой движения $f(p,t)$ (или траектории $f(p, I)$, или положительной полутраектории $f(p, I^+)$).
15. Определение: положительное предельное множество
    Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Множество $\omega$-предельных точек движения $f(p,t)$ (траектории $f(p, I)$) называется его положительным предельным множеством и обозначается $\Omega_p$.
16. Определение: $\alpha$-предельная точка
    Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Если существуют последовательность $t_n \to -\infty, \; t_n \leqslant 0$ и точка $q \in X$ такие, что \[ f(p, t_n) \limto{n \to \infty} q, \] то точка $q$ называется $\alpha$-предельной точкой движения $f(p,t)$ (или траектории $f(p, I)$, или отрицательной полутраектории $f(p, I^-)$).
17. Определение: отрицательное предельное множество
    Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Множество $\alpha$-предельных точек движения $f(p,t)$ (траектории $f(p, I)$) называется его отрицательным предельным множеством и обозначается $\Alpha_p$.
18. Свойства предельных множеств
    Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    1. Для всякой точки $p \in X$ и для любого $t \in \mathbb{R}$ справедливы равенства \[ \Omega_p = \Omega_{f(p,t)}, \qquad \Alpha_p = \Alpha_{f(p,t)}. \] Другими словами, понятия предельных точек относятся целиком к траектории $f(p,I)$ и не зависят от выбора точки $q = f(p, t_1)$ этой траектории.
    2. Для всякой точки $p \in X$ справедливы включения: \[ \Omega_p \subset \overline{f(p, I^+)}, \qquad \Alpha_p \subset \overline{f(p, I^-)}. \]
    3. Для любой точки $p \in X$ справедливы равенства \[ \Omega_p = \bigcap_{q \in f(p, I^+)} \overline{f(q, I^+)}, \qquad \Alpha_p = \bigcap_{q \in f(p, I^-)} \overline{f(q, I^-)}. \]
    4. Предельные множества $\Omega_p, \Alpha_p$ — замкнутые инвариантные множества.
       Это означает, что они состоят только из целых траекторий ДС.
    5. Пусть $X = \mathbb{R}^n$. В этом случае $\Omega_p = \varnothing$ (или $\Alpha_p = \varnothing$) тогда и только тогда, когда \[ f(p, t) \to \pm\infty, \] то есть \[ \abs{f(p, t)} \limto{t \to \infty} \infty \qquad (\abs{f(p, t)} \limto{t \to -\infty} \infty) \]
    6. Для того чтобы положительное (отрицательное) предельное множество состояло из единственной точки: \[ \Omega_p = q \in X \qquad (\Alpha_p = q \in X), \] достаточно (а в случае $X = \mathbb{R}^n$ и необходимо), чтобы $f(p, t) \to q$ при $t \to \infty$ ($t \to -\infty$).
    7. Пусть $p \in X$.
       • Если $\overline{f(q, I^+)} = X$ для любой точки $q \in f(p, I^+)$, то $\Omega_p = X$.
       • Если $\overline{f(q, I^-)} = X$ для любой точки $q \in f(p, I^-)$, то $\Alpha_p = X$.
19. Могут ли предельные множества быть пустыми? Если да, то когда?
    Да, могут.

    Пусть $X = \mathbb{R}^n$. В этом случае $\Omega_p = \varnothing$ (или $\Alpha_p = \varnothing$) тогда и только тогда, когда \[ \abs{f(p, t)} \limto{t \to \infty} \infty \qquad (\abs{f(p, t)} \limto{t \to -\infty} \infty) \]
20. В каком случае предельное множество состоит из одной точки?
    Для того чтобы положительное (отрицательное) предельное множество состояло из единственной точки: \[ \Omega_p = q \in X \qquad (\Alpha_p = q \in X), \] достаточно (а в случае $X = \mathbb{R}^n$ и необходимо), чтобы $f(p, t) \to q$ при $t \to \infty$ ($t \to -\infty$).
21. Когда предельное множество совпадает со всем пространством $X$?
    Пусть $p \in X$.

    • Если $\overline{f(q, I^+)} = X$ для любой точки $q \in f(p, I^+)$, то $\Omega_p = X$.
    • Если $\overline{f(q, I^-)} = X$ для любой точки $q \in f(p, I^-)$, то $\Alpha_p = X$.

    Другими словами:

    • Если положительная полутраектория $f(q, I^+)$ любой точки $q$ положительной полутраектории $f(p, I^+)$ везде плотна, то $\Omega_p = X$.
    • Если отрицательная полутраектория $f(q, I^-)$ любой точки $q$ отрицательной полутраектории $f(p, I^+)$ везде плотна, то $\Omega_p = X$.
22. Определение: плотное множество
    Множество $A$ называется плотным в $B$, если $B \subset \overline{A}$.
23. Определение: всюду плотное множество
    Множество $A$ называется всюду плотным, если $\overline A = X$.
24. Когда предельное множество совпадает с соответствующей полутраекторией?
    $\Omega_p = f(p, I^+)$ тогда и только тогда, когда $f(p, I)$ — точка покоя или цикл.
    Аналогично для случая $\Alpha_p = f(p, I^-)$.
25. Определение: положительная устойчивость по Лагранжу
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    • Точка $p \in X$;
    • движение $f(p,t)$;
    • траектория $f(p,I)$;
    • полутраектория $f(p,I^+)$

    называются положительно устойчивыми по Лагранжу (устойчивыми $L^+$), если $\overline{f(p, I^+)}$ — компактное множество.
    
    Компактность $\overline{f(p, I^+)}$ эквивалентна тому, что $f(p, I^+) \subset K$, где $K$ — компакт.
26. Определение: отрицательная устойчивость по Лагранжу
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    • Точка $p \in X$;
    • движение $f(p,t)$;
    • траектория $f(p,I)$;
    • полутраектория $f(p,I^-)$

    называются отрицательно устойчивыми по Лагранжу (устойчивыми $L^-$), если $\overline{f(p, I^-)}$ — компактное множество.
    
    Компактность $\overline{f(p, I^-)}$ эквивалентна тому, что $f(p, I^-) \subset K$, где $K$ — компакт.
27. В каком случае каждая траектория является устойчивой $L$?
    Любая траектория устойчива $L$, если $X$ — компакт.
28. Что можно сказать про предельные множества устойчивых $L^+$ или $L^-$ траекторий?
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Свойства для случая $L^-$ аналогичны.

    Если движение $f(p,t)$ устойчиво $L^+$, то:

    1. предельное множество $\Omega_p$ компактно;
    2. $\Omega_p \neq \varnothing$;
    3. $\lim\limits_{t \to \infty} \rho(f(p, t), \Omega_p) = 0$;
    4. предельное множество $\Omega_p$ связно;
    5. для любых двух точек $x,y \in \Omega_p$ существует $z \in \Omega_p$ такая, что $\rho(x,z) = \rho(y,z)$.
29. Как можно классифицировать траектории в зависимости от типа их предельных множеств?
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Случаи для отрицательного предельного множества аналогичны.

    1. Точка $p \in X$, движение $f(p, t)$ и траектория $f(p, I)$ называются уходящими в положительном направлении, если $\Omega_p = \varnothing$.
    2. Если для данной точки $p \in X$ положительное предельное множество $\Omega_p \neq \varnothing$, но $\Omega_p \cap f(p, I^+) = \varnothing$, то движение $f(p,t)$ и траектория $f(p, I)$ называются положительно асимптотическими.
    3. Если $\Omega_p \cap f(p, I^+) \neq \varnothing$, то точка называется положительно устойчивой по Пуассону.
30. Каким свойством обладает множество уходящих точек?
    Пусть $V^+, V^-$ — множества точек данной ДС, уходящих в положительном и отрицательном направлениях соответственно, а через $V = V^- \cap V^+$ — множество уходящих точек.

    $V, V^+, V^-$ — инвариантные множества ДС.
31. Как называется траектория, у которой $\Omega_p = \varnothing$?
    Траектория называется положительно уходящей.
32. Как называется траектория, у которой $\Omega_p \neq \varnothing$, но $\Omega_p \cap f(p,I^+) = \varnothing$?
    Траектория называется положительно асимптотической.
33. Определение: положительная устойчивость по Пуассону
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Точка $p \in X$ и движение $f(p,t)$ называются положительно устойчивыми по Пуассону (устойчивыми $P^+$), если $p \in \Omega_p$.
34. Определение: отрицательная устойчивость по Пуассону
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Точка $p \in X$ и движение $f(p,t)$ называются отрицательно устойчивыми по Пуассону (устойчивыми $P^-$), если $p \in \Alpha_p$.
35. Каким свойством обладает множество устойчивых $P$ точек?

    Пусть $B, B^+, B^-$ — множества устойчивых $P, P^+, P^-$ точек ДС.

    Множества $B, B^+, B^-$ инвариантны.
36. Являются ли предельные множества замкнутыми?
    Да, $\Omega_p$ и $\Alpha_p$ — замкнутые множества.
37. Может ли множество устойчивых $P$ точек быть незамкнутым?
    Да, может.
38. Может ли множество устойчивых $P$ точек быть неоткрытым?
    Да, может.
39. Критерий устойчивости $P^+$ или $P^-$
    Точка $p \in X$ устойчива $P^+$ тогда и только тогда, когда выполнено любое из равенств \[ \Omega_p = \overline{f(p, I^+)} \quad \mbox{или} \quad \Omega_p = \overline{f(p, I)}. \]

    Другими словами, критерий устойчивости $P^+$ — плотность траектории $f(p,I^+)$ или полутраектории $f(p, I)$ в своём предельном множестве $\Omega_p$.

40. Какими свойствами обладают траектории устойчивой $P^+$ точки?

    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Если $p \in X$ — устойчивая $P^+$ точка, то:

    1. $f(p, I) \subset \Omega_p$;
    2. $\overline{f(p, I^+)} = \overline{f(p, I)} = \Omega_p$;
41. Какова связь передельных множеств устойчивых $P^+$, $P^-$ и $P$ точек?
    • Если движение $f(p,t)$ устойчиво $P^+$, то $\Alpha_p \subseteq \Omega_p = \overline{f(p,I)}$;
    • Если движение $f(p,t)$ устойчиво $P^-$, то $\Omega_p \subseteq \Alpha_p = \overline{f(p,I)}$;
    • Если движение $f(p,t)$ устойчиво $P$, то $\Alpha_p = \Omega_p = \overline{f(p,I)}$.
42. Является ли точка покоя устойчивой $P$?
    Да, является.
43. Является ли цикл устойчивым $P$?
    Да, является.
44. В каком случае существуют нетривиальные устойчивые $P$ движения?
    В случае, когда для пространства $X$ не выполнена теорема Жордана.
45. Теорема Жордана (формулировка)
    (Жордана).
    Всякая простая (без самопересечений) замкнутая кривая на плоскости $X = \mathbb{R}^2$ делит её на две линейно несвязные между собой открытые части, общей границей которых эта кривая и является.
46. В каком случае не существует нетривиальных устойчивых $P$ движений?
    У всякой гладкой ДС $f(p,t)$, заданной на плоскости $X = \mathbb{R}^2$ или на двумерной поверхности $X$, на которой справедлива теорема Жордана, единственные устойчивые $P, P^+, P^-$ траектории — точки покоя и циклы.
47. Теорема о компактности предельного множества в полном пространстве (формулировка)
    (о компактности предельного множества в полном пространстве)
    Рассмотрим траекторию:

    • устойчивую $P^+$;
    • отличную от точки покоя и периодической траектории;
    • расположенную в полном $X$.

    Тогда множество предельных точек $\Omega_p$, не принадлежащих траектории, плотно в $\Omega_p$, то есть \[ \overline{\Omega_p \setminus f(p,I)} = \Omega_p. \]
48. Каким свойством обладает предельное множество устойчивой $P^+$ и $L^+$ траектории?
    Для устойчивой $P^+$ траектории $f(p, I)$ дополнительное условие её устойчивости $L^+$ эквивалентно компактности предельного множества $\Omega_p = \overline{f(p, I)}$.
49. Определение: устойчивое по Ляпунову замкнутое инвариантное множество
    Рассмотрим метрическое пространство $R = (X, \rho)$ и динамическую систему $f(t, p)$.

    Замкнутое инвариантное множество $M$ называется устойчивым по Ляпунову, если \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0: \quad \forall q: \rho(q, M) \lt \delta \quad \implies \quad \rho(f(t, q), M) \lt \varepsilon \quad \forall t \geqslant 0. \]
50. Какому понятию из теории устойчивости движения эквивалентно понятие устойчивости по Ляпунову инвариантного множества?
    Оно эквивалентно понятию орбитальной устойчивости.

    Рассмотрим систему \[ \left\{ \begin{aligned} y_1' &= f_1(y_1, y_2), \\ y_2' &= f_2(y_1, y_2). \end{aligned} \right. \] Пусть существует периодическое движение: \[ \left\{ \begin{aligned} y_1(x) &= \varphi_1(x), \\ y_2(x) &= \varphi_2(x), \end{aligned} \right. \qquad \varphi_s(x + T) = \varphi_s(x), \quad s = 1,2. \]

    Рассмотрим орбиту \[ M = \left\{ (y_1, y_2): y_1 = \varphi_1(x), \; y_2 = \varphi_2(x), \quad x \in [0, T] \right\}. \]

    Говорят, что $y = \varphi(x)$ орбитально устойчиво, если \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0: \quad \forall y^0: \; \rho(y^0, M) \lt \delta \quad \implies \quad \rho(y(x, y^0), M) \lt \varepsilon \quad \forall x \geqslant 0. \]
51. Определение: асимптотическая устойчивость по Ляпунову
    Если замкнутое инвариантное множество $M$

    • устойчиво по Ляпунову;
    • выполнено условие \[ \exists \tilde \delta \gt 0: \quad \forall p: \rho(p,M) \lt \tilde\delta \quad \implies \quad \rho(f(t,p), M) \limto{t \to \infty} 0, \]

    то $M$ называется асимптотически устойчивым по Ляпунову.
52. Определение: неустойчивость по Ляпунову
    Замкнутое инвариантное множество $M$ неустойчиво по Ляпунову, если \[ \exists \varepsilon \gt 0: \quad \forall \delta \gt 0 \quad \exists p_\delta: \rho(p_\delta, M) \lt \delta \quad \exists t_0 \gt 0: \quad \rho(f(t_0, p_\delta), M) \geqslant \varepsilon. \]
53. Пример устойчивого, асимптотически усточивого и неустойчивого по Ляпунову множества
    Рассмотрим уравнение \[ y' = a y^3, \quad a \in \mathbb{R}. \] Здесь $M = \left\{ 0 \right\}.$

    Возможны три случая:

    • $a > 0$ — множество $M$ неустойчиво.
    • $a = 0$ — множество $M$ устойчиво.
    • $a < 0$ — множество $M$ асимптотически устойчиво.
54. Определение: область асимптотической устойчивости
    Если замкнутое инвариантное множество $M$ асимптотически устойчиво по Ляпунову, то множество $A$ \[ A = \left\{ p \in X, \; p \not\in M: \quad \rho(f(t, p), M) \limto{t \to \infty} 0 \right\} \] называется областью асимптотической устойчивости (ОАУ) множества $M$.
55. Пример области асимптотической устойчивости
    Рассмотрим уравнение \[ y' = a y^3, \quad a \in \mathbb{R}. \] Здесь $M = \left\{ 0 \right\}.$

    Возможны три случая:

    • $a > 0$ — множество $M$ неустойчиво.
    • $a = 0$ — множество $M$ устойчиво.
    • $a < 0$ — множество $M$ асимптотически устойчиво, причём $A = \mathbb{R} \setminus M = \left\{ y \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\} \right\}$.
56. Какими свойствами обладает область асимптотической устойчивости инвариантного множества ДС?
    Областью асимптотической устойчивости инвариантного множества $M$ динамической системы $f(t,p)$ является открытое инвариантное множество, содержащее достаточно малую $\delta$-окрестность множества $M$, где $\delta \gt 0$.
57. Определение: асимптотическая устойчивость в целом
    Если у асимптотически устойчивого по Ляпунову замкнутого инвариантного множества $M \subset X$ область асимптотической устойчивости $A = X \setminus M$, то $M$ называется асимптотически устойчивым в целом.
58. Определение: граница области асимптотической устойчивости
    Границей области асимптотической устойчивости АУЛ замкнутого инвариантного множества $M \subset X$ называется замкнутое инвариантное множество \[ \Gamma = \overline A \setminus (A \cup M). \]
59. Определение: равномерная асимптотическая устойчивость по Ляпунову
    АУЛ замкнутое инвариантное множество $M$ называется равномерно асимптотически устойчивым, если \[ \exist \delta_1 \gt 0: \quad \forall H \gt 0 \quad \exists T = T(H) \gt 0: \quad \rho(f(p,t), M) < H \qquad \forall t \geqslant T, \; p \in X: \; \rho(p,M) \lt \delta_1. \]
60. Чем отличаются определения АУЛ и РАУЛ?
    Выпишем развёрнутое определение АУЛ.

    Замкнутое инвариантное множество $M$ называется АУЛ, если

    1. оно устойчиво: \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0: \quad \forall p \in X: \rho(p, M) \lt \delta \quad \implies \quad \rho(f(p,t), M) \lt \varepsilon \quad \forall t \geqslant 0; \]
    2. выполнено условие: \[ \exists \delta_1 \gt 0: \quad \forall p \in X: \rho(p, M) \lt \delta_1, \quad \forall H \gt 0 \quad \exists T = T(H, p) \gt 0: \quad \rho(f(p,t), M) \lt H \quad \forall t \geqslant T. \]

    Видим, что во втором условии величина $T = T(H, p)$ зависит и от $p$, и от $H$. Если существует $\delta_1 \gt 0$ такое, что можно найти $T = T(H)$ (то есть не зависящее от $p$), то можно получить равномерную по $p$ оценку $\rho(f(p,t), M) \lt H$.
61. Своими словами: в чём заключается ключевая особенность равномерной асимптотической устойчивости?
    Равномерная устойчивость характеризуется отсутствием «очень быстро приближающихся к $M$» точек.
62. Какую оценку допускают движения в окрестности РАУЛ множества?
    Пусть $M \subset X$ — РАУЛ замкнутое инвариантное множество. Тогда существует $\delta \gt 0$ и непрерывная $L(t)$, строго монотонно убывающая от $\infty$ до $0$ при возрастании $t$ от $-\infty$ до $+\infty$, такие, что для всех точек $p \in X: \rho(p, M) \lt \delta$ выполнено неравенство \[ \rho(f(p,t), M) \leqslant L(t) \qquad \forall t \geqslant 0. \]
63. Определение: равномерно притягивающее множество
    АУЛ замкнутое инвариантное множество $M$ ДС $f(p,t)$ называется равномерно притягивающим, если \[ \exists \delta_2 \gt 0: \quad \forall h \in (0, \delta_2), \; T \gt 0 \quad \exists \alpha = \alpha(H, T) \gt 0: \quad \rho(f(p,t), M) \gt \alpha \quad \forall t \in [0,T], \; p \in X: h \lt \rho(p,M) \lt \delta_2. \]

    Суть заключается в том, что точки, первоначально находившиеся в полосе $(h, \delta_2)$, за время $T$ не смогут попасть в зону $(0, \alpha)$.

    Равномерность заключается в том, что $\alpha = \alpha(h, T)$ не зависит от $p \in X$.

64. Определение: относительно компактное в $X$ множество
    Множество называется относительно компактным в $X$, если его замыкание в $X$ компактно.
65. Когда АУЛ множество является равномерно АУЛ и равномерно притягивающим?
    Когда у этого множества есть относительно компактная окрестность $u_r(M), \; r \gt 0$.

    АУЛ замкнутое инвариантное множество $M$, имеющее относительно компактную окрестность $u_r(M), \; r \gt 0$, является равномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим.
66. Как ведут себя траектории в окрестности УЛ множества?
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Рассмотрим замкнутое инвариантное множество $M$.

    Замкнутое инвариантное множество $M$ является УЛ⁺ тогда и только тогда, когда для любого достаточно малого $\varepsilon \gt 0$ \[ \delta(\varepsilon) := \inf_{\rho(p, M) = \varepsilon, \; t \leqslant 0} \rho(f(p,t), M) \gt 0. \]
67. Критерий положительной УЛ
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Рассмотрим замкнутое инвариантное множество $M$.

    Замкнутое инвариантное множество $M$ является УЛ⁺ тогда и только тогда, когда для любого достаточно малого $\varepsilon \gt 0$ \[ \delta(\varepsilon) := \inf_{\rho(p, M) = \varepsilon, \; t \leqslant 0} \rho(f(p,t), M) \gt 0. \]
68. Как ведут себя траектории в окрестности АУЛ множества?
    Если для движения $f(p,t)$, происходящего вне $M$, при некотором $\varepsilon \in (0,r)$ выполнено условие \[ \rho(f(p,t), M) \leqslant \varepsilon \qquad \forall t \geqslant 0, \] то имеем альтернативу:

    • либо движение $f(p,t)$ имеет $\alpha$-предельную точку в $M$ (то есть $\Alpha_p \subset M$) и \[ f(p,t) \limto{t \to -\infty} M; \]
    • либо существует целая траектория \[ f(q, I) \subset \overline{u_\varepsilon(M)} \setminus M \subset u_r(M) \] (то есть $\Alpha_p \setminus M \neq \varnothing$), причём если $\Alpha_p \cap M = \varnothing$, то \[ \varepsilon \geqslant \rho(f(q,I), M) \gt 0. \]

    Пусть для некоторых величин $\varepsilon \in (0,r)$, точек $\left\{ p_n \right\} \in X$ и моментов $\left\{ \tau_n \lt 0 \right\}$ выполнены условия:

    1. $\rho(p_n, M) = \varepsilon$;
    2. $\rho(f(p_n, t), M) \leqslant \varepsilon$ при всяком $t \in [\tau_n, 0]$;
    3. $\rho(f(p_n, \tau_n), M) = \beta_n \limto{n \to \infty} 0$.

    Тогда существует точка $p \in X, p \not\in M$ такая, что \[ \rho(p, M) = \varepsilon, \qquad \rho(f(p,t), M) \leqslant \varepsilon \qquad \forall t \leqslant 0. \]
69. 2 критерия АУЛ⁺
    Замкнутое инвариантное множество $M$ с относительно компактной окрестностью $u_r(M), \; r \gt 0$, является АУЛ⁺ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

    1. не существует движения $f(p,t), \; p \not\in M$, с $\alpha$-предельными точками в $M$;
    2. существует окрестность $u_\sigma(M)$, где $\sigma \in (0, r)$, не содержащая целых траекторий.

    Замкнутое инвариантное множество $M$ с относительно компактной окрестностью $u_r(M), \; r \gt 0$ является АУЛ⁺ тогда и только тогда, когда оно УЛ⁺ и существует его окрестность $u_\sigma(M)$, где $\sigma \in (0,r)$, не содержащая целых траекторий.
70. Критерий АУЛ⁺ нулевого решения СОДУ
    Рассмотрим СОДУ \[ \dot x = f(x), \qquad x \in X = \mathbb{R}^n, \] где векторное поле $f$ удовлетворяет условиям теорем существования, единственности и непрерывности по начальным данным.

    Система стационарна, поэтому $x(t, t_0, x_0) = x(t - t_0, 0, x_0)$. В дальнейшем будем обозначать их в виде $x = x(t, x_0)$ и $x(0, x_0) = x_0$.

    Пусть $f(0) = 0$, тогда точка покоя $x = 0$ — замкнутое инвариантное множество $M = \left\{ x = 0 \right\}$ с относительно компактной окрестностью $u_r(0)$ для любого $r \gt 0$.

    Нулевое решение $x \equiv 0$ исходной СОДУ является АУЛ⁺ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

    1. не существует решения $x = x(t, x_0), \; x_0 \neq 0$, для которого $\abs{x} \to 0$ при $t \to -\infty$;
    2. существует окрестность $u_\sigma(0), \; \sigma \gt 0$ точки $x = 0$, не содержащая никакой целой траектории $x = x(t, x_0), \; t \in \mathbb{R}, \; x_0 \neq 0$.
71. Критерий АУЛ⁺ нулевого решения СОДУ на плоскости
    Рассмотрим СОДУ 2-го порядка: \[ \left\{ \begin{aligned} \dot x_1 &= f_1(x_1, x_2), \\ \dot x_2 &= f_2(x_1, x_2), \end{aligned} \right. \] где $x \in X = \mathbb{R}^2$, где векторное поле $f: X \to X$ удовлетворяет условиям теорем существования, единственности и непрерывности по начальным данным.

    Пусть $f(0) = 0$, тогда точка $x = 0$ — положение равновесия, которое будем считать изолированным. Система имеет замкнутое инвариантное множество $M = \left\{ x = 0 \right\}$ с относительно компактной окрестностью.

    Нулевое решение $x \equiv 0$ исходной СОДУ является АУЛ⁺ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

    1. не существует решения $x = x(t, x_0), \; x_0 \neq 0$, для которого $\abs{x} \to 0$ при $t \to -\infty$;
    2. существует по крайней мере одно движение $x(t, x_0) \to 0, \; x_0 \neq 0$ при $t \to +\infty$.

    Полученный результат показывает, что если у изолированного положения равновесия нет «выходящих» (при $t \to -\infty$) из него траекторий, то существование уже одной «входящей» (при $t \to +\infty$) траектории приводит к АУЛ⁺ этого положения равновесия.
72. Определение: свойство возвращаемости открытых множеств
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Говорят, что ДС $f(p,t)$ обладает свойством возвращаемости открытых множеств, если для любого открытого множества $\sigma \subset X$ и момента времени $T \gt 0$ существует момент времени $t \geqslant T$ такой, что \[ \tag{1} \sigma \cap f(\sigma, t) \neq \varnothing. \]
73. Определение: блуждающая точка
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Точка $p \in X$ называется блуждающей, если существуют её окрестность $u(p) \subset X$ и момент $T \gt 0$ такие, что \[ u(p) \cap f(u(p), t) = \varnothing \qquad \forall t \geqslant T. \]
74. Определение: неблуждающая точка
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Точка $p \in X$ называется неблуждающей, если для любых её окрестности $u(p) \subset X$ и момента $T \gt 0$ существует момент $t \geqslant T$ такой, что \[ u(p) \cap f(u(p), t) \neq \varnothing. \]
75. В чём разница между блуждающей и уходящей точками?
    Уходящая точка или нет — индивидуальное свойство самой точки. А вот блуждаемость и неблуждаемость — групповое свойство, существенно зависящее от поведения соседних точек.
76. Может ли уходящая точка быть блуждающей?
    Да, может.
77. Может ли уходящая точка быть неблуждающей?
    Да, может.
78. Может ли неуходящая точка быть блуждающей?
    Да, может.
79. Может ли неуходящая точка быть неблуждающей?
    Да, может.
80. Каковы свойства множества блуждающих точек?
    Множество $W_1$ блуждающих точек является открытым и инвариантным.
81. Каковы свойства множества неблуждающих точек?
    Множество $M_1$ неблуждающих точек является замкнутым и инвариантным.
82. Что можно сказать про блуждаемость устойчивой $P^+$ или $P^-$ точки?
    Всякая точка, устойчивая $P^+$ или $P^-$, является неблуждающей, то есть \[ B^+ \cup B^- \subset M_1. \]
83. Что можно сказать про устойчивость $P^+$ или $P^-$ блуждающей точки?
    Любая блуждающая точка не является устойчивой $P^+$ или $P^-$.
84. Существуют ли неблуждающие точки, неустойчивые $P^+$ и $P^-$?
    Да, существуют, то есть возможен случай \[ M_1 \setminus (B_1 \cup B_2) \neq \varnothing. \]

    привести пример; 3 часть, стр. 12.
85. Критерий возвращаемости открытых множеств
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    В фазовом пространстве $X$ ДС имеет место возвращаемость открытых множеств тогда и только тогда, когда $M_1 = X$, то есть все точки являются неблуждающими.
86. Привести пример множеств, в которых всегда имеет место возвращаемость открытых множеств
    Во всяком открытом в $X$ и инвариантном множестве $G \subset M_1$ имеет место возвращаемость открытых множеств.
87. Каким свойством обладает неблуждающая точка в сужении ДС?
    Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Рассмотрим инвариантное множество $M$ в пространстве $X$. Сужение $f | M$ даёт ДС в $M$. Тогда неблуждаемость точки из $M$ относительно $M$ всегда влечёт её неблуждаемость в $X$.
88. Как связаны предельные множества с множеством неблуждающих точек?
    Для всякой точки $p \in X$ предельные множества содержатся в множестве неблуждающих точек: $\Omega_p, \Alpha_p \subset M_1$.
89. При каких условиях множество неблуждающих точек непусто?
    1. Если ДС $f(p,t)$ имеет хотя бы одно устойчивое $L^+$ или $L^-$ движение, то $M_1 \neq \varnothing$.
    2. Если $X$ компактно, то $M_1 \neq \varnothing$.
90. Как задаётся множество центральных движений?
    Рассмотрим динамическую систему $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

    Будем считать, что $X$ — компакт, тогда $M_1$ — непусто и компактно.

    Какие движения будут происходить при $t \to \pm \infty$? С блуждающими всё понятно, они через определённое время $T(\varepsilon)$ перейдут в $\varepsilon$-окрестность множества $M_1$. А что с неблуждающими?

    Множество $M_1$ инвариантно, значит, можно сузить ДС на $M_1$. В новой ДС возникнут $W_2 \subset M_1$ и $M_2 \subset M_1$. Заметим, что $M_1$ компактно, следовательно, $M_2$ непусто и компактно.

    Если $W_2 = \varnothing$, то $M_2 = M_1$. Такое множество называется множеством центральных движений.

    ---

    Формально множество центральных движений задаётся при помощи трансфинитной индукции.

    Продолжаем процесс сужения ДС на $M_i$. В итоге получаем убывающую последовательность вложенных непустых замкнутых инвариантных компактных множеств \[ M_1 \supset M_2 \supset M_3 \supset \dots \supset M_n \supset \cdots. \] Если на каком-то шаге окажется, что $M_k = M_{k+1}$, то нашли множество центральных движений.

    Если такого шага нет, то последовательность вложенных множеств счётная. Делаем переход 2-го рода, задавая множество \[ M_\omega = \bigcap_{i=1}^\infty M_i. \] Оно

    • непусто как пересечение последовательности непустых замкнутых убывающих множеств;
    • замкнуто как пересечение замкнутых множеств;
    • инвариантно как пересечение инвариантных множеств;
    • компактно как замкнутое подмножество исходного компактного $X$.

    Снова делаем шаги первого рода, снова получаем последовательность \[ M_{\omega + 1} \supset M_{\omega + 2} \supset M_{\omega + 3} \supset \dots \supset M_{\omega + n} \supset \cdots. \] Если есть шаг, на котором $M_{\omega + k} = M_{\omega + k + 1}$, то нашли множество центральных движений.

    Иначе снова делаем шаг 2-го рода.

    Пусть эта процедура проделана для вполне упорядоченной системы индексов $\left\{ \gamma | \gamma \lt \delta \right\}$, где индекс $\delta$ отвечает некоторому трансфинитному числу 2-го рода.

    • Если в этой системе имеется максимальный элемент $\alpha$, то есть $\gamma \leqslant \alpha$ для всех $\gamma$, то берём $\delta = \alpha + 1$ и делаем шаг 1-го рода.
    • Если максимального элемента не существует, то есть определены все соотв. множества $M_\gamma$, то делаем шаг второго рода.
      Вводим множество $M_\delta := \bigcap_{\gamma \lt \delta} M_\gamma$. Оно непусто, замкнуто, инвариантно и компактно. Переходим к ДС $f | M_\delta$ с фазовым пространством $M_\delta$.

    Проделав указанную процедуру, получаем вполне упорядоченную убывающую систему непустых замкнутых компактных инвариантных множеств с несчётной вполне упорядоченной системой индексов.

    Пространство $X$ как метрический компакт имеет счётную базу, и по теореме Бэра различных множеств в $X$ не более чем счётное число. Поэтому обязательно найдётся индекс $\beta$ такой, что \[ M_\beta = M_{\beta + 1} = \dots. \] Такое множество $M = M_\beta$ и будет множеством центральных движений.

91. Как связано множество центральных движений с неблуждающими точками и свойством возвращаемости открытых множеств?
    Множество центральных движений $M$ — наибольшее замкнутое инвариантное множество, все точки которого являются неблуждающими относительно этого множества.
    Эквивалентно: наибольшее замкнутое инвариантное множество, в котором имеет место возвращаемость открытых в $M$ множеств.
92. Как связаны множества устойчивых $P^+$, $P^-$ и $P$ точек и множество центральных движений?
    Множества $B^+, B^-, B \subset M$, где $M$ — множество центральных движений.

    В множестве центральных движений $M$ всюду плотны точки, устойчивые $P$, то есть $\overline B = M$.

    Множество центральных движений ДС — замыкание $M = \overline B$ множества устойчивых $P$ точек.
93. Критерий устойчивости $P^+$ или $P^-$ относительно инвариантного множества
    Пусть $A \subset X$ — инвариантное множество и пусть $p \in A$. Тогда точка $p$ устойчива $P^+$ относительно $X$ тогда и только тогда, когда она устойчива $P^+$ относительно $A$.
94. Определение: минимальное множество
    Множество $M \subset X$ называется минимальным, если оно:

    1. непусто $M \neq \varnothing$;
    2. замкнуто $\overline M = M$;
    3. инвариантно $f(M,t) = M$ для всех $t \in \mathbb{R}$;
    4. не имеет истинного подмножества (то есть подмножества $\Sigma \subset M, \; \Sigma \neq M$), обладающего свойствами 1-3.
95. Критерий минимальности множества
    (критерий минимальности).
    Множество $M$ минимально тогда и только тогда, когда замыкание траектории $\overline{f(p, I)} = M$ для любой точки $p \in M$.
96. Что можно сказать про связность минимального множества?
    Минимальное множество $M$ всегда связно.
97. Что можно сказать про минимальное множество, содержащее положение равновесия?
    Если минимальное множество $M$ содержит положение равновесия, то оно совпадает с ним.
98. Что можно сказать про минимальное множество, содержащее цикл?
    Если минимальное множество $M$ содержит цикл, то оно совпадает с ним.
99. Что можно сказать про единственность минимального множества?
    Минимальное множество может быть не единственным.
100. Что можно сказать про компактность минимального множества?
     Минимальное множество в общем может быть некомпактным, но в компактном множестве минимальное множество всегда компактно.
101. Привести примеры, когда минимальное множество существует
     1. Во всяком непустом инвариантном компактном множестве $F \subset X$ содержится некоторое минимальное множество $M$.
     2. Если $X$ компактно, то оно имеет минимальное множество $M$.
     3. Если движение $f(p,t)$ устойчиво $L^+$, то множество $\Omega_p$ содержит некоторое компактное минимальное множество $M$.
102. Определение: рекуррентное движение (4 штуки)
     Движение $f(p,t)$ динамической системы называют рекуррентным, если для любого $\varepsilon \gt 0$ существует $T = T(\varepsilon) = T_\varepsilon \gt 0$ такое, что \[ f(p, I) \subset S(f(p, [t_0, t_0 + T_\varepsilon]), \varepsilon) \qquad \forall t_0 \in \mathbb{R}, \] то есть любая конечная дуга $f(p, [t_0, t_0 + T_\varepsilon])$ траектории $f(p, I)$ длины $T_\varepsilon$ аппроксимирует всю эту траекторию $f(p, I)$ с точностью до $\varepsilon$.

     Движение $f(p,t)$ динамической системы называют рекуррентным, если для любого $\varepsilon \gt 0$ найдётся величина $T = T_\varepsilon \gt 0$ такая, что для любых моментов $t_0, t \in \mathbb{R}$ существует момент $w = w(t_0, t, \varepsilon) \in [t_0, t_0 + T_\varepsilon]$, для которого \[ \rho(f(p,t), f(p,w)) \lt \varepsilon. \]

     Движение $f(p,t)$ динамической системы называют рекуррентным, если для любого $\varepsilon \gt 0$ найдётся величина $T = T_\varepsilon \gt 0$ такая, что для любых моментов $t_0, t \in \mathbb{R}$ существует момент $\tau = \tau(t_0, t, \varepsilon) \in [0, T_\varepsilon]$, для которого \[ \rho(f(p,t), f(p,t_0 + \tau)) \lt \varepsilon. \]

     Если положить $t_0 = t + a, w = t + \tau$, то получаем следующее определение.

     Движение $f(p,t)$ динамической системы называют рекуррентным, если для любого $\varepsilon \gt 0$ найдётся величина $L = L_\varepsilon \equiv T_\varepsilon \gt 0$ такая, что для любых моментов $t, a \in \mathbb{R}$ существует момент $\tau = \tau(t, a, \varepsilon) \in [a, a + T_\varepsilon]$, для которого \[ \rho(f(p,t), f(p,t + \tau)) \lt \varepsilon. \]
103. Определение: почти периодическое движение
     Для начала вспомним одно из определений рекуррентного движения.

     Движение $f(p,t)$ динамической системы называют рекуррентным, если для любого $\varepsilon \gt 0$ найдётся величина $L = L_\varepsilon \equiv T_\varepsilon \gt 0$ такая, что для любых моментов $t, a \in \mathbb{R}$ существует момент $\tau = \tau(t, a, \varepsilon) \in [a, a + T_\varepsilon]$, для которого \[ \rho(f(p,t), f(p,t + \tau)) \lt \varepsilon. \]

     Если в последнем определении $\tau = \tau(a, \varepsilon)$, то такое рекуррентное движение называют почти периодическим.
104. Что можно сказать про устойчивость рекуррентного движения?
     Любое рекуррентное движение является устойчивым $P$.
105. Следует ли из рекуррентности устойчивость $P$?
     Да, следует.
106. Следует ли из устойчивости $P$ рекуррентность?
     Нет, не следует.
107. Определение: ограниченное множество
     Множество $A \subset X$ называют ограниченным, если выполняется одно из эквивалентных условий:

     1. его диаметр $\diam A = \sup_{x,y \in A} \rho(x,y) \lt \infty$;
     2. для любой фиксированной точки $x \in X$ справедливо $\sup_{y \in A} \rho(x,y) \lt \infty$;
     3. множество $A$ содержится в некотором шаре.
108. Определение: $\varepsilon$-сеть множества
     Пусть $\varepsilon \gt 0$. Множество $B \subset X$ называют $\varepsilon$-сетью множества $A \subset X$, если \[ \forall a \in A \quad \exists b \in B: \quad \rho(a,b) \leqslant \varepsilon. \]
109. Определение: вполне ограниченное множество
     Множество $A \subset X$ называют вполне ограниченным, если для любого $\varepsilon \gt 0$ существует его конечная $\varepsilon$-сеть $B$.
110. Следует ли из полной ограниченности множества его ограниченность?
     Да, следует.
111. Следует ли из ограниченности множества его полная ограниченность?
     Нет, не следует.
112. Что можно сказать про траекторию рекуррентного движения?
     Траектория $f(p,I)$ рекуррентного движения является вполне ограниченной и, как следствие, ограниченной.
113. Первая теорема Биркгофа (формулировка, два следствия)
     (Биркгофа, первая).
     Каждое движение $f(p,t)$ в компактном минимальном множестве $M \subset X$ рекуррентно.

     Компактное минимальное множество $M$ всегда содержится в множестве центральных движений.

     Если движение $f(p,t)$ устойчиво $L^+$, то в множестве $\Omega_p$ содержится некоторое рекуррентное движение.
114. Вторая теорема Биркгофа (формулировка, два следствия)
     (Биркгофа, вторая).
     Пусть $X$ полно. Тогда замыкание $\overline{f(p, I)} = M$ траектории всякого рекуррентного движения $f(p,I)$ есть компактное минимальное множество.
     Если же траектория незамкнута, то все траектории в $M$ рекуррентны, незамкнуты, а их общее число несчётно.

     Если рекуррентное движение $f(p,t)$ устойчиво $L$, то $M = \overline{f(p,I)}$ — компактное минимальное множество.

     В полном пространстве $X$ всякое рекуррентное движение $f(p,t)$ устойчиво $L$.
115. Что можно сказать про устойчивость рекуррентного движения в полном пространстве?
     В полном пространстве каждое рекуррентное движение устойчиво $L$.
116. Определение: гомеоморфизм
     Биективное отображение $f: X \to Y$ метрических пространств называется гомеоморфизмом, если оба отображения $f$ и $f^{-1}$ являются непрерывными.

     Гомеоморфизм является биекцией, сохраняющая в обе стороны открытость и замкнутость множеств.