-
Закон сохранения энергии
Рассмотрим задачу об ударении пули массы $m$ об брусок массы $M$, подвешенный на нерастяжимой нити длины $l$, в результате которого брусок отклонился на угол $\alpha$ от своего положения равновесия. Требуется найти скорость $v$, с которой пуля ударилась в брусок.
Будем считать удар абсолютно неупругим, то есть в результате тела соединяются и продолжают своё движение как единое целое.
Так как по закону сохранения энергии \[ T + U = \const, \] где $T$ и $U$ — кинетическая и потенциальная энергии соответственно, то \[ \Delta T = - \Delta U. \] В рассматриваемой задаче \[ \frac{m v^2}{2} = (M + g) gl (1 - \cos \alpha), \] откуда требуемая скорость выражается следующим образом: \[ v = \sqrt{ \frac{2 (M + m)}{m} gl (1 - \cos \alpha) }. \]Стоит иметь в виду, что при таком подходе не учитываются весьма существенные немеханические процессы, происходящие при торможении пули в бруске (то есть в случае, когда удар не подразумевается абсолютно неупругим), поэтому полученная формула даёт лишь нижнюю границу для оценки скорости пули.
Для правильного решения нужно воспользоваться законом сохранения импульса, который позволяет в данном случае обойти обозначенную выше проблему: \[ (M + m) V = m v, \implies V = \frac{m}{M + m} v. \] Тогда, подставляя полученное выражение в закон сохранения энергии, получаем \[ \frac{(m + M) V^2}{2} = (M + v) gl (1 - \cos \alpha), \] откуда \[ v = \frac{M + m}{m} \sqrt{2 g l (1 - \cos \alpha)}, \] что в $\sqrt{ \dfrac{M + m}{m} }$ больше, чем полученная выше нижняя граница.
Рассмотрим задачу об облучении лазером мощности $W(t)$ поверхности $S$.
Требуется определить глубину отверстия $l(t)$, образованную лазером за время $t$.
Пусть $h$ — энергия, требуемая для испарения единицы массы, тогда \[ h = (T_\text{пл} - T) h_1 + h_2 + (T_\text{кип} - T_\text{пл}) h_3 + h_4, \] где- $T_\text{пл}$ — температура плавления металла;
- $T_\text{кип}$ — температура кипения металла;
- $T$ — исходная температура металла;
- $h_1$ — удельная теплоёмкость твёрдого металла;
- $h_2$ — удельная теплота плавления;
- $h_3$ — удельная теплоёмкость жидкого металла;
- $h_4$ — удельная теплота парообразования.
Заметим, что в данной модели не учитывается, например, нагрев толщи вещества и удаление газа из выемки.
-
Закон сохранения массы
Пусть в области I имеется радиоактивное вещество с линейными размерами области $l_1$. Вещество находится в некоторой (допустим, свинцовой) оболочке II с линейными размерами $l_2$, полностью поглощающей его продукты распада. Требуется выяснить, как будет изменяться со временем масса вещества в областях I и II.Введём следующие обозначения:
- $\lambda_1$ — длина свободного пробега частиц в области I;
- $\lambda_2$ — длина свободного пробега частиц в области II;
- $N$ — количество вещества (атомов);
- $\mu$ — молярная (атомная) масса.
Закон сохранения массы записывается в виде \[ M_1(0) + M_2(0) = M_1(t) + M_2(t). \] Для количества атомов вещества справедливо равенство \[ N(t + \Delta t) - N(t) = - \alpha N(t + \xi \Delta t) \Delta t, \] поэтому \[ \frac{N(t + \Delta t) - N(t)}{\Delta t} = - \alpha N(t + \xi \Delta t), \] откуда, перейдя к пределу при $\Delta t \to 0$, получаем \[ \dv{N}{t} = - \alpha N. \] Так как \[ M_1 = \mu N, \] то \[ \dv{M_1}{t} = - \alpha M_1, \] откуда интегрированием находим закон изменения массы вещества: \[ M_1(t) = C e^{-\alpha t}. \] Так как $M_1(0) = C$, то можно записать \[ M_1(t) = M_1(0) e^{-\alpha t}. \] Подставляя это выражение в закон сохранения массы, получаем следующий закон для массы оболочки: \[ M_2(t) = M_1(0) (1 - e^{-\alpha t}) + M_2(0). \]
-
Закон сохранения импульса
Вычислим скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно двигалось по круговой орбите вокруг планеты.
Уравнение второго закона Ньютона для тела, принимаемого за материальную точку, движущегося по орбите вокруг планеты, можно записать в виде \[ ma = G \frac{M m}{R^2}, \] где $m$ — масса тела, $M$ — масса планеты, $R$ — радиус орбиты.
В общем случае при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью $v$ его ускорение равно центростремительному ускорению $\dfrac{v^2}{R}$, откуда для объекта, движущегося с первой космической скоростью $v_1$, следует, что \[ m \frac{v_1^2}{R} = G \frac{M m}{R^2}. \] Тогда \[ v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}. \] Радиус орбиты можно представить в виде $R = R_0 + h$, где $R_0$ — радиус планеты, а $h$ — высота над её поверхностью. Тогда \[ v_1 = \sqrt{ \frac{G M}{R_0 + h} }. \] В случае Земли $M \approx 5.97 \cdot 10^{24} \,\text{кг}$ и $R_0 = 6 371 000 \,\text{м}$, поэтому, учитывая, что $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$, вблизи поверхности получаем \[ v_1 \approx 7900 \,\text{м/с}. \] Если орбита находится на высоте в 600 км, то \[ v_1 \approx 7600 \,\text{м/с}. \]
Рассмотрим задачу запуска ракеты в космос. Для того чтобы ракета успешно преодолела атмосферу Земли и вышла на орбиту, необходимо обеспечить достижение первой космической скорости.
Перепишем теперь полученное равенство в виде \[ dv = - u \frac{dm}{m}, \] тогда после интегрирования получаем \[ \int\limits_{v_0}^{v} dv = -u \int\limits_{m_0}^{m} \frac{dm}{m} \quad \implies \quad v = v_0 + u \ln \frac{m_0}{m}. \] В случае, когда $v_0 = 0$, получаем \[ v(t) = u \ln \frac{m_0}{m(t)}. \] Эту формулу называют формулой Циолковского.
Так как $m_0 = m_s + m_p + m_f$, где
- $m_s$ — структурная масса;
- $m_p$ — полезная масса;
- $m_f$ — масса топлива,
Причина неудачи кроется в том, что двигатель разгоняет бесполезный вес. Необходимо по мере выгорания топлива сбрасывать пустые баки.
Рассмотрим идеальную ситуацию непрерывного отбрасывания отработанной структурной массы. Если придём к успеху, то можно будет поставить вопрос о практической реализации этого подхода.
Пусть $\Delta m$ — изменение массы ракеты за время $\Delta t$. Обозначим за $\lambda$ долю отброшенной структурной массы, тогда доля выгоревшего топлива будет равно $1 - \lambda$.
Из закона сохранения импульса следует, что \[ m(t) v(t) = m(t + \Delta t) v(t + \Delta t) - \lambda \Delta m v(t + \xi \Delta t) - (1 - \lambda) \Delta m (v(t + \xi \Delta t) - u). \] Раскроем скобки: \[ \begin{aligned} m(t) v(t) &= m(t + \Delta t) v(t + \Delta t) - \cancel{\lambda \Delta m v(t + \xi \Delta t)} - \Delta m v(t + \xi \Delta t) + \cancel{\lambda \Delta m v(t + \xi \Delta t)} + (1 - \lambda) \Delta m u = \\ &= m(t + \Delta t) v(t + \Delta t) - \Delta m v(t + \xi \Delta t) + (1 - \lambda) \Delta m u. \end{aligned} \] Так как $\Delta m = m(t + \Delta t) - m(t)$, то \[ m(t) v(t) = m(t + \Delta t) v(t + \Delta t) - m(t + \Delta t) v(t + \xi \Delta t) + m(t) v(t + \xi \Delta t) + (1 - \lambda) \Delta m u, \] поэтому \[ m(t) \left[ v(t) - v(t + \xi \Delta t) \right] = m(t + \Delta t) \left[ v(t + \Delta t) - v(t + \xi \Delta t) \right] + (1 - \lambda) \Delta m u. \] Разделим обе части на $\Delta t$: \[ m(t) \frac{\left[ v(t) - v(t + \xi \Delta t) \right]}{\Delta t} = \frac{m(t + \Delta t) \left[ v(t + \Delta t) - v(t + \xi \Delta t) \right] + (1 - \lambda) \Delta m u }{\Delta t}. \] Устремим $\Delta t \to 0$, получим \[ - m(t) \dv{v}{t} = (1 - \lambda) u \dv{m}{t}, \] или \[ m(t) \dv{v}{t} = - (1 - \lambda) u \dv{m}{t}. \] Интегрируя это уравнение, получим \[ v = v_0 + (1 - \lambda) u \ln \frac{m_0}{m_p}. \]
Таким образом, при заданных $\lambda, u$ и $m_0$ изменением массы полезной нагрузки $m_p$ можем достичь любой скорости.
При $v_0 = 0$ получим \[ \frac{m_0}{m_p} = e^{ \frac{v}{u (1 - \lambda)} }. \] Положим $v = 10.5\,\text{км/с}$ (взяв с запасом на сопротивление воздуха, гравитацию и так далее), тогда, учитывая, что $u \approx 3\,\text{км/с}$ и $\lambda = 0.1$, получаем \[ \frac{m_0}{m_p} \approx 50, \] то есть в идеальном случае для вывода на орбиту 1 тонны полезного груза нужна ракета весом в 49 тонн.
На практике невозможно непрерывно отбрасывать структурную массу, однако данный процесс можно дискретизировать.
Рассмотрим модель трёхступенчатой ракеты. Положим $\lambda$ для всех ступеней одинакова. В такой постановке естественен вопрос выбора масс $m_1, m_2, m_3$ таких, чтобы получить максимальное значение полезного груза $m_p$ для данной полной начальной массы $m_0$ при заданных значениях $v_3, u$ и $\lambda$.
Заметим, что \[ \begin{aligned} m_0 &= m_p + m_1 + m_2 + m_3, \\ v_1 &= u \ln \left( \frac{m_p + m_1 + m_2 + m_3}{m_p + \lambda m_1 + m_2 + m_3} \right), \\ v_2 &= v_1 + u \ln \left( \frac{m_p + m_2 + m_3}{m_p + \lambda m_2 + m_3} \right), \\ v_3 &= v_2 + u \ln \left( \frac{m_p + m_3}{m_p + \lambda m_3} \right). \end{aligned} \] Подставляя $v_1$ и $v_2$, получаем значение для $v_3$: \[ v_3 = u \ln \left( \frac{m_p + m_1 + m_2 + m_3}{m_p + \lambda m_1 + m_2 + m_3} \cdot \frac{m_p + m_2 + m_3}{m_p + \lambda m_2 + m_3} \cdot \frac{m_p + m_3}{m_p + \lambda m_3} \right). \] Введём для удобства обозначения: \[ \alpha_1 = \frac{m_p + m_2 + m_3}{m_p + m_1 + m_2 + m_3}, \quad \alpha_2 = \frac{m_p + m_3}{m_p + m_2 + m_3}, \quad \alpha_3 = \frac{m_p}{m_p + m_3}. \] Таким образом, имеем: \[ v_3 = u \ln \left( \frac{1}{(1 - \alpha_1) \lambda + \alpha_1} \cdot \frac{1}{(1 - \alpha_2) \lambda + \alpha_2} \cdot \frac{1}{(1 - \alpha_3) \lambda + \alpha_3} \right). \] Очевидно, что \[ \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot \alpha_3 = \frac{m_p}{m_0}. \] Можно поставить задачу максимизации произведения $\alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot \alpha_3$ при условии \[ \frac{v_3}{u} = \ln \left( \frac{1}{(1 - \alpha_1) \lambda + \alpha_1} \cdot \frac{1}{(1 - \alpha_2) \lambda + \alpha_2} \cdot \frac{1}{(1 - \alpha_3) \lambda + \alpha_3} \right). \] Так как задача симметрична относительно переменных $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, то можно утверждать, что оптимум достигается при $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha$, которое находится из равенства \[ \frac{v_3}{3 u} = \ln \frac{1}{(1 - \alpha) \lambda + \alpha}, \implies \alpha (1 - \lambda) + \lambda = e^{- \frac{v_3}{3 u}}, \] откуда \[ \alpha = \frac{e^{- \frac{v_3}{3 u}} - \lambda}{1 - \lambda}. \] Итак, окончательно получаем, что \[ \frac{m_0}{m_p} = {\left( \frac{1}{\alpha} \right)}^3 = {\left( \frac{1 - \lambda}{e^{- \frac{v_3}{3 u}} - \lambda} \right)}^3. \]
В случае $n$-ступенчатой ракеты по аналогии получаем, что \[ \frac{m_0}{m_p} = {\left( \frac{1 - \lambda}{e^{- \frac{v_n}{n u}} - \lambda} \right)}^n. \]
| $n$ (число ступеней) | $m_0$ (масса в тоннах) |
|---|---|
| 1 | - |
| 2 | 149 |
| 3 | 77 |
| 4 | 65 |
| 5 | 60 |
| $\dots$ | $\dots$ |
| $\infty$ | 50 |
Видно, что при переходе от $n = 2$ к $n = 3$ получаем выигрыш почти в 2 раза. Дальнейшее увеличение количества ступеней не даёт заметного выигрыша, но усложняет конструкцию и увеличивает вероятность выхода системы из строя.
Пусть процент брака при изготовлении пироболта равен $0.5\%$. Вычислим вероятность того, что хотя бы один болт из $S$ штук откажет (окажется бракованным), предполагая, что события являются независимыми: \[ p = 1 - (1 - 0.005)^S. \]
| $S$ (количество пироболтов) | 15 | 45 | 75 | 105 | 135 |
|---|---|---|---|---|---|
| $P$ (вероятность аварии) | $7\%$ | $20\%$ | $31\%$ | $41\%$ | $49\%$ |
Для подъёма ракеты создают тягу \[ T = - \dv{m}{t} u, \] превосходящую вес ракеты примерно в 1,25 раз. Скорость сгорания топлива в ракетном двигателе равна \[ - \dv{m}{t} = \frac{1.25 m g}{u} = \frac{1.25 \cdot 9.81 \cdot 60}{3000} = 0.24 m \,\text{тонн/мин}. \] Таким образом, ракетный двигатель сжигает около четверти массы всей ракеты в минуту, из чего следует, что он работает лишь несколько минут.
Пусть необходимо попасть из точки $A$ I-ой области в точку $B$, находящуюся за некоторой границей в области II. Суммарная длина проекций двух точек на данную границу равна $C$. Скорости передвижения в областях постоянны, но не равны друг другу. Каким образом необходимо построить маршрут, чтобы время пути, удовлетворяющего условиям задачи, было минимальным?
Разобьём эту полосу на $n$ горизонтальных полосок: \[ y = y_0 + i \cdot \frac{h}{n}, \qquad i = \overline{0, n-1}. \]
Более того, пусть скорость света изменяется скачкообразно, то есть в пределах $i$-ой полоски будем иметь \[ y_0 + \frac{i h}{n} \leqslant y \leqslant y_0 + \frac{(i+1)h}{n}, \qquad i = \overline{0, n-1}. \] Скорость света внутри каждый полоски будем считать постоянной и равной \[ v_i = v \left(y_0 + \frac{ih}{n}\right). \]
Итак, исходная задача сводится к задаче поиска минимума функции с $n-1$ переменной. Траектория луча в этом случае будет представлять из себя ломаную. Обозначая через $a_i$ абсциссу $i$-ой вершины этой ломаной, соответствующую ординате $y_0 = \frac{ih}{n}$, получим для времени $T_n$ прохождения света по ломаной выражение \[ T_n = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \frac{1}{v_i} \sqrt{ {(a_{i+1} - a+i)}^2 + {\left( \frac{h}{n} \right)}^2 }. \] Согласно принципу Ферма, абсциссы $a_i$ должны быть выбраны так, чтобы $T_n$ достигало минимума, то есть должны выполняться условия \[ \pd{T_n}{a_i} = 0, \qquad i = \overline{0, n-1}. \] Тогда \[ \begin{aligned} \pd{T_n}{a_i} &= - \frac{a_{i+1} - a_i}{v_i \sqrt{ (a_{i+1} - a_i)^2 + (\frac{h}{n})^2 }} + \frac{a_i - a_{i-1}}{v_{i-1} \sqrt{ (a_i - a_{i-1})^2 + (\frac{h}{n})^2 }} = \\ &= - \frac{\cos \varphi_i}{v_i} + \frac{\cos \varphi_{i-1}}{v_{i-1}}, \end{aligned} \] где $\varphi_i$ — угол наклона $i$-го звена ломаной к оси $Ox$. Таким образом, \[ \frac{\cos \varphi_{i-1}}{v_{i-1}} = \frac{\cos \varphi_i}{v_i} = \frac{1}{k}, \] где $k$ — некоторая константа, не зависящая от $i$.
При переходе к пределу при $n \to \infty$ мы переходим от скачкообразного распределения плотностей среды к непрерывному их распределению, а ломаная перейдёт в криволинейную траекторию, выраженную уравнениями \[ y = y(x), \qquad T = \int\limits_{x_0}^{x_1} \frac{\sqrt{1 + {y'}^2(x)}}{v(y)} dx = \lim\limits_{n \to \infty} T_n. \] Кроме того, необходимые условия минимума $T_n$ перейдут в \[ \frac{\cos \varphi}{v(y)} = \frac{1}{k} = \const. \] Но $\tg \varphi = y'$, поэтому \[ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + {\tg}^2 \varphi}} = \frac{1}{\sqrt{1 + {y'}^2}}. \] Значит, \[ v(y) \sqrt{1 + {y'}^2} = k. \] Получили уравнение с разделяющимися переменными. Перейдём к общему интегралу: \[ \begin{aligned} v(y) \sqrt{1 + {y'}^2} = k &\implies \sqrt{1 + {y'}^2} = \frac{k}{v(y)} &&\implies 1 + {y'}^2 = \frac{k^2}{v^2(y)} \\ {y'}^2 = \frac{k^2 - v^2(y)}{v^2(y)} &\implies y' = \sqrt{\frac{k^2 - v^2(y)}{v^2(y)}} &&\implies x = \int\limits_{}^{} \frac{v(y) dy}{\sqrt{k^2 - v^2(y)}} + C. \end{aligned} \]
Таким образом, в данной среде траектория луча света всегда принадлежит двупараметрическому семейству кривых (параметры $C$ и $k$). Из каждой точки $M(x_0, y_0)$ выходит пучок лучей \[ x - x_0 = \int\limits_{y_0}^{y} \frac{v dy}{\sqrt{k^2 - v^2}}. \] Это уравнение зависит от параметра $k$, который можно найти, если известна ещё одна точка, через которую проходит луч.
Рассмотрим частный случай, когда решение может быть получено в конечном виде. Допустим, что скорость $v$ распространения света в этой среде пропорциональна ординате: \[ v = \alpha y, \qquad \alpha \gt 0. \] В этом случае уравнение семейства траекторий луча примет вид \[ \begin{aligned} x &= \int\limits_{}^{} \frac{\alpha y dy}{\sqrt{k^2 - \alpha^2 y^2}} + C = \\ &= - \frac{1}{2 \alpha} \int \frac{d(k^2 - \alpha^2 y^2)}{\sqrt{k^2 - \alpha^2 y^2}} + C = \\ &= - \frac{\sqrt{k^2 - \alpha^2 y^2}}{\alpha} + C. \end{aligned} \] Отсюда следует, что \[ (x - C)^2 + y^2 = \left( \frac{k}{\alpha} \right)^2 = r^2. \] Таким образом, траектория луча — дуга окружности с центром на оси $Ox$. Через каждые две точки проходит единственная траектория.
Пусть скорость изменения населения со временем $t$ пропорциональна его текущей численности $N(t)$, умноженной на сумму коэффициентов рождаемости $\alpha(t) \geqslant 0$ и смерности $\beta(t) \geqslant 0$. Таким образом, имеем соотношение: \[ \dv{N}{t} = \left[ \alpha(t) - \beta(t) \right] N(t). \] Интегрированием получаем выражение для решения этого уравнения: \[ N(t) = N(t_0) e^{ \int\limits_{t_0}^{t} \left[ \alpha(t) - \beta(t) \right] dt }. \] Если $\alpha = \const$ и $\beta = \const$, то \[ N(t) = N(t_0) e^{(\alpha - \beta) (t - t_0)}. \] Если $\alpha = \beta$, то $N(t) = N(t_0) = \const$ — положение равновесия, но оно неустойчиво, так как при $\alpha \gt \beta$ будем наблюдать экспоненциальный рост, а при $\alpha \lt \beta$ будем наблюдать экспоненциальное снижение (аналогично уравнению радиоактивного распада).
Проблема модели Мальтуса в том, что она не учитывает конечность ресурсов. Отсюда следует, что даже в идеальном случае численность не может расти бесконечно.
Будем считать, что $N_p$ — некоторая равновесная численность популяции, которую может обеспечить окружающая среда. Также будем считать, что скорость изменения численности популяции пропорциональна самой численности, умноженной на величину отклонения от равновесного значения, то есть \[ \dv{N}{t} = \alpha \left( 1 - \frac{N}{N_p} \right) N, \qquad \alpha \gt 0. \] Представляя это уравнение в виде \[ \frac{dN}{N_p - N} + \frac{dN}{N} = \alpha dt \] и интегрируя его, получаем \[ - \ln \abs{N_p - N} + \ln N = \alpha t + C, \] или, иначе, \[ \ln \frac{N}{\abs{N_p - N}} = \alpha t + C. \] В начальный момент времени $t = 0$ \[ C = \ln \frac{N_0}{\abs{N_p - N_0}}, \] поэтому \[ \frac{N}{N_p - N} = \frac{N_0}{N_p - N_0} e^{\alpha t}. \] Выражая отсюда $N$, получаем уравнение логистической кривой: \[ N = \frac{N_p N_0 e^{\alpha t}}{N_p + N_0 (e^{\alpha t} - 1)}. \]
Для построения модели хищник-жертва предполагаем:
- не учитывается пространственное распределение численности жертв $N$ и хищников $M$ — они зависят лишь от времени $t$;
- в отсутствии взаимодействия численности изменяются по модели Мальтуса: \[ \begin{aligned} \dv{N}{t} &= \phantom{-}\alpha N, \\ \dv{M}{t} &= -\beta M, \end{aligned} \] где $\alpha$ — рождаемость, а $\beta$ — смертность;
- естественная смертность хищников и жертв несущественна;
- эффект насыщения численности обоих популяций не учитывается;
- скорость роста численности жертв уменьшается пропорционально численности хищников, т.е. величине $c M$, а тем роста численности хищников увеличивается пропорционально численности жертв, т.е. $k N$.
Объединяя эти предположения, приходим к модели Лотки-Вольтерра: \[ \begin{aligned} \dv{N}{t} &= (\phantom{-} \alpha - c M) N, \\ \dv{M}{t} &= (- \beta + kN) M. \end{aligned} \] Определим его положение равновесия, приравняв правые части к нулю: \[ \begin{aligned} (\phantom{-} \alpha - c M) N &= 0, \\ (- \beta + kN) M &= 0. \end{aligned} \] Тогда положение равновесия представляет собой пару \[ \hat N = \frac{\beta}{k}, \qquad \hat M = \frac{\alpha}{c}. \]
Введём начальные условия: \[ N(0) = N_0, \qquad M(0) = M_0. \] Поделив первое уравнение системы на второе, получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: \[ \dv{N}{M} = \frac{(\alpha - c M) N}{(- \beta + k N) M}. \] Перепишем его в виде \[ \frac{-\beta + k N}{N} dN = \frac{\alpha - cM}{M} dM, \] тогда после интегрирования приходим к выражению \[ -\beta \ln N + k N = \alpha \ln M - c M + c_1, \] которое можно записать в виде \[ \alpha \ln M + \beta \ln N - c M - k N = \const. \] Занесём все множители и слагаемые под знак логарифма: \[ \ln M^\alpha + \ln N^\beta = c_1 + \ln e^{c M} + \ln e^{k N}. \] Потенцируя это уравнение, получим интеграл \[ N^\beta e^{-k N} = \hat c M^{-\alpha} e^{c M}. \]
Отсюда следует два факта:- если $N(0) = \hat N$ и $M(0) = \hat M$, то во все моменты времени численность не меняется;
- при малом отклонении от положения равновесия численности как хищника, так и жертвы с течением времени не возвращаются к равновесным значениям — имеем дело с колебаниями.
- количества оружия у противника;
- износа уже существующего вооружения;
- степени недоверия между противниками.
- $M_1(t), M_2(t) \geqslant 0$ — объёмы вооружений;
- $\alpha_1(t), \alpha_2(t) \gt 0$ — скорости наращивания;
- $\beta_1(t), \beta_2(t) \gt 0$ — скорости старения;
- $\gamma_1(t), \gamma_2(t) \gt 0$ — настороженность.
Анализ особенно прост в случае, когда коэффициенты не зависят от времени: \[ \tag{2} \begin{aligned} \dv{M_1}{t} &= \alpha_1 M_2 - \beta_1 M_1 + \gamma_1, \\ \dv{M_2}{t} &= \alpha_2 M_1 - \beta_2 M_2 + \gamma_2. \end{aligned} \] Уравнения имеют положение равновесия, которое находится из условий \[ \begin{aligned} \alpha_1 M_2 - \beta_1 M_1 + \gamma_1 &= 0, \\ \alpha_2 M_1 - \beta_2 M_2 + \gamma_2 &= 0. \end{aligned} \] Равновесные значения равны \[ \tag{3} M_1^0 = \frac{\alpha_1 \gamma_2 + \beta_2 \gamma_1}{\beta_1 \beta_2 - \alpha_1 \alpha_2}, \qquad M_2^0 = \frac{\alpha_2 \gamma_1 + \beta_1 \gamma_2}{\beta_1 \beta_2 - \alpha_1 \alpha_2}. \] Отсюда следует, что для существования равновесия при положительных $M_1, M_2$, должно выполняться неравенство \[ \tag{4} \beta_1 \beta_2 \gt \alpha_1 \alpha_2. \] Смысл этого неравенства в следующем. Пусть, например, параметры $\alpha_1, \beta_1$ и $\beta_2$ неизменны, а $\alpha_2$ увеличивается. Это значит, что первая страна не меняет свою стратегию в области вооружений, а вторая наращивает вооружения при неизменном темпе износа оружия $\beta_2$. Тогда при достаточно большой величине $\alpha_2$ равновесие станет заведомо невозможным, а неравенство (4) обязательно нарушится.
Заметим, что если оба параметра $\gamma_1, \gamma_2$ равны нулю, то положение равновесия отвечает отсутствию вооружений у обеих сторон.
Поделив первое уравнение системы на второе, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: \[ \dv{M_2}{M_1} = \frac{\alpha_2 M_1 - \beta_2 M_2 + \gamma_2}{\alpha_1 M_2 - \beta_1 M_1 + \gamma_1}. \] Отсюда следует, что \[ \begin{cases} \dv{M_2}{M_1} = 0, & M_2 = \frac{\alpha_2}{\beta_2} M_1 + \frac{\gamma_2}{\beta_2}, \\ \dv{M_2}{M_1} = \infty, & M_2 = \frac{\beta_1}{\alpha_1} M_1 - \frac{\gamma_1}{\alpha_1}. \end{cases} \] Изоклина бесконечности имеет больший наклон, чем изоклина нуля, так как из неравенства (4) следует, что \[ \frac{\beta_1}{\alpha_1} \gt \frac{\alpha_2}{\beta_2}. \]
Изучим теперь вопрос об устойчивости равновесия (3) при условии (4). В этом случае интегральные кривые уравнения (2) в плоскости $M_1, M_2$ имеют следующий вид.
Введём обозначения: \[ \begin{aligned} M_1 &= x + a, & dM_1 &= dx, \\ M_2 &= y + b, & dM_2 &= dy. \end{aligned} \] Тогда \[ \dv{y}{x} = \frac{\alpha_2 x + \alpha_2 a - \beta_2 y - \beta_2 b + \gamma_2}{\alpha_1 x + \alpha_1 a - \beta_1 y - \beta_1 b + \gamma_1}. \] Можно выбрать $a,b$ таким образом, чтобы переход к переменным $x,y$ приводил к однородным числителю и знаменателю линейной функции. Для этого решим следующую систему: \[ \begin{aligned} \alpha_2 a - \beta_2 b &= -\gamma_2, \\ -\beta_1 a + \alpha_1 b &= -\gamma_1, \end{aligned} \] откуда \[ \begin{aligned} a &= \frac{-\gamma_2 \alpha_1 - \gamma_1 \beta_2}{\alpha_1 \alpha_2 - \beta_1 \beta_2}, \\ b &= \frac{-\gamma_1 \alpha_2 - \gamma_2 \beta_1}{\alpha_1 \alpha_2 - \beta_1 \beta_2}. \end{aligned} \] Таким образом, получаем \[ \dv{y}{x} = \frac{\alpha_2 x - \beta_2 y}{-\beta_1 x + \alpha_1 y}. \] Введём следующее обозначение: \[ u = \frac{y}{x}. \] Тогда \[ y = u x, \qquad \dv{y}{x} = u + x \dv{u}{x}. \] В итоге получаем уравнение с разделяющимися переменными: \[ u + x \dv{u}{x} = \frac{\alpha_2 - \beta_2 u}{-\beta_1 + \alpha_1 u}. \] Решение данного уравнения можно найти, проинтегрировав уравнение \[ \frac{dx}{x} = \frac{du}{ \frac{\alpha_2 - \beta_2 u}{- \beta_1 + \alpha_1 u} - u }. \]
Для дальнейшего изучения модели введём следующие условия:
- страны находятся в равновесии, но темп наращивания вооружения в первом и втором уравнении изменится на небольшую величину $d\alpha_1 = d\alpha_2 = d\alpha$;
- объёмы вооружений также изменяются.
Рассмотрим факторы, влияющие на численность армии:
- потери, не связанные с боевыми действиями (болезни, дезертирство):
- потери в бою;
- подкрепление.
- $\alpha_1(t), \alpha_2(t)$ — небоевые потери в единицу времени;
- $\beta_1(t), \beta_2(t)$ — насколько хорошо воюет соперник;
- $\gamma_1(t), \gamma_2(t)$ — подкрепление в единицу времени.
Получаем следующую систему: \[ \begin{aligned} \dv{N_1}{t} &= -\alpha_1 N_1 - \beta_2 N_2, \\ \dv{N_2}{t} &= -\alpha_2 N_2 - \beta_1 N_1. \end{aligned} \] Таким образом, численности сторон могут лишь убывать. Положим также $\alpha_1 = \alpha_2 = 0$ — небоевые потери несущественны. В итоге система принимает следующий вид: \[ \begin{aligned} \dv{N_1}{t} &= - \beta_2 N_2, \\ \dv{N_2}{t} &= - \beta_1 N_1. \end{aligned} \]
Построим изоклины для этой системы, исследовав следующее уравнение с разделяющимися переменными: \[ \dv{N_1}{N_2} = \frac{\beta_2 N_2}{\beta_1 N_1}. \] Тогда \[ \beta_1 \frac{N_1^2}{2} - \beta_2 \frac{N_2^2}{2} = \tilde C. \] Отсюда следует, что \[ \beta_1 N_1^2 - \beta_2 N_2^2 = 2 \tilde C = C = \beta_1 N_1^2(0) - \beta_2 N_2^2(0). \]
Возможны два варианта приведения уравнения к каноническому виду: \[ \begin{cases} \phantom{-} \frac{N_1^2}{\left( \sqrt{\frac{C}{\beta_1}} \right)^2} - \frac{N_2^2}{\left( \sqrt{\frac{C}{\beta_2}} \right)^2} = 1, & C \gt 0, \\ -\frac{N_1^2}{\left( \sqrt{\frac{-C}{\beta_1}} \right)^2} + \frac{N_2^2}{\left( \sqrt{\frac{-C}{\beta_2}} \right)^2} = 1, & C \lt 0. \end{cases} \] В обоих случаях уравнение имеет гиперболический тип. Таким образом, при $\beta_1 N_1^2(0) \gt \beta_2 N_2^2(0)$ побеждает первая армия, при $\beta_1 N_1^2(0) \lt \beta_2 N_2^2(0)$ побеждает вторая армия. Если же $C = 0$, то армии одновременно уничтожат друг друга.
Коэффициент $\beta$ (теническое развитие и навыки армии) и $N$ (численность армии) вносят различный вклад — квадратичный закон боевых действий.
Рассмотрим теперь противостояние регулярной армии и партизанским ополчением. Считается, что нерегулярные соединения менее уязвимы в сравнении с армейскими, так как действуют скрытно. Поэтому считается, что темп потерь партизан, проводящих свои операции в разных местах на некоторой известной территории, пропорционален не только численности армейских соединений $N_1(t)$, но и численности самих партизан $N_2(t)$. В результате модель становится нелинейной: \[ \tag{2} \begin{aligned} \dv{N_1}{t} &= - \alpha_1(t) N_1 - \beta_2(t) N_2 + \gamma_1(t), \\ \dv{N_2}{t} &= - \alpha_2(t) N_2 - \beta_1(t) N_1 N_2 + \gamma_2(t). \end{aligned} \]
Положим как и ранее $\alpha_1 = \alpha_2 = \gamma_1 = \gamma_2 = 0$ и $\beta_1, \beta_2 = \const$. Тогда \[ \begin{aligned} \dv{N_1}{t} &= - \beta_2 N_2, \\ \dv{N_2}{t} &= - \beta_1 N_1 N_2. \end{aligned} \] Также расмотрим уравнение с разделяющимися переменными: \[ \dv{N_1}{N_2} = \frac{\beta_2}{\beta_1 N_1}. \] Отсюда следует, что \[ \beta_1 \frac{N_1^2}{2} - \beta_2 N_2 = C. \] Так как \[ C = \beta_1 \frac{N_1^2(0)}{2} - \beta_2 N_2(0), \] то можно полученное уравнение записать так: \[ N_2(t) + \frac{C}{\beta_2} = \frac{\beta_1}{2 \beta_2} N_1^2(t). \] Уравнение имеет параболический тип. Если $C \lt 0$, то побеждают партизаны, если же $C \gt 0$, то побеждают армейские соединения.
Получаем параболический закон боевых действий.
- считается, что величина $dN / dt$ — скорость изменения числа потребителей, узнавших о товаре и готовых купить его — пропорциональна числу покупателей, ещё не знающих о нём, то есть величине $\alpha_1(t) (N_0 - N(t))$, где $N_0$ — общее число потенциальных платежеспособных покупателей, а $\alpha_1(t) \gt 0$ характеризует интенсивность рекламной кампании;
- узнавшие о товаре потребители тем или иным образом распространяют полученную информацию среди неосведомлённых; их вклад равен $\alpha_2(t) N(t) (N_0 - N(t))$. Величина $\alpha_2(t) \gt 0$ характеризует степень общения покупателей между собой.
При $\alpha_1(t) \gg \alpha_2 N(t)$ получается модель типа модели Мальтуса, при противоположном неравенстве — уравнение логистической кривой.
Модель лишена недостатка, который имеет логистическая кривая. Последняя не имеет решений, обращающихся в нуль в конечный момент времени. Применительно к рекламе это означало бы, что часть покупателей ещё до начала кампании знает о новом товаре. Если же рассмотреть данную модель в окрестности точки $N(0) = 0$, считая, что $N \ll N_0$ и $\alpha_2(t) N \ll \alpha_1(t)$, то уравнение принимает вид \[ \dv{N}{t} = \alpha_1(t) N_0 \] и имеет решение \[ N(t) = N_0 \int\limits_{0}^{t} \alpha_1(t) dt, \] удовлетворяющее естественному начальному условию при $t = 0$.
Отсюда легко вывести соотношение между рекламными издержками и прибылью в самом начале кампании. Обозначим через $p$ величину прибыли от единичной продажи, какой бы она была без затрат на рекламу. Считаем для простоты, что каждый покупатель приобретает лишь одну единицу товара. Коэффициент $\alpha_1(t)$ по своему смыслу — число равнозначных рекламных действий в единицу времени. Через $s$ обозначим стоимость элементарного акта рекламы, тогда суммарная прибыль есть \[ P = p N(t) = p N_0 \int\limits_{0}^{t} \alpha_1(t) dt, \] а произведённые затраты \[ S = s \int\limits_{0}^{t} \alpha_1(t) dt. \] Прибыль превосходит издержки при условии $p N_0 \gt s$. При не слишком эффективной или дорогой рекламе фирма на первых шагах несёт убытки, но это, вообще говоря, не может служить основанием для прекращения рекламы. Выражение для прибыли и условие прибыльности справедливы лишь при малых значениях $N(t)$.
Рассмотрим частный случай уравнения, когда $\alpha_1, \alpha_2 = \const$. Тогда заменой \[ \bar N = \frac{\alpha_1}{\alpha_2} + N \] оно сводится к логистическому уравнению \[ \dv{\bar N}{t} = \alpha_2 \bar N (\bar N_0 - \bar N), \qquad \bar N_0 = \frac{\alpha_1}{\alpha_2} + N_0, \] имеющему решение \[ \bar N(t) = \bar N_0 \left[ 1 + \paren{ \frac{\alpha_2}{\alpha_1} \bar N_0 - 1 } e^{- \bar N_0 \alpha_2 t} \right]^{-1}. \] При этом $\bar N(0) = \alpha_1 / \alpha_2$, так что $N(0) = 0$, и начальное условие выполняется.
Из логистического уравнения видно, что производная функции $\bar N$ (а, следовательно, и $N$) может при $t \gt 0$ быть больше её начального значения (при условии $\bar N_0 \gt 2 \alpha_1 / \alpha_2$ или $N_0 \gt \alpha_1 / \alpha_2$).
Максимум производной достигается при $\bar N = \bar N_0 / 2$, тогда \[ \paren{ \dv{\bar N}{t} }_m = \paren{ \dv{N}{t} }_m = \alpha_2 \frac{\bar N_0^2}{4} = \alpha_2 \frac{(\alpha_1 / \alpha_2 + N_0)^2}{4}. \] В этот период для текущей прибыли имеем \[ P_m = p \dv{N}{t} = p \alpha_2 \frac{(\alpha_1 / \alpha_2 + N_0)^2}{4}. \] Вычитая из $P_m$ начальную прибыль $P_0 = \alpha_1 N_0$, получаем \[ P_m - P_0 = p \frac{(\alpha_1 / \sqrt{\alpha_2} - \sqrt{\alpha_2} N_0)^2}{4}, \] то есть разница может быть весьма значительной.
Суммарный эффект от кампании, необходимым условием которого является выполнение неравенства \[ P_m = p \frac{(\alpha_1 / \sqrt{\alpha_2} + \sqrt{\alpha_2} N_0)^2}{4} \gt \alpha_1 s, \] определяется всем её ходом.
Из логистического уравнения следует, что с какого-то момента продолжать рекламу становится невыгодно. Действительно, при $\bar N(t)$, близких к $\bar N_0$, логистическое уравнкение записывается в виде \[ \dv{\bar N}{t} \alpha_2 \bar N_0 (\bar N_0 - \bar N) \] (внимание: множитель поменялся с $\bar N$ на $\bar N_0$). Его решение стремится при $t \to \infty$ к предельному значению $\bar N_0$ по медленному экспоненциальному закону. В единицу времени появляется ничтожно малое число новых покупателей, и поступающая прибыть при любых условиях не может покрыть издержек.
Наиболее простые математические модели экономического равновесия строятся при следующих предположениях:
- совершенная рыночная конкуренция, означающая отсутствие как крупных производственных корпораций, так и объединений работников, могущих диктовать свои условия для всей системы;
- неизменность производственных возможностей системы: оборудование, производственные помещения, технологии не изменяются со временем;
- неизменные во времени экономические интересы партнёров: предприниматели не пытаются увеличить свою прибыль, рабочие — свою зарплату, инвесторов устраивают проценты и т.д.
Одна из таких макромоделей — модель Кейнса — рассматривает в качестве агентов нанимателей и нанимаемых, потребителей и сберегателей, производителей и инвесторов, действующих на рынках рабочей силы, продуктов и денег, то есть распределяющих и обменивающих эти товары (труд, продукты, деньги) между собой.
Первый макропоказатель экономики — национальный доход $Y$, являющийся единственным продуктом, производимым в единицу времени. Этот продукт вырабатывается производственным сектором экономики, а его величина даётся функцией $F$, зависящей от количества и качества ресурсов, состава основных фондов и числа занятых работников $R$ (второй макроэкономический показатель).
В соответствии с предположением 2 в состоянии равновесия производственная функция $F$, а с нею и продукт $Y$ определяются лишь занятостью, то есть \[ Y = F(R). \] Обычно считают, что \[ F(0) = 0, \qquad F'(R) \gt 0, \; R \gt 0, \qquad F''(R) \lt 0, \; R \gt 0. \] Она обладает свойством насыщения — с ростом $R$ выпуск растёт всё медленнее. Это оправдано тем, что с какого-то момента просто не найдётся фронт работ.
- заработная плата $s$ работника равна стоимости продукта, которая была бы потеряна при уменьшении занятости на одну единицу.
Если занятость изменилась на $\Delta R$, то из последнего равенства следует, что \[ \Delta Y p = s \Delta R, \] где $\Delta Y = \Delta Y^{(1)} \Delta R$. Считая $\Delta R$ и $\Delta Y$ малыми в сравнении с $R$ и $Y$, перепишем последнее равенство в дифференциальной форме: \[ \dv{Y}{R} = \frac{s}{p}, \] или, учитывая, что $Y = F(R)$, \[ F'(R) = \frac{s}{p}. \]
Предполагается, что для обеспечения равновесного уровня занятости всегда найдётся достаточное количество желающих работать на существующих условиях, то есть
- предложение труда не сдерживает производства, число занятых определяется спросом на труд со стороны предпринимателей.
- Заработная плата $s$ в модели считается заданной.
Произведённый продукт частично тратится на потребление, а частично сберегается: \[ Y = S + \omega, \] где $\omega$ — потребляемая часть, а $S$ — сберегаемая часть.
- Потребляемая часть выпуска зависит от величины самого выпуска, то есть $\omega = \omega(Y)$.
Фондообразующий продукт \[ S = Y - \omega(Y) \] вкладывается в экономику с целью в будущем получить инвестиционный доход. Инвестиции определяются ещё одним макропоказателем — нормой банковского процента $r$. Сделав инвестиции в размере $A$ и получив через год доход $D = A r$, инвестор ничего не теряет (но и не выигрывает) по сравнению с вложением этих средств в банк под процент $r$.
Спрос на инвестиции задаётся функцией $A(r)$ такой, что
- $A'(r) \lt 0$ при $0 \lt r \lt r_1$;
- $A(r) = 0$ при $r \geqslant r_1$;
В условиях равновесия предложение фондообразующего продукта $S(Y)$ сбалансировано спросом на инвестиции $A(r)$: \[ S(Y) = A(r), \implies Y - \omega(Y) = A(r). \]
Рассмотрим рынок финансов. Считается, что деньги выпускает государство, и их количество (предложение) $Z$ является заданным управляющим параметром системы.
- Спрос на деньги представляет собой сумму операционного и спекулятивного спроса.
Таким образом, спекулятивный спрос задаётся функцией $I(r)$ такой, что $I'(r) \lt 0$ при $r \gt r_2$, а $I(r)$ резко возрастает при $r \to r_2$.
Так как финансовый рынок находится в равновесии, то баланс денег в системе даётся уравнением \[ Z = \tau p Y + I(r). \]
Объединяя уравнения, приходим к математической модели рыночного равновесия, полученной в предположениях 1-8: \[ \tag{1} \begin{gathered} Y = F(R), \\ F'(R) = \frac{s}{p}, \\ Y - \omega(Y) = A(r), \\ Z = \tau p Y + I(r). \end{gathered} \] В модели задаются параметры $s, Z$ и $\tau$. Функции $F, F', \omega, A, I$ — известные функции своих аргументов с описанными выше свойствами. По этим входным данным из модели определяются 4 величины: $Y, R, p, r$.
Исключая величины $p, r, Y$, эти уравнения легко свести к одному уравнению относительно занятости: \[ \tag{2} - \frac{\tau s F(R)}{F'(R)} + Z = I \left[ A^{-1}(F(R) - \omega(F(R))) \right], \] где $A^{-1}$ — функция, обратная к $A$.
Докажем существование решения уравнения (2), основываясь на анализе графиков функций в левой и правой частях.
Функция $F(R) - \omega(F(R))$ — монотонно растущая функция $R$, равная нулю при $R = 0$. Её монотонность следует из условия \[ \dv{\omega(F(R))}{F(R)} = c \lt 1, \] а рост по мере увеличения $R$ — из условия \[ \dv{F(R)}{R} \gt 0. \]
Данная функция является аргументом монотонной функции $A^{-1}$, и из свойств функции $A$ легко установить качественный вид зависимости $A^{-1}$ от $R$, причём $A^{-1} \equiv 0$ при $R \gt R_1$, где $0 \lt R_1 \lt \infty$ — некоторое значение величины $R$.
В свою очередь $A^{-1}$ служит аргументом монотонной функции $I$, свойства которой таковы, что как функция $R$ она имеет следующий вид.
Рассмотрим теперь левую часть уравнения (2). Функция \[ \frac{- \tau s F(R)}{F'(R)} \] равна нулю при $R = 0$ (считается, что $F'(R) \neq 0$). Её первая производная по $R$, как следует из свойств функций $F'$ и $F''$, отрицательна, то есть она монотонно убывает.
Совмещая графики левой (кривая 2) и правой (кривая 1) частей уравнения (2), убеждаемся в том, что при достаточно большом значении управляющего параметра $Z$ кривые пересекаются в некоторой точке $0 \lt R_0 \lt \infty$.
В силу монотонности графиков пересечение единственно.
Допустим, что значения равновесных параметров $s_0$ и $Z_0$ изменились на малые величины $\delta s_0$ и $\delta Z_0$ при переходе из одного равеновесного состояния в другое (считаем параметр $\tau$ неизменным). Тогда изменятся все остальные характеристики системы. Их можно найти из (1), имея в виду, что оба сравниваемых состояния равновесны.
Например, из второго уравнения (1), используя разложение в ряд Тейлора, получаем \[ \frac{s_0}{p_0} \frac{\delta p}{p} = \frac{\delta s}{p_0} - F''(R_0) \delta R. \] Проведя аналогичную процедуру с остальными уравнениями (1) и сводя результаты воедино, получаем \[ \frac{\delta p}{p_0} = a_1 (\delta A + \delta \omega) + a_2 (\delta Z - \delta I) + a_1 \delta s - a_4 \delta Y. \] В этом выражении присутствуют все характеристики изучаемой системы (коэффициенты $a_i \lt 0$ определяются равновесными значениями величин $s_0, p_0, Y_0, r_0$, функций $R, \omega, A, I$ и их производных).
Пусть, например, при неизменном числе занятых ($\delta R = 0, \delta Y = 0$), уровне зарплаты ($\delta s = 0$) и уровне потребления ($\omega = 0$) требуется понизить цену $\delta p \lt 0$, то есть увеличить реальную заработную плату рабочих. Тогда необходимо стремиться уменьшить инвестиции ($\delta A \lt 0$), снизить общий объём денег ($\delta Z \lt 0$) и увеличить спекулятивный спрос на них ($\delta I \gt 0$). Заметим, что требования, вообще говоря, могут быть противоречивыми.
В растущей экономике число работающих непостоянно — $R = R(t)$. В простейшей модели считается, что \[ \dv{R}{t} = \alpha R(t). \] Поэтому $R(t) = R_0 e^{\alpha t}$ — заранее известная функция времени.
Работники производят национальный доход $Y(t)$, который частично идёт на потребление и частично на накопление: \[ Y(t) = \omega + A. \] Накопленная часть продукта $A$ возвращается в экономику с тем, чтобы скомпенсировать выбывающие из строя производственные мощности, а также для создания новых мощностей.
Реальный выпуск продукта зависит от числа работающих и задаётся производственной функцией вида \[ Y(t) = M(t) \cdot f(x(t)). \] В этой формуле величина $x(t) = \dfrac{R(t)}{M(t)}$ по своему смыслу — количество работающих на единице мощности.
Относительно функции $f(x)$ делаются следующие предположения:
- $f(0) = 0$;
- $f' \gt 0$ (выпуск растёт с увеличением числа занятых);
- $f'' \lt 0$ (насыщение).
Функция $f(x)$ определена для значений $x$ на отрезке $0 \leqslant x \leqslant x_M$, где $x_M = \dfrac{R_M}{M}$, а $R_M(t)$ — число рабочих мест в хозяйстве при мощности $M(t)$. Если все места заполнены, то выпуск $Y(t)$ по определению равен $M(t)$, то есть для $f(x)$ должно выполняться условие $f(x_M) = 1$.
Одна из главных задач теории экономического роста — нахождение оптимальных в некотором смысле способов разделения произведённого продукта на потребляемую и накапливаемую части. В качестве критерия можно взять, например, душевое потребление: \[ c(t) = \omega(t) / R(t). \]
Сбережённый в единицу времени продукт $A(t)$ расходуется на создание новой мощности: \[ A(t) = aI(t), \] где $a \gt 0$ — заданное количество фондообразующего продукта, необходимое для создания единицы новой мощности, а $I(t)$ — число единиц новой мощности.
Темп выбытия существующей мощности предполагается пропорциональным величине самой мощности, то есть величине $\beta M(t)$, где $\beta \gt 0$ — постоянная.
В итоге для изменения функции $M(t)$ получаем балансное соотношение: \[ \dv{M}{t} = I(t) - \beta M(t). \]
Уравнения \[ \begin{gathered} Y(t) = \omega + A, \\ Y(t) = M(t) f(x(t)), \\ \dv{M}{t} = I(t) - \beta M(t) \end{gathered} \] содержат 4 неизвестных — $Y(t), \omega(t), M(t), I(t)$. Для замыканиия модели предположим, что скорость введения новой мощности пропорциональна величине существующей мощности: $I(t) = \gamma M(t)$, где $\gamma \gt 0$ — постоянная (понятно, что $\gamma \gt \beta$).
Тогда из дифференциального уравнения можно найти мощность \[ M(t) = M_0 e^{(\gamma - \beta) t}, \] а вместе с этим определяются и все остальные неизвестные величины.
Рассмотрим простой случай экономического роста, когда мощность увеличивается со временем в том же темпе, что и число рабочих. Для этого необходимо выполнение равенства \[ \gamma - \beta = \alpha. \] Оно также означает, что с тем же темпом растут функции $Y(t), \omega(t), I(t)$.
Найдём число работающих и соотношение между потреблением и накоплением, при которых душевое потребление работников максимально. По определению \[ c(t) = \frac{\omega(t)}{R(t)} = \frac{Y(t) - A(t)}{R(t)}. \] Учитывая, что $Y(t) = M(t) f(x)$ и $A(t) = a \gamma M(t)$, получаем \[ c(t) = c = \frac{f(x) - a(\alpha + \beta)}{x}, \] то есть душевое потребление со временем не изменяется.
Его максимум достигается при условии \[ \dv{c}{x} = \dv{}{x} \left[ \frac{f(x) - a(\alpha + \beta)}{x} \right] = 0, \] откуда находим уравнение для искомой величины $x_m$: \[ x_m f'(x_m) - f(x_m) + a(\alpha + \beta) = 0. \] Это уравнение всегда имеет единственное решение $0 \lt x_m \leqslant x_M$.
Помимо всех сделанных предположений, для реализации рассматриваемого режима экономического роста необходимо согласование численности работающих $R_0$ с мощностью $M_0$ в начальный момент времени так, чтобы \[ \frac{R_0}{M_0} = x_m. \]
Норма накопления, обеспечивающая максимальное значение $c_m$, \[ n_m = \frac{A_m}{Y_m}, \] находится из равенств $Y_m = M_m f(x_m)$ и $A_m = a \gamma M_m$. Тогда \[ n_m = 1 - x_m \frac{f'(x_m)}{f(x_m)}; \] она называется нормой золотого правила роста Солоу.
Если условие \[ \gamma - \beta = \alpha \] не выполняется, то режимы роста экономики становятся более сложными.
По закону сохранения массы имеем \[ S_1 v_1 \Delta t = S_2 v_2 \Delta t = V. \] Изменение энергии рассматриваемого участка (1-2) за время $\Delta t$ равно \[ E_{1' 2'} - E_{12} = \cancel{E_{1' 2}} - E_{2 2'} - E_{1 1'} - \cancel{E_{1' 2}} = E_{2 2'} - E_{1 1'}. \] Так как изменение энергии системы равно работе внешних сил за тот же промежуток времени, то \[ \begin{aligned} \rho V g h_2 + \frac{\rho V v_2^2}{2} - \left( \rho V g h_1 + \frac{\rho V v_1^2}{2} \right) &= \underbrace{v_1 \Delta t S_1}_{V} p_1 - \underbrace{v_2 \Delta t S_2}_{V} p_2. \end{aligned} \] Сокращая на $V$, получаем \[ \frac{\rho v_1^2}{2} + \rho g h_1 + p_1 = \frac{\rho v_2^2}{2} + \rho g h_2 + p_2, \] поэтому \[ \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h + p = \const. \] Этот факт называют законом Бернулли.
Можно заметить, что из $S_1 v_1 = S_2 v_2$ следует, что \[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}. \] Кроме того, выполняется $v_2 \gt v_1$, так как $r_1 \gt r_2$.
Положив $h_1 = h_2$, получим \[ p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}. \] Так как \[ p_1 - p_2 = \frac{\rho}{2} (v_2^2 - v_1^2) = \frac{\rho}{2} v_1^2 \left[ \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4 - 1 \right], \] то $p_1 \gt p_2$.
- $y$ — уровень поверхности жидкости;
- $p_0$ — внешнее атмосферное давление.
Пусть сечение отверстия равно $C$. Тогда сечение струи на выходе будет равно $a C$, где $a = \const$, так как струя не может моментально поменять направление. Таким образом, сечение струи на выходе будет меньше сечения отверстия.
Рассмотрим процесс истечения за короткий промежуток времени $\Delta t$, получим \[ \begin{aligned} - S(y) \Delta y &= a C \sqrt{2 g y} \Delta t, \\ - S(y) \dv{y}{t} &= a C \sqrt{2gy}, \\ \int\limits_{h}^{y} \frac{- S(y)}{\sqrt{y}} dy &= \int\limits_{0}^{t} a C \sqrt{2g} dt, \end{aligned} \] где $h$ — начальный уровень жидкости, а $t$ — момент времени, когда уровень жидкости равен $y(t)$.
Приняв за ёмкость усечённый конус с углом $\alpha$, получим: \[ \int\limits_{h}^{y} \frac{-\pi y^2 {\tg}^2 \alpha}{\sqrt{y}} dy = \sqrt{2g} a C t, \] откуда \[ t = \frac{2 \pi {\tg}^2 \alpha (h^{5/2} - y^{5/2})}{5 \sqrt{2g} a C}. \] Полное опустошение ёмкости происходит за \[ t = \frac{2 \pi {\tg}^2 \alpha h^{5/2}}{5 \sqrt{2g} a C}. \] Средняя скорость истечения равна \[ \frac{ \frac{\pi h^3 {\tg}^2 \alpha}{3 a C} }{ \frac{2 \pi {\tg}^2 \alpha h^{5/2}}{5 \sqrt{2g} a C} } = \frac{5}{6} \sqrt{2 g h}. \] Данная скорость близка к максимальной скорости $\sqrt{2gh}$, поэтому большая часть жидкости вытекает, когда конус почти полон.
В случае цилиндра $S(y) = \pi r^2 = \const$, поэтому \[ - \int\limits_{h}^{y} \frac{\pi r^2}{\sqrt{y}} dy = \sqrt{2g} a C t, \] откуда \[ t = \frac{2 \pi r^2 (\sqrt{h} - \sqrt{y})}{\sqrt{2g} a C}. \] Время полного осушения: \[ t = \frac{2 \pi r^2 \sqrt{h}}{\sqrt{2g} a C}. \]
- $A$ — отверстие для стока;
- $B$ — отверстие для воздуха.
- $S(y)$ — площадь поверхности молока на уровне $y$;
- время полного опустошения пакета.
Для наклонного конуса с эллиптическим основанием имеем \[ \begin{aligned} S_0 &= \pi a b = \pi (h_1 \tg \gamma + h_1 \tg(\pi / 2 - \gamma)) (h_1 \tg \beta + h_1 \tg(\pi / 2 - \beta)), \\ S(y) &= \pi (y \tg \gamma + y \tg(\pi / 2 - \gamma)) (y \tg \beta + y \tg(\pi / 2 - \beta)). \end{aligned} \]
Рассмотрим структуру пакета подробнее.
Процесс истечения описывается уравнением \[ \int\limits_{h}^{y} \frac{- S(y)}{\sqrt{y}} dy = \int\limits_{0}^{t} a C \sqrt{2g} dt, \] поэтому \[ \sqrt{2g} a C t = \int\limits_{0}^{h_1} \frac{S_0}{\sqrt{y}} \paren{ \frac{y}{h_1} }^2 dy + \int\limits_{h_1}^{h} \frac{S_0}{\sqrt{y}} dy. \] После интегрирования получаем: \[ \sqrt{2g} a C t = \frac{S_0}{h_1^2} \frac{2}{5} h_1^{5/2} + 2 S_0 \left(h^{1/2} - h_1^{1/2}\right). \] Отсюда можно найти время истечения: \[ t = \frac{2 S_0 \paren{ - \frac{4}{5} h_1^{1/2} + h^{1/2} }}{\sqrt{2g} a C} = \frac{2 S_0 h \left[ 1 - \frac{4}{5} \paren{ \frac{h_1}{h} }^{1/2} \right]}{\sqrt{2gh} a C}. \]
Пусть имеется исходный объём молока $V_0$. Тогда \[ V_0 = \frac{1}{3} S_0 h_1 + S_0 (h - h_1), \] поэтому \[ S_0 = \frac{V_0}{-\frac{2}{3} h_1 + h}. \] Учитывая, что \[ \sin \alpha = \frac{h_1}{b}, \qquad \cos \alpha = \frac{h}{d}, \] получаем, что \[ \begin{aligned} h &= d \cos \alpha, \\ h_1 &= b \sin \alpha, \end{aligned} \implies \frac{h_1}{h} = \frac{b}{d} \tg \alpha. \] Подставляя всё в уравнение для времени, окончательно получаем \[ \begin{aligned} t &= \frac {2 h \left[ 1 - \frac{4}{5} \paren{ \frac{h_1}{h} }^{1/2} \frac{V_0}{h - \frac{2}{3} h_1} \right]} {\sqrt{2gh} a C} = \\ &= \frac{2 V_0}{\sqrt{2 g h} a C} \frac{1 - \frac{4}{5} \paren{ \frac{h_1}{h} }^{1/2}} {1 - \frac{2}{3} \paren{ \frac{h_1}{h} }} = \\ &= \frac{2 V_0}{\sqrt{2 g d \cos \alpha} \cdot a C} \frac{1 - \frac{4}{5} \paren{ \frac{b}{c} \tg \alpha }^{1/2}} {1 - \frac{2}{3} \paren{ \frac{b}{c} \tg \alpha }}. \end{aligned} \]
Таким образом, при изменении угла от начального $\alpha$ до $\arctg \dfrac{d}{b}$ мы пытаемся достичь наиболее оптимального наклона, но так, чтобы молоко не вылилось. После исчезновения цилиндрической части мы продолжим поворачивать пакет так, чтобы $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.
Если $S_0$ — поверхность жидкости в самом начале истечения, то $S(y)$ — почти эллипс, одну из осей которого можно считать постоянной. Пусть первая ось равна $k$, а вторая ось равна $\dfrac{b}{\cos \theta} = b \sec \theta$. Тогда \[ S(y) = \pi k b \sec \theta = \pi \hat b \cos \alpha k \sec \theta = \pi k \hat b \cos \alpha \sec \theta = S_0 \cos \alpha \sec \theta. \]
Итак, рассмотрим 3 стадии:-
На этой стадии справедливы равенства:
\[
\begin{aligned}
V &= S (y - b \sin \theta) + \frac{1}{3} S b \sin \theta = \\
&= S \left( y - \frac{2}{3} b \sin \theta \right), \\
y &= d \cos \theta, \\
\dv{V}{t} &= - \sqrt{2 g y} a C.
\end{aligned}
\]
Уровень жидкости выше точки $C$, переменными являются $V, y$ и $\theta$. Имеем: \[ \begin{aligned} V &= S_0 \cos \alpha \sec \theta \paren{ d \cos \theta - \frac{2}{3} b \sin \theta } = \\ &= S_0 \cos \alpha \paren{ d - \frac{2}{3} b \tg \theta }, \\ \dv{V}{t} &= S_0 \cos \alpha \paren{ - \frac{2}{3} b \sec^2 \theta } \dv{\theta}{t}. \end{aligned} \] Таким образом, получаем \[ \begin{aligned} \frac{2}{3} S_0 b \cos \alpha \sec^2 \theta \dv{\theta}{t} &= \sqrt{2gd} \cos^{1/2} \theta a C, \\ \sec^{5/2} \theta d\theta &= \frac{3}{2} \sqrt{2gd} \frac{a C}{S_0 b \cos \alpha} dt. \end{aligned} \] Введём замену координат: \[ \tau = \tg \theta \implies d\theta = \frac{d\tau}{1 + \tau^2}, \] тогда, пользуясь тем, что \[ \sec^{5/2} = \paren{ \sec^2 \theta }^{5/4} = \paren{ 1 + {\tg}^2 \theta }^{5/4}, \] получаем \[ \frac{3 a C \sqrt{2 g d}}{2 S_0 b \cos \alpha} t_1 = \int\limits_{\tg \alpha}^{d/b} \paren{1 + \tau^2}^{1/4} d\tau. \]
-
В начальный момент имеем $\tg \theta = \dfrac{d}{b}$, поэтому
\[
S_1
= S_0 \cos \alpha \sec \paren{ \arctg \frac{d}{b} }
= S_0 \cos \alpha \paren{ 1 + \paren{ \frac{d}{b} }^2 }^{1/2}.
\]
Далее, \[ S = S_1 \left[ \sin \paren{ \arctg \frac{d}{b} } \cosec \theta \right]^2 = S_1 \cosec^2 \theta \frac{d^2}{b^2 + d^2}. \] Тогда \[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} S(y) = \\ &= \frac{1}{3} S_1 \frac{d^2}{b^2 + d^2} \cosec^2 \theta \cos \theta, \\ - \dv{V}{t} &= \sqrt{2gy} a C = \\ &= \sqrt{2 g d} a C (\cos \theta)^{1/2}, \end{aligned} \] но из первого уравнения следует, что \[ \begin{aligned} \dv{V}{t} &= \frac{1}{3} S_1 \frac{d^3}{b^2 + d^2} \frac{d}{\theta} \paren{ \cosec^2 \theta \cos \theta } \dv{\theta}{t} = \\ &= \frac{1}{3} S_1 \frac{d^3}{b^2 + d^2} \paren{ - \cosec \theta (1 - 2 {\ctg}^2 \theta) } \dv{\theta}{t}, \end{aligned} \] поэтому \[ \frac{\cosec \theta (1 - 2 {\ctg}^2 \theta)}{\cos^{1/2} \theta} d\theta = \frac{3 \sqrt{2 g d} a C}{S_1 d^3} (b^2 + d^2) dt. \] Пользуясь той же заменой, получаем \[ \begin{aligned} \frac{3 a C \sqrt{2 g d} (b^2 + d^2)^{1/2} b}{S_0 \cos \alpha d^3} t_2 &= \int\limits_{\argtg d/b}^{\pi / 4} \frac{\sin^2 \theta - 2 \cos^2 \theta}{\sin^3 \theta \cos^{1/2} \theta} d\theta = \\ &= \int\limits_{\argtg d/b}^{\pi / 4} \frac{{\tg}^2 \theta - 2}{({\tg}^3 \theta \cos^{1/2} \theta) \cos \theta} d\theta = \\ &= \int\limits_{a/b}^{1} \frac{\tau^2 - 2}{\tau^3 (1 + \tau^2)} (1 + \tau^2)^{3/4} d\tau. \end{aligned} \]
-
На данной стадии $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.
Поэтому \[ \begin{aligned} y_2 &= d \cos \frac{\pi}{4} = d \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ S_2 &= S_1 \frac{d^2}{b^2 + d^2} \cosec^2 \frac{\pi}{4} = \\ &= 2 S_0 \cos \alpha \frac{d^2}{b (b^2 + d^2)^{1/2}}, \end{aligned} \] поэтому \[ t_3 = \frac{2 y_2 S_2}{5 \sqrt{2 g y_2} a C}. \]
В условиях ЛТР в областях вещества, размеры превосходят величину $\lambda$ (но много меньше величины $L$), устанавливается равновесие, и для них можно ввести средние величины плотности, скорости теплового движения частиц и так далее. Также можно ввести температуру $T$, определяющую среднюю кинетическую энергию частиц: \[ \frac{m v^2}{2} = \frac{3}{2} k T, \] где $m$ — масса частицы, $v$ — средняя скорость хаотического движения, $k$ — постоянная Больцмана (в случае больцмановского газа).
Внутренняя энергия, связанная с хаотическим движением частиц, определяется через температуру с помощью удельной теплоёмкости $c(\rho, T)$: \[ c(\rho, T) = \pd{\varepsilon(\rho, T)}{T}, \qquad c(\rho, T) \gt 0, \] где $\rho = m n$ — плотность вещества ($n$ — число частиц в единице объёма), а $\varepsilon(\rho, T)$ — внутренняя энергия единицы массы.
Если в некотором объёме идеального газа содержится $N$ частиц, то их полная внутренняя энергия есть \[ E = N \frac{m v^2}{2} = \frac{3}{2} N k T = \frac{3}{2} M \frac{k}{m} T, \] где $M = N m$ — суммарная масса частиц, а удельная внутренняя энергия даётся формулой \[ \varepsilon = \frac{E}{M} = \frac{3}{2} \frac{k}{m} T, \] то есть теплоёмкость идеального газа равна \[ c = \frac{3k}{2m} \] и не зависит от величин $\rho, T$.
Выделим в среде точку с координатами $x,y,z$ и вычислим компоненты потока тепла $W$ по соответствующим осям. Разместим её перпендикулярно оси $x$.
Частицы, движущиеся вдоль оси $x$, пересекают её справа налево или слева направо с равной вероятностью. Однако если температуры частиц разные по правую и левую стороны площадки, то в единицу времени через неё справа и слева переносятся разные энергии. Разность этих энергий и формирует поток тепла вдоль оси $x$.
Выделим области, отстоящие на расстояние $\lambda = v \tau$ от площадки. Из частиц, находящихся в правой области, примерно 1/6 часть движется налево, так как все шесть направлений равновероятны. За время $\tau$ эта часть частиц с необходимостью пересечёт площадку и перенесёт энергию, равную \[ \frac{1}{6} n \lambda \frac{m v_r^2}{2}, \] где $v_r$ — скорость частиц в правой области, а величины $n$ и $\lambda$ считаются в первом приближении равными по обе стороны площадки. Аналогично частицы из левой области переносят энергию \[ \frac{1}{6} n \lambda \frac{m v_l^2}{2}. \] Разность этих энергий, отнесённая к единице времени, представляет собой величину \[ W_x = \frac{1}{6} n v \paren{ \frac{m v_l^2}{2} - \frac{m v_r^2}{2} } = \frac{mnv}{6} \paren{ \varepsilon_l - \varepsilon_r }, \] где $\varepsilon_l, \varepsilon_r$ — внутренняя энергия вещества соответственно слева и справа от площадки, а в качестве $v$ берётся средняя между $v_l$ и $v_r$.
В первом приближении величины $\varepsilon_l,\varepsilon_r$ можно выразить через величину $\varepsilon$ (энергию в точке $x$, то есть на площадке) следующим образом: \[ \begin{aligned} \varepsilon_r &= \varepsilon + \lambda \pd{\varepsilon}{x} = \varepsilon + \lambda c \pd{T}{x}, \\ \varepsilon_l &= \varepsilon - \lambda \pd{\varepsilon}{x} = \varepsilon - \lambda c \pd{T}{x}. \end{aligned} \] Подставляя эти формулы в выражение для $W_x$, получаем \[ W_x = - \kappa \pd{T}{x}, \qquad \kappa = \frac{\rho c \lambda v}{3}. \]
- расстояние между амёбами мало в сравнении с размерами их скоплений, их можно рассматривать как сплошную среду и вводить концентрацию $N(x,y,z)$ — число амёб в единице объёма;
- процесс одномерный, то есть концентрация амёб и другие величины являются функциями только координаты $x$ и времени $t$;
- амёбы не рождаются и не умирают в процессе макроскопического движения, т.е. характерное время движения (несколько часов) мало по отношению к характерным временам размножения и жизни амёб;
- индивидуальное движение амёб при отсутствии стимулирующих внешних воздействий (пища, тепло и т.д.) беспорядочно, хаотично; каждая амёба может с равной вероятностью двигаться как вправо, так и влево;
- если в среде есть притягивающее химическое вещество, то к собственному неупорядоченному движению амёб добавляется их направленное движение в область с большей плотностью этого вещества.
Составим уравнение баланса амёб в элементе среды $dx$ за время $dt$, пользуясь «законом сохранения» амёб (предположение 3). В этом случае общее число амёб в объёме $dx$ (площадь поперечного сечения единична) изменяется лишь из-за разности потока амёб $W(x,t)$ на левой и правой границах элемента. Величина $W(x,t)$ понимается как число амёб, пересекающих единичную поверхность за единичное время. Искомое уравнение выглядит так: \[ \left[ \bar{N}(x, t + dt) - \bar N(x, t) \right] dx = \left[ \bar{W}(x, t) - \bar W(x + dx, t) \right] dt, \] где $\bar N, \bar W$ — некоторые средние значения величин на малых промежутках $dx, dt$. Устремляя $dx$ и $dt$ к нулю, получаем дифференциальное уравнение баланса числа амёб: \[ \pd{N}{t} = - \pd{W}{x}. \] Величина $W = W_c + W_d$ складывается из двух составляющих. Часть $W_c$ общего потока формируется за счёт хаотического движения амёб, поэтому по аналогии с законом Фурье для процесса диффузии тепла его можно записать через градиент их концентрации: \[ W_c = - \mu \pd{N}{x}, \qquad \mu \gt 0. \] При получении выражения для составляющей $W_d$, описывающей направленный поток амёб, будем считать, что величина $W_d$ тем больше, чем больше градиент плотности притягивающего вещества: \[ W_d = \eta N \pd{\rho}{x}, \] где $\eta \gt 0$ — некоторая постоянная, $\rho(x, t)$ – плотность вещества, а множитель $N$ перед градиентом означает, что при заданном градиенте величины $\rho$ составляющая потока $W_d$ пропорциональна концентрации амёб в данной точке.
Подставляя полученные выражения в уравнение баланса, получаем \[ \pd{N}{t} = \pd{}{x} \paren{ \mu \pd{N}{x} - \eta N \pd{\rho}{x} }. \] В этом уравнении две неизвестных, поэтому получим уравнение баланса для концентрации вещества $\rho$. При этом надо учитывать, что скорость выделения химического вещества пропорциональна концентрации амёб. Учтём также распад вещества, скорость которого пропорциональна его концентрации. Тогда в единицу времени в единичном объёме появляется и исчезает количество вещества \[ f = \alpha N - \beta \rho, \qquad \alpha, \beta \gt 0. \] Изменение плотности вещества в элементарном объёме среды происходит также вследствие разности его потоков на левой и правой границах элемента. Оно диффундирует в среде из мест с большей концентрацией в места с меньшей концентрацией. Это движение создаёт поток \[ W_\rho = -D \pd{\rho}{x}, \] где $D \gt 0$ — коэффициент диффузии.
Итак, уравнение баланса вещества имеет вид \[ \pd{\rho}{t} = - \pd{W_\rho}{x} + f, \] или \[ \pd{\rho}{t} = D \pdv2{\rho}{x} + \alpha N - \beta \rho. \]
Если амёбы не выделяют притягивающего вещества и $\rho(x,t) \equiv 0$, то уравнение баланса амёб переходит в уравнение теплопроводности: \[ \pd{N}{t} = \mu \pdv2{N}{x}. \] Если же $\rho(x, t) \not\equiv 0$, но амёбы перестали выделять вещество, то $\alpha = 0$, а уравнение баланса вещества примет вид \[ \pd{\rho}{t} = D \pdv2{\rho}{x} - \beta \rho \] и сводится простой заменой к уравнению теплопроводности: \[ \pd{u}{t} = D \pdv2{u}{x}. \]
Рассмотрим уравнение равновесия $N \equiv N_0, \rho \equiv \rho_0$, которое возможно только при условии \[ \alpha N_0 = \beta \rho, \] то есть когда выделение вещества и его распад уравновешивают друг друга.
Линеаризованная в окрестности постоянного решения система имеет вид \[ \begin{aligned} \pd{\tilde N}{t} &= \pd{}{x} \paren{ \mu \pd{\tilde N}{x} - \eta N_0 \pd{\tilde \rho}{x} }, \\ \pd{\tilde \rho}{t} &= D \pdv2{\tilde \rho}{x} + \alpha \tilde N - \beta \tilde \rho, \end{aligned} \] где $\tilde N$ и $\tilde \rho$ — малые возмущения. Её общее решение для неограниченного пространства $-\infty \lt x \lt \infty$ можно построить в виде суммы частных решений (гармоник): \[ \tilde N = C_1 \sin k x e^{\gamma t}, \qquad \tilde \rho = C_2 \sin k x e^{\gamma t}, \] где $k \gt 0$ — волновое число, а $C_1, C_2 = \const$.
Для частных решений должны выполняться соотношения \[ \begin{aligned} C_1 (\gamma + \mu k^2) &= C_2 \eta N_0 k^2, \\ C_2 (\gamma + \beta + D k^2) &= C_1 \alpha, \end{aligned} \] связывающие длину волны гармоники $\lambda = 2 \pi / k$ с величиной $\gamma$ — её инкрементом (декрементом). Исключая из этих уравнений константы, получаем \[ \gamma^2 + b \gamma + c = 0, \] где \[ b = \beta + k^2 (\mu + D), \quad c = \mu k^2 (\beta + D k^2) - \eta \alpha N_0 k^2. \] Оба корня отрицательны тогда и только тогда, когда $c \gt 0$, то есть при выполнении неравенства \[ \mu(\beta + D k^2) \gt \eta \alpha N_0. \] В этом случае решение устойчиво. Это неравенство заведомо выполнено при \[ \mu \beta \gt \eta \alpha N_0, \] либо при $\mu \gt \eta \rho_0$, то есть для фиксированных параметров задачи при достаточно малых концентрациях амёб и плотностях притягивающего вещества. В противном случае возможна неустойчивость.