- $t \in [0, T]$, где $T > 0$;
- $x(t) \in \mathbb{R}^n, \; u(t) \in \mathbb{R}^m, \; y(t) \in \mathbb{R}^r$;
- $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \; B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \; C(t) \in \mathbb{R}^{r \times n}$
- $\xi(t) \in \mathbb{R}^n, \; \eta(t) \in \mathbb{R}^r$.
Будем считать, что $A(t), B(t)$ и $C(t)$ непрерывны.
- задана на $[0, T]$;
- кусочно-непрерывна.
Рассмотрим линейную систему ОДУ: \[ \dot x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) + \xi(t). \] Пусть $Y(t)$ — фундаментальная матрица соответствующей однородной системы, нормированная в нуле: $Y(0) = E$. Тогда можно записать общее решение неоднородной системы в форме Коши: \[ x(t, 0, x^0) = Y(t) \left( x^0 + \int\limits_0^t Y^{-1}(\tau) \left[ B(\tau) u(\tau) + \xi(\tau) \right] d\tau \right). \]
Найдём из него, что \[ x^1 = Y(T) \paren{ x^0 + \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) B(\tau) u(\tau) d\tau + \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) \xi(\tau) d\tau }. \] Обозначим $Q(t) := Y^{-1}(t) B(t)$ и домножим уравнение слева на $Y^{-1}(T)$: \[ \begin{gathered} Y^{-1}(T) x^1 = x^0 + \int\limits_0^T \underbrace{Y^{-1}(\tau) B(\tau)}_{= Q(\tau)} u(\tau) d\tau + \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) \xi(\tau) d\tau, \\ \implies \int\limits_0^T Q(\tau) u(\tau) d\tau = Y^{-1}(T) x^1 - x^0 - \int\limits_0^T Y^{-1}(\tau) \xi(\tau) d\tau. \end{gathered} \] Правая часть — некоторая константа, которую можно обозначить как $\eta$, тогда \[ \int\limits_0^T Q(\tau) u(\tau) d\tau = \eta, \] то есть если $u(t)$ удовлетворяет этому интегральному уравнению, то оно программное.
Если допустимое управление $u(t)$ линейной системы \[ \dot x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) + \xi(t) \] на $[0, T]$ существует, то оно представимо в виде \[ u(t) = Q^T(t) C + V(t), \qquad Q(t) := Y^{-1}(t) B(t), \] где
- $Y(t)$ — нормированная в нуле фундаментальная матрица соответствующей однородной системы;
- $C \in \mathbb{R}^n$ — постоянный вектор, подлежащий определению;
- $V(t)$ — $m$-мерная векторная функция, удовлетворяющая условию ортогональности: \[ \int\limits_0^T Q(\tau) V(\tau) d\tau = 0. \]
Из теоремы Кронекера-Капелли известно, что система $Ax = b$ совместна тогда и только тогда, когда $\rank A = \rank (A, b)$.
Предположим, что система несовместна, то есть $\rank \Gamma(T) \lt \rank (\Gamma(T), \eta)$. Тогда по теореме Фредгольма найдётся вектор $\gamma \neq 0$, ортогональный всем столбцам матрицы $\Gamma(T)$, но не ортогональный вектору $\eta$, то есть \[ \gamma^T \Gamma(T) = 0, \quad \gamma^T \eta \neq 0. \] Отсюда следует, что \[ \begin{aligned} 0 &= \gamma^T \Gamma(T) \\ &= \gamma^T \Gamma(T) \gamma \\ &= \gamma^T \int\limits_0^T Q(\tau) Q^T(\tau) d\tau \cdot \gamma \\ &= \int\limits_0^T \gamma^T Q(\tau) Q^T(\tau) \gamma d\tau \\ &= \int\limits_0^T \norm{\gamma^T Q(\tau)}^2 d\tau = 0, \end{aligned} \] то есть $\gamma^T Q(t) \equiv 0$ на $[0, T]$. Но тогда \[ \gamma^T \eta = \gamma^T \int\limits_0^T Q(\tau) u(\tau) d\tau = \int\limits_0^T \underbrace{\gamma^T Q(\tau)}_{\equiv 0} u(\tau) d\tau = 0, \] что противоречит выбору $\gamma$. Значит, $\rank \Gamma(T) = \rank (\Gamma(T), \eta)$, то есть система совместна.
Решая эту систему, находим вектор $C$, при котором разность $u(t) - Q^T(t) C$ удовлетворяет условию \[ \int\limits_0^T Q(\tau) \left[ u(\tau) - Q^T(\tau) C \right] d\tau = 0. \] Введя обозначение $V(t) := u(t) - Q^T(t) C$, получаем, что \[ u(t) = Q^T(t) C + V(t). \]