ЧМ — 06 — Вопросы

Вычисление определённого интеграла. Постановка задачи. Понятие квадратурной формулы, весовой функции и методической погрешности

Вычилить однократный интеграл \[ J(F) = \int\limits_a^b F(x) dx \] с использованием конечного числа значений интегрируемой функции, где

$[a;b] \subset \mathbb{R}$ — отрезок интегрирования;
$F(x)$ — интегрируемая по Риману на отрезке $[a;b]$ функция.

Представим интеграл в следующем виде: \[ \int\limits_a^b F(x) dx = \int\limits_a^b p(x) f(x) dx, \] где $p(x)$ — весовая функция, содержащая все особенности функции $F(x)$, а $f(x)$ — гладкая функция. Важно, чтобы $p(x)$ имела аналитически вычисляемые $j$-ые моменты: \[ \mu_j = \int\limits_a^b p(x) x^j dx, \quad j = 0,1,\dots \]

Считая вес $p(x)$ фиксированным, а $f(x)$ — произвольной гладкой функцией, строим правила интегрирования вида \[ J(F) = \int\limits_a^b p(x) f(x) dx \approx \sum_{j=1}^n A_j f(x_j) = S_n, \quad x_j \in [a;b], \] рассчитанные на функции, имеющие одинаковые, заранее известные особенности, причём $p(x)$ — неотрицательная на $[a;b]$ функция, для которой \[ \int\limits_a^b p(x) dx \gt 0, \] и для любой $f(x)$ существует \[ \int\limits_a^b p(x) \abs{f(x)} dx. \]

Формулу \[ J(F) = \int\limits_a^b p(x) f(x) dx \approx \sum_{j=1}^n A_j f(x_j) \quad x_j \in [a;b] \] называют формулой механических квадратур или просто квадратурной формулой (КФ). Также вводят следующие понятия:

$S_n = \dsum_{j=1}^n A_j f(x_j)$ — квадратурная сумма;
$A_j$ — квадратурные коэффициенты;
$x_j$ — узлы квадратурой формулы.

Условимся считать, что \[ a \leqslant x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n \leqslant b. \]

Величина \[ R_n(f) = \int\limits_a^b p(x) f(x) dx - \sum_{j=1}^n A_j f(x_j) = J(f) - S_n(f) \] называется методической погрешностью или остаточным членом квадратурной формулы.

Различные подходы к построению квадратурной формулы. Квадратурные формулы наилучшей степени точности. Квадратурный процесс. Сходимость квадратурного процесса

Пусть $\Phi(a,b)$ — некоторый класс функций $f(\cdot)$. Рассмотрим последовательность $\set{ \varphi_k(x) }$ базисных функций таких, что $p(x) \varphi_k(x)$ суммируемы на $[a;b]$. Образуем линейную комбинацию: \[ s_n(x) = \sum_{k=1}^n a_k \varphi_k(x) \] и введём величину \[ \rho(f, s_n) := \int\limits_a^b \abs{ p(x) \paren{ f(x) - s_n(x) } } dx, \] которую будем считать расстоянием между $f(x)$ и $s_n(x)$.

Система функций $\set{ \varphi_k(x) }$ называется полной в классе $\Phi(a,b)$, если для каждой функции $f \in \Phi(a,b)$ и для любого $\varepsilon \gt 0$ существует такая линейная комбинация $s_n(x)$, что \[ \rho(f, x_n) \lt \varepsilon. \]

Из неравенства \[ \begin{aligned} &\abs{ \int\limits_a^b p(x) f(x) dx - \int\limits_a^b p(x) s_n(x) dx } \leqslant \\ &\quad \leqslant \int\limits_a^b \abs{p(x) \paren { f(x) - s_n(x) } } dx \bydef= \rho(f,s_n) \end{aligned} \] следует, что интеграл \[ \int\limits_a^b p(x) f(x) dx \] может быть вычислен с любой сколь угодно высокой точностью, если интегрируемую функцию $f(x)$ заменить специально подобранной линейной комбинацией $s_n(x)$.

Квадратурная формула \[ J(F) = \int\limits_a^b p(x) f(x) dx \approx \sum_{j=1}^n A_j f(x_j) \quad x_j \in [a;b] \] имеет степень точности $m$ относительно функций $\set{\varphi_k(x)}$, если она точна для функций $\varphi_1, \dots, \varphi_m$, то есть \[ \int\limits_a^b p(x) \varphi_i dx = \sum_{k=1}^n A_k \varphi_i(x_k), \qquad i = \overline{1,m} \] и не верна для $\varphi_{m+1}$, то есть \[ \int\limits_a^b p(x) \varphi_{m+1} dx \neq \sum_{k=1}^n A_k \varphi_{m+1}(x_k), \]

Таким образом, неизвестные $x_k$ и $A_k$ можно выбирать таким образом, чтобы повысить степень точности КФ.

Известна

(Вейерштрасса).
Для любых $f \in C[a;b]$ и $\varepsilon \gt 0$ существует многочлен $P(x)$ такой, что \[ \abs{f(x) - P(x)} \lt \varepsilon, \qquad x \in [a;b]. \]

Отсюда следует, что система алгебраических многочленов полна в классе непрерывных на $[a;b]$ функций. Таким образом, можно взять $1,x,x^2,\dots$ за систему базисных функций.

Квадратурная формула \[ J(F) = \int\limits_a^b p(x) f(x) dx \approx \sum_{j=1}^n A_j f(x_j) \quad x_j \in [a;b] \] имеет алгебраическую степень точности $m$, если она верна для любых многочленов степени $m$ и не верна для многочленов степени $m+1$.

Квадратурные формулы с наилучшей оценкой на классе функций

Введём обозначение: \[ R_n \equiv \sup_{f \in \Phi(a,b)} \abs{R_n(f)}. \]

Определить узлы $x_k \in [a;b]$ и коэффициенты $A_k$ квадратурной формулы так, чтобы величина $R_n$ была наименьшей. Такие КФ называют квадратурными формулами с наилучшей оценкой на классе функций $\Phi(a,b)$ .

При вычислении $f(x_k)$ почти всегда приходится иметь дело с приближёнными значениями функции $\overline{f}(x_k)$: \[ \abs{f(x_k) - \overline{f}(x_k)} \lt \varepsilon, \qquad k = \overline{1,n}. \] Квадратурная сумма тогда будет вычислена с погрешностью \[ \abs{s_n(x_k) - \overline{s}_n(x_k)} \lt \varepsilon \sum_{k=1}^n \abs{A_k}. \] Если сумма $\dsum_{k=1}^n \abs{A_k}$ велика, то это может вызывать большую погрешность в приближённом значении интеграла. В связи с этим фактом стремятся уменьшить её значение. В случае, если \[ p(x) \geqslant 0, \quad x \in [a;b] \] и квадратурная формула верна для $f(x) \equiv 1$, то есть \[ \int\limits_a^b p(x) dx = \sum_{k=1}^n A_k, \] сумма $\dsum_{k=1}^n \abs{A_k}$ будет иметь наименьшее значение, когда $A_k \gt 0$.

Квадратурный процесс

Последовательность квадратурных формул называют квадратурным процессом. Она определяется матрицами узлов \[ X = \begin{vmatrix} x_1^{(1)} & & & & \\ x_1^{(2)} & x_2^{(2)} & & & \\ \cdots & \cdots & \cdots & & \\ x_1^{(n)} & x_2^{(n)} & \cdots & x_n^{(n)} & \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{vmatrix} \] и коэффициентов \[ A = \begin{vmatrix} A_1^{(1)} & & & & \\ A_1^{(2)} & A_2^{(2)} & & & \\ \cdots & \cdots & \cdots & & \\ A_1^{(n)} & A_2^{(n)} & \cdots & A_n^{(n)} & \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{vmatrix} \]

Квадратурная формула, соответствующая $n$-ой строке этих матриц, имеет вид \[ \int\limits_a^b p(x) f(x) dx = \sum_{k=1}^n A_k^{(n)} f(x_k^{(n)}) + R_n(f). \] Введём обозначение: \[ S_n = \sum_{k=1}^n A_k^{(n)} f(x_k^{(n)}). \]

Говорят, что квадратурный процесс, определённый матрицами $X$ и $A$, сходится для функции $f$, если \[ \lim_{n \to \infty} S_n(f) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n A_k^{(n)} f(x_k^{(n)}) = \int\limits_a^b p(x) f(x) dx. \]

Интерполяционная квадратурная формула (квадратурные формулы Ньютона-Котеса). Погрешность интерполяционной квадратурной формулы

Квадратурные формулы, использующие значения функции и её производной. Оценка погрешности соответствующей квадратурной формулы

Алгоритм построения интерполяционных квадратурных формул. Квадратурная формула прямоугольников с соответствующей оценкой погрешности

Алгоритм построения интерполяционных квадратурных формул. Квадратурная формула трапецией с соответствующей оценкой погрешности

Алгоритм построения интерполяционных квадратурных формул. Квадратурная формула Симпсона (парабол) с соответствующей оценкой погрешности

Квадратурные формулы с равностоящими узлами. Правило трёх восьмых

Ортогональные многочлены

Весовая функция Якоби. Формула Родрига

Значения коэффициентов при старших степенях у многочлена Якоби

Многочлен Лежандра

Многочлены Чебышёва первого рода

Многочлены Чебышёва второго рода

Многочлены Эрмита

Квадратурные формулы типа Гаусса. Сходимость квадратурного процесса

Алгоритм построения квадратурной формулы Гаусса вычисления определённого интеграла

Квадратурные формулы с равными коэффициентами

Составные квадратурные формулы

Практические способы оценки квадратурных формул

Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближённое решение задачи Коши

Метод Эйлера решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Методы Рунге-Кутты