Тензор деформаций. Главные деформации. Относительное изменение объема
Совокупность величин
\[
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{xx} & \frac{1}{2} \varepsilon_{xy} & \frac{1}{2} \varepsilon_{xz} \\
\frac{1}{2} \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \frac{1}{2} \varepsilon_{yz} \\
\frac{1}{2} \varepsilon_{zx} & \frac{1}{2} \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz}
\end{pmatrix},
\quad \varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji},
\]
зависящих от выбора системы координат и преобразующихся при переходе от одной ДПСК к другой по формулам
\[
E_{MN} \left( 1 + \frac{1}{2} E_{MN} \right) ds^2
=
\varepsilon_{xx}' (dx')^2 + \varepsilon_{yy}' (dy')^2 + \varepsilon_{zz}' (dz')^2
+
\varepsilon_{xy}' dx' dy'
+
\varepsilon_{yz}' dy' dz'
+
\varepsilon_{zx}' dz' dx',
\]
где
\[
\begin{aligned}
\varepsilon_{xx}'
&=
\varepsilon_{xx} \lambda_1^2
+
\varepsilon_{yy} \mu_1^2
+
\varepsilon_{zz} \nu_1^2
+
\varepsilon_{xy} \lambda_1 \mu_1
+
\varepsilon_{yz} \mu_1 \nu_1
+
\varepsilon_{zx} \lambda_1 \nu_1,
\\
\varepsilon_{yy}'
&=
\varepsilon_{xx} \lambda_2^2
+
\varepsilon_{yy} \mu_2^2
+
\varepsilon_{zz} \nu_2^2
+
\varepsilon_{xy} \lambda_2 \mu_2
+
\varepsilon_{yz} \mu_2 \nu_2
+
\varepsilon_{zx} \lambda_2 \nu_2,
\\
\varepsilon_{zz}'
&=
\varepsilon_{xx} \lambda_3^2
+
\varepsilon_{yy} \mu_3^2
+
\varepsilon_{zz} \nu_3^2
+
\varepsilon_{xy} \lambda_3 \mu_3
+
\varepsilon_{yz} \mu_3 \nu_3
+
\varepsilon_{zx} \lambda_3 \nu_3,
\\
\varepsilon_{xy}' = \varepsilon_{yz}'
&=
2 \varepsilon_{xx} \lambda_1 \lambda_2
+
2 \varepsilon_{yy} \mu_1 \mu_2
+
2 \varepsilon_{zz} \nu_1 \nu_2
+ \\
&\phantom{=}
+
\varepsilon_{xy} \left( \lambda_1 \mu_2 + \lambda_2 \mu_1 \right)
+
\varepsilon_{yz} \left( \mu_1 \nu_2 + \mu_2 \nu_1 \right)
+
\varepsilon_{zx} \left( \lambda_1 \nu_2 + \lambda_2 \nu_1 \right),
\\
\varepsilon_{yz}' = \varepsilon_{zy}'
&=
2 \varepsilon_{xx} \lambda_2 \lambda_3
+
2 \varepsilon_{yy} \mu_2 \mu_3
+
2 \varepsilon_{zz} \nu_2 \nu_3
+ \\
&\phantom{=}
+
\varepsilon_{xy} \left( \lambda_2 \mu_3 + \lambda_3 \mu_2 \right)
+
\varepsilon_{yz} \left( \mu_2 \nu_3 + \mu_3 \nu_2 \right)
+
\varepsilon_{zx} \left( \lambda_2 \nu_3 + \lambda_3 \nu_2 \right),
\\
\varepsilon_{xy}' = \varepsilon_{yz}'
&=
2 \varepsilon_{xx} \lambda_1 \lambda_3
+
2 \varepsilon_{yy} \mu_1 \mu_3
+
2 \varepsilon_{zz} \nu_1 \nu_3
+ \\
&\phantom{=}
+
\varepsilon_{xy} \left( \lambda_1 \mu_3 + \lambda_3 \mu_1 \right)
+
\varepsilon_{yz} \left( \mu_1 \nu_3 + \mu_3 \nu_1 \right)
+
\varepsilon_{zx} \left( \lambda_1 \nu_3 + \lambda_3 \nu_1 \right),
\end{aligned}
\]
определяют симметричный тензор второго ранга, который называют тензором деформации.
Будем искать теперь такое направление, в котором относительное удлинение $E_{MN}$ принимает экстремальное
значение.
Если направить ось $Ox^*$ параллельно этому направлению, то будем иметь
\[
E_{MN} = \sqrt{1 + 2 \varepsilon_{xx}^*} - 1.
\]
Следовательно, вопрос определения экстремума удлинения $E_x^*$ сводится к отысканию экстремума
компоненты деформации $\varepsilon_{xx}^*$. Для этого надо воспользоваться формулой
\[
\varepsilon_{xx}'
=
\varepsilon_{xx} \lambda_1^2
+
\varepsilon_{yy} \mu_1^2
+
\varepsilon_{zz} \nu_1^2
+
\varepsilon_{xy} \lambda_1 \mu_1
+
\varepsilon_{yz} \mu_1 \nu_1
+
\varepsilon_{zx} \lambda_1 \nu_1
\]
и найти такие значения $\lambda_1, \mu_1, \nu_1$, при которых это выражение становится экстремальным.
Заметим также, что речь идёт об относительном экстремуме, так как выполняется соотношение
\[
\lambda_1^2 + \mu_1^2 + \nu_1^2 = 1.
\]
Составляем функцию Лагранжа:
\[
L = \varepsilon_{xx}' - \varepsilon(\lambda_1^2 + \mu_1^2 + \nu_1^2 - 1),
\]
приравниваем к нулю её частные производные по $\lambda_1, \mu_1, \nu_1$, получаем три линейных
однородных уравнения:
\[
\tag{*}
\begin{aligned}
2(\varepsilon_{xx} - \varepsilon) \lambda_1 + \varepsilon_{yx} \mu_1 + \varepsilon_{zx} \nu_1 &= 0, \\
\varepsilon_{xy} \lambda_1 + 2 (\varepsilon_{yy} - \varepsilon) \mu_1 + \varepsilon_{zy} \nu_1 &= 0, \\
\varepsilon_{xz} \lambda_1 + \varepsilon_{yz} \mu_1 + 2 (\varepsilon_{zz} - \varepsilon) \nu_1 &= 0
\end{aligned}
\]
Нулевое решение нас не устраивает (не удовлетворяет дополнительному ограничению), поэтому требуем, чтобы
определитель был равен нулю:
\[
\begin{vmatrix}
\varepsilon_{xx} - \varepsilon & \frac{1}{2} \varepsilon_{yx} & \frac{1}{2} \varepsilon_{zx} \\
\frac{1}{2} \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} - \varepsilon & \frac{1}{2} \varepsilon_{zy} \\
\frac{1}{2} \varepsilon_{xz} & \frac{1}{2} \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz} - \varepsilon
\end{vmatrix}
=
0.
\]
Так как определитель симметричен, он имеет три вещественных корня $\varepsilon_1, \varepsilon_2,
\varepsilon_3$.
Расписывая определитель, получаем
\[
\varepsilon^3 - J_1 \varepsilon^2 + J_2 \varepsilon - J_3 = 0,
\]
где
\[
\begin{aligned}
J_1 &= \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz}, \\
J_2
&=
\varepsilon_{xx} \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{yy} \varepsilon_{zz} + \varepsilon_{zz} \varepsilon_{xx}
-
\frac{1}{4} \left( \varepsilon_{xy}^2 + \varepsilon_{yz}^2 + \varepsilon_{zx}^2 \right), \\
J_3
&=
\begin{vmatrix}
\varepsilon_{xx} & \frac{1}{2} \varepsilon_{yx} & \frac{1}{2} \varepsilon_{zx} \\
\frac{1}{2} \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} & \frac{1}{2} \varepsilon_{zy} \\
\frac{1}{2} \varepsilon_{xz} & \frac{1}{2} \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz}
\end{vmatrix}
= \\
&=
\varepsilon_{xx} \varepsilon_{yy} \varepsilon_{zz}
-
\frac{1}{4} \left[
\varepsilon_{xx} \varepsilon_{yz}^2
+
\varepsilon_{yy} \varepsilon_{zx}^2
+
\varepsilon_{zz} \varepsilon_{xy}^2
-
\varepsilon_{xy} \varepsilon_{yz} \varepsilon_{zx}
\right]
\end{aligned}
\]
Так как экстремальные удлинения не зависят от выбора ДПСК, от них же не зависят $J_1, J_2, J_3$.
Коэффициенты $J_1, J_2, J_3$ называют инвариантами тензора деформации.
Найдя экстремальное значение $\varepsilon_1$, перейдём к новой ДПСК. Тогда компоненты тензора деформации
примут вид
\[
\begin{aligned}
\varepsilon_{xx}^* &= \varepsilon_1, \\
\varepsilon_{xy}^* &= 2 \varepsilon_1 \underbrace{(\lambda_1 \lambda_2 + \mu_1 \mu_2 + \nu_1 \nu_2)}_{= 0}, \\
\varepsilon_{zx}^* &= 2 \varepsilon_1 \underbrace{(\lambda_1 \lambda_3 + \mu_1 \mu_3 + \nu_1 \nu_3)}_{= 0}.
\end{aligned}
\]
Так как $\varepsilon_{xy}^* = \varepsilon_{zx}^* = 0$, заключаем, что если относительное удлинение по
оси $Ox^*$ является экстремальным, то деформация происходит без изменения прямых углов между направлениями
$Ox^*, Oy^*$ и $Ox^*, Oz^*$.
Поскольку все три корня $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ вещественны, можно указать три
направления, вдоль которых относительное удлинение является экстремальным.
Значения $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ называют главными значениями компонент
деформации, а единичные векторы $\bvec{\varepsilon}_1, \bvec{\varepsilon}_2, \bvec{\varepsilon}_3$
— главными направлениями.
Косинусы углов, образуемых векторами $\bvec{\varepsilon}_i$ с осями $Ox, Oy, Oz$, можно найти из формул
$(*)$ и уравнения
\[
\lambda_i^2 + \mu_i^2 + \nu_i^2 = 1.
\]
Случай малых деформаций
Положим теперь, что удлинения $E_x, E_y, E_z$ и сдвиги $\varphi_{xy}, \varphi_{yz}, \varphi_{zx}$
малы по сравнению с единицей. Тогда
\[
E_x = \sqrt{1 + 2 \varepsilon_{xx}} - 1 \approx 1 + \varepsilon_{xx} - 1 + o(\varepsilon_{xx}^2)
\approx \varepsilon_{xx} = o(1).
\]
Аналогично $E_y \approx \varepsilon_{yy} = o(1), E_z \approx \varepsilon_{zz} = o(1)$.
Пользуясь формулой
\[
\sin \varphi_{xy} = \frac{\varepsilon_{xy}}{(1 + E_x) (1 + E_y)},
\]
получаем, что
\[
\sin \varphi_{xy} \approx \varphi_{xy} \approx \varepsilon_{xy} = o(1).
\]
Аналогично
\[
\varphi_{yz} \approx \varepsilon_{yz} = o(1),
\quad
\varphi_{zx} \approx \varepsilon_{zx} = o(1).
\]
Следовательно, при малых деформациях и сдвигах величины $\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \varepsilon_{zz}$
могут быть отождествлены с соответствующими удлинениями, а $\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{yz}, \varepsilon_{zx}$
— с соответствующими сдвигами.
Итак, заключаем, что в результате такой деформации прямоугольный параллелепипед с рёбрами $dx, dy, dz$
переместится из точки $M(x,y,z)$ в $M^*(\xi, \eta, \zeta)$ и изменит свою ориентацию в пространстве,
но не поменяет размер и прямые углы.
Углы между ДПСК $Oxyz$ и рёбрами $dx, dy, dz$ в точке $M*$ определяются таблицей
|
$\bvec{i}^*$ |
$\bvec{j}^*$ |
$\bvec{k}^*$ |
| $x$ |
${\displaystyle 1 + \frac{\partial u}{\partial x} }$ |
${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} }$ |
${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial z} }$ |
| $y$ |
${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} }$ |
${\displaystyle 1 + \frac{\partial v}{\partial y}}$ |
${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial z} }$ |
| $z$ |
${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} }$ |
${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} }$ |
${\displaystyle 1 + \frac{\partial w}{\partial z}}$ |
Видим, что малось компонент деформации не гарантирует малость углов поворота окрестности точки $M$.
Положим теперь, что в выражениях для компонент деформации
\[
\begin{aligned}
\varepsilon_{xx}
&=
\frac{\partial u}{\partial x}
+
\frac{1}{2}
\left[
\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2
+
\left( \frac{\partial v}{\partial x} \right)^2
+
\left( \frac{\partial w}{\partial x} \right)^2
\right],
\\
\varepsilon_{yy}
&=
\frac{\partial v}{\partial y}
+
\frac{1}{2}
\left[
\left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2
+
\left( \frac{\partial v}{\partial y} \right)^2
+
\left( \frac{\partial w}{\partial y} \right)^2
\right],
\\
\varepsilon_{zz}
&=
\frac{\partial w}{\partial z}
+
\frac{1}{2}
\left[
\left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)^2
+
\left( \frac{\partial v}{\partial z} \right)^2
+
\left( \frac{\partial w}{\partial z} \right)^2
\right],
\\
\varepsilon_{xy}
=
\varepsilon_{yx}
&=
\frac{\partial u}{\partial y}
+
\frac{\partial v}{\partial x}
+
\frac{\partial u}{\partial x}
\frac{\partial u}{\partial y}
+
\frac{\partial v}{\partial x}
\frac{\partial v}{\partial y}
+
\frac{\partial w}{\partial x}
\frac{\partial w}{\partial y},
\\
\varepsilon_{yz}
=
\varepsilon_{zy}
&=
\frac{\partial w}{\partial y}
+
\frac{\partial v}{\partial z}
+
\frac{\partial u}{\partial y}
\frac{\partial u}{\partial z}
+
\frac{\partial v}{\partial y}
\frac{\partial v}{\partial z}
+
\frac{\partial w}{\partial y}
\frac{\partial w}{\partial z},
\\
\varepsilon_{xz}
=
\varepsilon_{zx}
&=
\frac{\partial w}{\partial x}
+
\frac{\partial u}{\partial z}
+
\frac{\partial u}{\partial x}
\frac{\partial u}{\partial z}
+
\frac{\partial v}{\partial x}
\frac{\partial v}{\partial z}
+
\frac{\partial w}{\partial x}
\frac{\partial w}{\partial z}
\end{aligned}
\]
можно пренебречь квадратами производных. Тогда линеаризованные компоненты деформации обозначим
через $e_{ij}$, получим
\[
\begin{aligned}
e_{xx} &= \frac{\partial u}{\partial x},
\\
e_{yy} &= \frac{\partial v}{\partial y},
\\
e_{zz} &= \frac{\partial w}{\partial z},
\\
e_{xy} = e_{yx} &= \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x},
\\
e_{yz} = e_{zy} &= \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z},
\\
e_{xz} = e_{zx} &= \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z}.
\end{aligned}
\]
Эти зависимости называют уравнениями Коши.
Однако в таком случае исчезает разница в ориентации ортов $\bvec{i}, \bvec{j}, \bvec{k}$
и $\bvec{i}^*, \bvec{j}^*, \bvec{k}^*$ (см. таблицу). Иными словами, поворот окрестности точки $M^*$
пренебрежимо мал.
Относительное изменение объёма
Выделим в теле элементарный параллелепипед, рёбра $dx, dy, dz$ которого совпадают с направлениями
главных деформаций. В этом случае его объём до деформации равен
\[
V = dx dy dz,
\]
а после деформации:
\[
V^* = (1 + E_1) (1 + E_2) (1 + E_3) dx dy dz.
\]
Рассмотрим относительное изменение объёма:
\[
\begin{aligned}
\Delta
&=
\frac{V^* - V}{V} = \\
&=
(1 + E_1) (1 + E_2) (1 + E_3) - 1 = \\
&=
\sqrt{(1 + 2 \varepsilon_1) (1 + 2 \varepsilon_2) (1 + 3 \varepsilon_3)} - 1.
\end{aligned}
\]
В случае малых деформаций эта формула принимает вид
\[
\Delta = \theta = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3 = J_1 = e_{xx} + e_{yy} + e_{zz}.
\]
Заметим, что полученный результат не зависит от формы объёмного элемента, выделяемого из тела. Значит,
относительное приращение объёма само является инвариантом.
Уравнение относительного приращения можно переписать, используя уравнения Коши:
\[
\Delta = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z},
\]
то есть изменение объёма тела во всякой его точке определяется дивергенцией вектора перемещения
в этой точке.
Вектор поворота
Составляющие вихря вектора перемещений
\[
\begin{aligned}
\omega_x &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \right), \\
\omega_y &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \right), \\
\omega_z &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right)
\end{aligned}
\]
характеризуют поворот бесконечно малого объёмного элемента.
Употребляя этот термин применительно к элементу объёма, в процессе перемещения которого изменяется
не только его положение, но и размеры и форма, будем подразумевать под ним среднее значение
поворота, получаемого всем множеством линейных элементов, принадлежащих данному объёмному элементу.
Если в какой-либо точке деформированной среды выполняются равенства
\[
\omega_x = \omega_y = \omega_z = 0,
\]
то все линейные элементы, проходящие через эту точку, не будут получать в среднем никакого поворота
относительно любой проходящей через эту точку оси.
