Вопросы — МАДС

Динамические системы в евклидовых пространствах. Примеры

Рассмотрим систему \[ y' = f(y), \quad y \in \mathbb{R}^n. \] Будем считать, что $f(y)$ является непрерывно дифференцируемой, то есть принадлежит классу $C^1$. Отсюда следует существование и единственность решения задачи Коши с начальными условиями $(x_0, y^0)$.

Также будем считать, что все решения системы продолжимы на интервал $I = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$.

Если правые части исходной системы ограничины во всём пространстве $\mathbb{R}^n$, то есть существует $M = \const \gt 0$ такая, что \[ \abs{f(y)} \lt M \qquad \forall y \in \mathbb{R}^n, \] то любое решение этой системы неограниченно продолжаемо, а максимальный интервал его существования равен $I$.

Рассмотрим систему \[ \dot x = f(x). \] Если правые части системы не являются ограниченными, то всегда можно добиться условия продолжимости решения путём перехода к новому времени $\tau$, введя его по формуле \[ \frac{d \tau}{d t} = {\left(1 + \abs{f}^{p_1} \right)}^{p_2} \geqslant 1, \] где вещественные параметры $p_1, p_2 \gt 0$, а их произведение $p_1 p_2 \geqslant 1$.

Обычно берут $p_1 = 2, \; p_2 = 1/2$.

Новое время $\tau$ строго монотонно растёт вместе с $t$.

Исходная система перейдёт в новую систему с ограниченными правыми частями: \[ \frac{d x}{d \tau} = \frac{f}{(1 + \abs{f}^{p_1})^{p_2}}, \qquad \abs{\frac{f}{(1 + \abs{f}^{p_1})^{p_2}}} = \frac{\abs{f}}{(1 + \abs{f}^{p_1})^{p_2}} \lt 1, \] поэтому все решения будут неограниченно продолжаемы.

(Уинтнера).
Рассмотрим систему \[ y' = f(x, y). \] Пусть $f(x, y)$ определена и непрерывна в области $\mathbb{R}^{n+1}$. Преположим, что \[ \norm{f(x,y)} \leqslant W(\norm{y}) \] для некоторой функции $W$ и выполнено условие \[ \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dr}{1 + W(r)} = +\infty. \] Тогда любое решение $y = \varphi(x)$ исходной системы определено при всех $x \in \mathbb{R}$.

переписать из конспекта.

Пусть $y = \psi(x, x_0, y^0)$ — решение исходной системы ОДУ.

В силу стационарности системы \[ \psi(x, x_0, y^0) = \Phi(x - x_0, y^0), \] причём справедливо групповое свойство решений в форме Коши: \[ \Phi(x_1, \Phi(x_2, y^0)) = \Phi(x_1 + x_2, y^0). \]

Введём обозначение: $\Phi_x(y) := \Phi(x, y)$, тогда \[ \Phi_x: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n. \] Справедливы следующие свойства оператора $\Phi_x$:

$\Phi_{x_1} \circ \Phi_{x_2} = \Phi_{x_1 + x_2}$;
ассоциативность: \[ \Phi_{x_1} \circ (\Phi_{x_2} \circ \Phi_{x_3}) = (\Phi_{x_1} \circ \Phi_{x_2}) \circ \Phi_{x_3}; \]
коммутативность: \[ \Phi_{x_1} \circ \Phi_{x_2}) = \Phi_{x_2} \circ \Phi_{x_1}; \]
существует тождественный оператор $\Phi_0 := \varepsilon$ такой, что: \[ \Phi_x \circ \Phi_0 = \Phi_x. \]
оператор $\Phi_x$ обратим, причём \[ \Phi_x^{-1} = \Phi_{-x}; \]

Множество операторов $\left\{ \Phi_x, \; x \in \mathbb{R} \right\}$ представляет собой абелеву группу.

Если оператор $\Phi_x: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$

определён при всех $x \in \mathbb{R}$;
удовлетворяет свойствам 1-5,

то множество операторов $\left\{ \Phi_x, \; x \in \mathbb{R} \right\}$ называется динамической системой в евклидовом пространстве.

Динамические системы на торе. Примеры

Рассмотрим двухстепенный гироскоп:

Углы $\varphi, \psi$ независимы, а уравнения Ньютона можно представить в виде \[ \left\{ \begin{aligned} \dot \varphi &= \Phi(\varphi, \psi), \\ \dot \psi &= \Psi(\varphi, \psi). \end{aligned} \right. \] Вектор $(\varphi, \psi)^T$ однозначно определяет положение системы, причём $\varphi, \psi \in \mathbb{R}$.

Функции $\Phi, \Psi$ считаем непрерывными и $2\pi$-периодическими по обоим аргументам: \[ \begin{aligned} \Phi(\varphi + 2 \pi, \psi) &= \Phi(\varphi, \psi), & \Phi(\varphi, \psi + 2 \pi) &= \Phi(\varphi, \psi), \\ \Psi(\varphi + 2 \pi, \psi) &= \Psi(\varphi, \psi), & \Psi(\varphi, \psi + 2 \pi) &= \Psi(\varphi, \psi). \end{aligned} \] Из периодичности и непрерывности по теореме Вейерштрасса следует, что существуют максимумы \[ \max_{\mathbb{R}^2} \abs{\Phi(\varphi, \psi)} \leqslant M, \qquad \max_{\mathbb{R}^2} \abs{\Psi(\varphi, \psi)} \leqslant M. \] Значит, продолжимость решения есть.

Нетрудно проверить, что перед нами динамическая система. В связи с этим перейдём к фазовому пространству:

Пусть траектория вышла на границу, тогда (в силу периодичности) траектория «телепортируется» в совпадающую точку.

Участки траектории не пересекаются в силу единственности решения задачи Коши.

Тор можно получить, совмещая одинаковые границы:

Тор обозначают как $T_2$. Формально его можно задать как \[ T_2 = \left\{ (\varphi_1, \varphi_2) \mod 2\pi \; | \; (\varphi_1, \varphi_2) \in \mathbb{R}^2 \right\}. \]

Тор является компактом.

Рассмотрим систему \[ \left\{ \begin{aligned} \dot \varphi &= 1, \\ \dot \psi &= \alpha. \end{aligned} \right. \] Рассмотрим три случая.

$\alpha = 1$, тогда \[ \begin{aligned} \varphi &= \varphi_0 + x, \\ \psi &= \psi_0 + x. \end{aligned} \] Исключаем $x$, чтобы получить фазовую траекторию: \[ \psi = \psi_0 + \varphi - \varphi_0. \] Получили прямую.
$\alpha = \dfrac{m}{n}$, тогда \[ \begin{aligned} \varphi &= \varphi_0 + x, \\ \psi &= \psi_0 + \frac{m}{n} x. \end{aligned} \] Точки $x = 0$ и $x = 2 \pi n$ совпадают. Получили периодическую траекторию, которая зацикливается после $n$ оборотов.
Если $\alpha$ — иррациональное число, то получаем \[ \begin{aligned} \varphi &= \varphi_0 + x, \\ \psi &= \psi_0 + \alpha x. \end{aligned} \] Исключаем $x$: \[ \psi = \psi_0 + \alpha \varphi - \alpha \varphi_0. \] Ни при каком $\varphi$, кратным $2 \pi k$, мы не попадём в $\psi$. Тогда фазовая траектория будет всюду плотна на торе, то есть замыкание множества точек \[ \left\{ \begin{pmatrix} \varphi \\ \psi \end{pmatrix} \paren{x, \begin{pmatrix} \varphi_0 \\ \psi_0 \end{pmatrix} } \; | \; x \in \mathbb{R} \right\}. \] совпадает с $T_2$.

Динамические системы в функциональных пространствах. Пример линейного уравнения в частных производных

Рассмотрим линейное ДУЧП первого порядка: \[ \frac{\partial u}{\partial t} = au + b \frac{\partial u}{\partial x}, \] где

$a = \const \in \mathbb{R}^1$;
$b = \const \in \mathbb{R}^n$;
$x \in \mathbb{R}^n$;
$u = u(x, t)$ — неизвестная функция.

В развёрнутом виде система имеет вид \[ \frac{\partial u}{\partial t} = a u + \sum\limits_{i=1}^{n} b_i \frac{\partial u}{\partial x_i}. \]

Из пространства $C^1(\mathbb{R}^n)$ выделим подмножество функций \[ X = \left\{ \varphi = \varphi(x): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}: \; \varphi \in C^1(\mathbb{R}^n), \; \varphi(x) \limto{\abs{x} \to \infty} L_\varphi = \const \right\}. \] Для каждой функции $\varphi \in X$ существует её предельное значение на бесконечности: $L_\varphi = \const \in \mathbb{R}$.

$\abs{L_\varphi} \lt \infty$ для каждой $\varphi \in X$.

Любая функция $\varphi \in X$ ограничена и равномерно непрерывна во всём пространстве $\mathbb{R}^n$.

Рассмотрим произвольую функцию $\varphi \in X$ и найдём для неё $L_\varphi = \const \lt \infty$.

Фиксируем произвольный $\varepsilon \gt 0$. Учитвая, что \[ \varphi \to L_\varphi \quad \mbox{при} \quad \abs{x} \to \infty, \] найдём для $\varepsilon / 2 \gt 0$ такое $R = R(\varepsilon) \gt 0$, что \[ \tag{1} \abs{\varphi(x) - L_\varphi} \lt \varepsilon / 2 \qquad \forall x: \abs{x} \gt R. \] Тогда для любых $x_1, x_2$, у которых $\abs{x_1}, \abs{x_2} \gt R$, получаем \[ \abs{\varphi(x_1) - \varphi(x_2)} \leqslant \abs{\varphi(x_1) - L_\varphi} + \abs{\varphi(x_2) - L_\varphi} \lt \varepsilon. \] Сузим теперь функцию $\varphi$ на замкнутый шар $\overline{K}_{R + \Delta}(0)$, где $\Delta \gt 0$ — произвольная фиксированная постоянная. Шар является компактом, поэтому сужение является равномерно непрерывным, откуда следует, что для рассматриваемых $\varepsilon$ и $R + \Delta$ существует $\delta = \delta(\varepsilon, R + \Delta) \gt 0$ такое, что \[ \abs{\varphi(x_1) - \varphi(x_2)} \lt \varepsilon \qquad \forall x_1, x_2 \in \overline{K}_{R + \Delta}(0): \abs{x_1 - x_2} \lt \delta. \] Если потребуется, уменьшим $\delta$ так, чтобы $0 \lt \delta \lt \Delta$. Тогда \[ \abs{\varphi(x_1) - \varphi(x_2)} \lt \varepsilon \qquad \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n: \abs{x_1 - x_2} \lt \delta. \] Равномерная непрерывность функции $\varphi$ доказана.

Докажем теперь ограниченность. Пусть модуль $\abs{\varphi(x)}$ на компакте $\overline{K}_R(0)$ ограничен сверху константой $M \gt 0$, то есть в силу компактности замкнутого шара существует $M = \const \gt 0$ такая, что \[ \abs{\varphi(x)} \leqslant M \qquad \forall x: \abs{x} \leqslant R. \] Используя соотношение $(1)$, получаем, что \[ \min \left\{ -M, L_\varphi - \varepsilon/2 \right\} \lt \varphi(x) \lt \max \left\{ M, L_\varphi + \varepsilon/2 \right\}. \]

Так как \[ -\infty \lt \min \left\{ -M, L_\varphi - \varepsilon/2 \right\}, \qquad \max \left\{ M, L_\varphi + \varepsilon/2 \right\} \lt \infty, \] то функция $\varphi(x)$ ограничена для любого $x \in \mathbb{R}^n$.

$X$ — линейное пространство с обычными операциями сложения функций и умножения на скаляр.

Теорема 1 позволяет ввести норму в $X$ как норму линейного подпространства пространства $M(\mathbb{R}^n)$ ограниченных в $\mathbb{R}^n$ функций: \[ \norm{\varphi} = \sup_{x \in \mathbb{R}^n} \abs{\varphi(x)}, \] тем самым $X$ становится нормированным пространством.

$X$ — замкнутое подпространство пространства $M(\mathbb{R}^n)$.

Из предыдущего утверждения следует, что $X$ является полным пространством, следовательно, оно является банаховым.

Для произвольной $\varphi \in X$ обозначим через $f(\varphi, t)$ решение $u(x, t)$ исходного уравнения с задачей Коши $u(x, 0) = \varphi(x)$. Таким решением является функция \[ f(\varphi, t) = u(x, t) = e^{at} \varphi(x + bt), \qquad x \in \mathbb{R}^n, \quad t \in \mathbb{R}. \]

$f(\varphi, t) \in X$ для всех $t \in \mathbb{R}^n$.

Таким образом, в рассматриваемом пространстве $X$ возникает однопараметрическое семейство операторов \[ \left\{ F_t: X \to X, \; \varphi \mapsto F_t(\varphi) \leftrightharpoons f(\varphi, t): \; t \in \mathbb{R}^n \right\} \] со свойствами:

$F_0 = \id_X$ или $f(\varphi, 0) = \varphi$ для любой $\varphi \in X$;
отображение $f(\varphi, t)$ непрерывно по совокупности переменных;

1 часть, стр. 110.
$F_{t_2} \circ F_{t_1} = F_{t_2 + t_1}$, что эквивалентно \[ f(f(\varphi, t_1), t_2) = f(\varphi, t_1 + t_2) \quad \forall t_1, t_2 \in \mathbb{R}, \; \varphi \in X. \]

Введённая однопараметрическая группа преобразований пространства $X$ называется динамической системой в функциональном пространстве $X$, отвечающей линейному ДУЧП.

Динамические системы в метрическом пространстве. Свойства

Пусть $(X, \rho)$ — произвольное метрическое пространство.

Динамической системой в метрическом пространстве $X$ называют однопараметрическое семейство преобразований пространства $X$ \[ \left\{ F_t: X \to X, \; p \mapsto F_t(p) = f(p, t): \; t \in \mathbb{R} \right\}, \] удовлетворяющее свойствам:

$F_0 = \id$ или $f(p, 0) = p$ для любого $p \in X$;
отображение $f(p, t)$ непрерывно по совокупности аргументов;
$F_{t_2} \circ F_{t_1} = F_{t_2 + t_1}$, или, в развёрнутом виде, \[ f(f(p, t_1), t_2) = f(p, t_1 + t_2) \qquad \forall t_1, t_2 \in \mathbb{R}, \; p \in X. \]

Пространство $X$ называют фазовым пространством динамической системы, а параметр $t$ — временем.

Из условий 1, 3 следует, что \[ F_t \circ F_{-t} = \id, \qquad F_{-t} \circ F_{t} = \id \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \] Это значит, что операторы $F_t$ необходимо обратимы, то есть являются преобразованиями фазового пространства $X$.

Семейство преобразований $\left\{ F_t \right\}$ образует коммутативную группу.

Из условия 2 и предыдущей теоремы следует, что для любого $t \in \mathbb{R}$ преобразования \[ F_t, \qquad F_t^{-1} = F_{-t} \] непрерывны, то есть всякое преобразование $F_t$ является гомеоморфизмом фазового пространства $X$.

Отображение $f(p, t)$ при произвольной фиксированной точке $p \in X$, то есть отображение \[ \mathbb{R} \to X, \quad t \mapsto f(p,t) \in X, \] называется движением (точки p) динамической системы.

Говорят, что движение $f(p, t)$ проходит через точку $p$ в момент времени $t = 0$ (учитывая, что $f(p, 0) = p$ по свойству 1 определения ДС), а сам образ $f(p, t)$ трактуют как положение точки $p$ в момент времени $t$.

Множество точек \[ f(p, I) = \left\{ f(p, t): \; t \in \mathbb{R} \right\} \] называется траекторией динамической системы, проходящей через точку $p \in X$.

Множество $f(p, I^+)$ называют положительной полутраекторией, исходящей из точки $p$.
Множество $f(p, I^-)$ называют отрицательной полутраекторией, исходящей из точки $p$.
Множество $f(p, T_1, T_2) = \left\{ f(p, t): \; t \in [T_1, T_2] \right\}$ называют конечной дугой траектории $f(p, I)$, отвечающей отрезку времени $[T_1, T_2] \subset I$.

Одной и той же траектории $f(p, I)$ отвечают различные движения: $f(p,I)$ и $f(q,I)$ для любой точки $q \in X$ так, что $f(p, I) = f(q, I)$.

Траектории ДС не пересекаются, определяя разбиение пространства $X$ на классы эквивалентности.
Две точки принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда они лежат на одной и той же траектории.

Из предыдущей теоремы следует, что изображающая точка, двигаясь по одной траектории, ни за какое конечное время не может достигнуть никакой другой траектории.

Различные движения $f(p, t)$ и $f(q,t)$ отвечают одной и той же траектории тогда и только тогда, когда существует $\tau \in \mathbb{R}$ такое, что $q = f(p, \tau)$.

Качественная структура разбиения фазового пространства $X$ ДС на траектории называется фазовым портретом (картиной) ДС.

(об интегральной непрерывности движений ДС).
Рассмотрим произвольное движение $f(p,t)$ ДС. Тогда при любых $\varepsilon \gt 0, T \gt 0$ существует $\delta = \delta(\varepsilon, T) \gt 0$ такое, что для всех $q \in X: \rho(p, q) \lt \delta$ выполнено условие \[ \rho(f(p, t), f(q, t)) \lt \varepsilon \qquad \forall t \in \mathbb{R}: \abs{t} \leqslant T. \]

Предыдущая теорема означает, что движения непрерывно зависят от начальных данных на конечном промежутке времени.

Динамические системы в метрическом пространстве. Классы движений

Пусть $(X, \rho)$ — произвольное метрическое пространство и $f(p,t)$ — динамическая система.

(о трёх видах траекторий).
Движение ДС и соответствующая ему траектория может быть только одного из следующих трёх видов:

непериодическое движение $f(p,t)$, для которого \[ f(p, t_1) \neq f(p, t_2) \qquad \forall t_1, t_2 \in \mathbb{R}, \; t_1 \neq t_2. \] Траектория, соответствующая этому движению, является простой (без самопересечений) кривой в пространстве $X$.
периодическое движение, то есть движение $f(p, t)$, для которого существует такая постоянная $T \gt 0$, что \[ f(p, t + T) = f(p, t) \qquad \forall t \in \mathbb{R} \] и \[ f(p, t_1) \neq f(p, t_2) \qquad \forall t_1, t_2 \in \mathbb{R}: \; 0 \leqslant t_1 \lt t_2 \lt T. \] Этому движению отвечает простая замкнутая траектория $f(p, I)$.
постоянное движение $f(p, t) \equiv p$ при всех $t \in \mathbb{R}$. Соответствующая траектория — точка $f(p, 0) = p$.

Предполагаем, что имеем не случай 1, то есть траектория $f(p_0, I)$ либо замкнута, либо имеет самопересечение.
Пользуясь 3 свойством определения ДС, показываем, что самопересечений быть не может, поэтому траектория замкнута, а соотв. движение — периодическое.
Строим множество периодов $G$; показываем, что оно замкнуто (содержит всякий предел по $t$).
Рассматриваем точную нижнюю границу $T$ множества $G$; возможные альтернативы: $T = 0$ и $T \gt 0$.
Если $T = 0$, то имеем постоянное движение; если $T \gt 0$, то цикл, причём \[ G = \left\{ nT: n \in \mathbb{Z} \right\}. \] Равенство выше показывается от противного.

2 часть, стр. 9.

Траекторию — точку $p$, отвечающую постоянному движению $f(p,t) \equiv p$, называют точкой покоя или положением равновесия ДС.

Траекторию — простую замкнутую кривую, отвечающую периодическому движению, называют циклом.

Отличная от точки покоя траектория $f(p, I)$ есть ориентированная кривая, положительное направление которой совпадает с положительным направлением времени $t$.

Точка покоя, цикл и всякая конечная дуга траектории есть компактные, следовательно, ограниченные и замкнутые множества.

Всякие траектория $f(p, I)$, полутраектория $f(p, I^+), f(p, I^-)$ связны. Следовательно, также связны их замыкания \[ \overline{f(p, I)}, \quad \overline{f(p, I^+)}, \quad \overline{f(p, I^-)} \] как замыкания связных множеств.

Инвариантные множества. Свойства

Пусть $f: X \to Y$ — какое-либо отображение множеств $X, Y$. Если $A \subset X$, то образом множества $A$ при отображении $f$ называют множество \[ f(A) \leftrightharpoons \left\{ y = f(x): \; x \in A \right\} \subset Y. \]

Если $B \subset Y$, то (полным) прообразом множества $B$ при отображении $f$ называют множество \[ f^{-1}(B) \leftrightharpoons \left\{ x \in X: \; f(x) \in B \right\} \subset X. \]

Прообраз множества $f^{-1}(B)$ всегда определён, вне зависимости от обратимости отображения $f$.

Рассмотрим ДС $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$ и множество $A \subset X$.

Для всякого момента времени $t \in \mathbb{R}$ множество \[ f(A, t) = \left\{ f(p, t): \; p \in A \right\} \] будем называть образом множества $A$ или его сдвигом (по траекториям ДС), отвечающим моменту $t$.

Множество $A$ называется инвариантным, если всякий его образ \[ f(A, t) = A \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \]

Рассмотрим свойства инвариантных множеств.

Множество $A$ инвариантно тогда и только тогда, когда оно состоит из целых траекторий, то есть \[ f(p, I) \subset A \qquad \forall p \in A. \]
- Вся траектория $A = f(p, I)$ для любой точки $p \in X$;
- произвольное объединение траекторий \[ A = \bigcup_{\alpha} f(p_\alpha, I) \] для любого набора $\left\{ p_\alpha \right\} \subset X$;
- само пространство $A = X$
являются инвариантными множествами.
Если множества $A, A_1, A_2$ — инвариантны, то множества
- $A_1 \cap A_2$;
- $A_1 \cup A_2$;
- $A_1 \setminus A_2$;
- $X \setminus A$
тоже являются инвариантными.

Если множество $A \subset X$ инвариантно, то

его замыкание $\overline{A}$;
внутренность $\mathring{A}$;
граница $\Gamma A = \overline{A} \setminus \mathring A$;
край $\partial A = A \setminus \mathring A$;
внешность $\Ext A$

также являются инвариантными множествами.

Начинаем с доказательства инвариантности замыкания $\overline A$.
Из определения замыкания строим последовательность точек $p_n$ из $A$, которые сходятся к $p$ при $n \to \infty$.
Фиксируем $t$, рассматриваем $f(p_n, t) \in A$. Берём предел, по непрерывности получаем $f(p, t) \in A$.
Инвариантность остальных множеств показывается по первому пункту и по формулам \[ \mathring A = X \setminus (\overline{X \setminus A}); \quad \Gamma A = \overline{A} \setminus \mathring A; \quad \partial A = A \setminus \mathring A; \quad \Ext A = X \mathring{\setminus} A. \]

Свойства множества точек покоя

Множество точек покоя ДС является замкнутым инвариантным множеством.

Инвариантность очевидна — никуда не денемся из точки равновесия :)
Показываем замкнутость. Пусть $A$ — множество точек покоя ДС $f(p,t)$.
Строим последовательность $p_n$ точек покоя ($p_n \in A$), по определению \[ f(p_n, t) = p_n \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \]
Переходим к пределу; в силу непрерывности получаем $f(p, t) = p$, то есть $p \in A$ — победа.

Ни одна траектория ни при каком конечном t не может входить в точку покоя и выходить из неё.

Пусть $p \in X$. Если для любого $\delta \gt 0$ существует точка $q \in u_\delta(p)$ такая, что полутраектория $f(q, I^+) \subset u_\delta(p)$, то $p$ — точка покоя.

2 часть, стр. 24.

Если $f(q, t) \to p$ при $t \to +\infty$ или $t \to -\infty$, то $p$ — точка покоя.

Следует из предыдущей теоремы.

Точка покоя $p$ ДС $f(p, t)$ называется изолированной, если существует её окрестность, не содержащая других точек покоя. В противном случае она называется неизолированной.

Предельные множества траекторий. Свойства. Примеры

Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

Если существуют последовательность $t_n \to \infty, \; t_n \geqslant 0$ и точка $q \in X$ такие, что \[ f(p, t_n) \limto{n \to \infty} q, \] то точка $q$ называется $\omega$-предельной точкой движения $f(p,t)$ (или траектории $f(p, I)$, или положительной полутраектории $f(p, I^+)$).

Множество $\omega$-предельных точек движения $f(p,t)$ (траектории $f(p, I)$) называется его положительным предельным множеством и обозначается $\Omega_p$.

Если существуют последовательность $t_n \to -\infty, \; t_n \leqslant 0$ и точка $q \in X$ такие, что \[ f(p, t_n) \limto{n \to \infty} q, \] то точка $q$ называется $\alpha$-предельной точкой движения $f(p,t)$ (или траектории $f(p, I)$, или отрицательной полутраектории $f(p, I^-)$).

Множество $\alpha$-предельных точек движения $f(p,t)$ (траектории $f(p, I)$) называется его отрицательным предельным множеством и обозначается $\Alpha_p$.

Все $\omega$-предельные и $\alpha$-предельные точки ДС называют её предельными точками.

Для всякой точки $p \in X$ и для любого $t \in \mathbb{R}$ справедливы равенства \[ \Omega_p = \Omega_{f(p,t)}, \qquad \Alpha_p = \Alpha_{f(p,t)}. \]

Напрямую следует из пункта 3 определения ДС: \[ f(f(p,t_n), t) = f(p, t_n + t) \qquad \forall t \in \mathbb{R} \] после предельного перехода.

Таким образом, понятия предельных точек относятся целиком к траектории $f(p,I)$ и не зависят от выбора точки $q = f(p, t_1)$ этой траектории.

Для всякой точки $p \in X$ справедливы включения: \[ \Omega_p \subset \overline{f(p, I^+)}, \qquad \Alpha_p \subset \overline{f(p, I^-)}. \]

В силу определений предельных точек они всегда являются замыканиями соотв. полутраекторий.

Для любой точки $p \in X$ справедливы равенства \[ \Omega_p = \bigcap_{q \in f(p, I^+)} \overline{f(q, I^+)}, \qquad \Alpha_p = \bigcap_{q \in f(p, I^-)} \overline{f(q, I^-)}. \]

Предельные множества $\Omega_p, \Alpha_p$ — замкнутые инвариантные множества.

Доказательство будем вести для $\Omega_p$ (для $\Alpha_p$ аналогично).

Если $\Omega_p = \varnothing$, то утверждение теоремы тривиально.

Пусть теперь $\Omega_p \neq \varnothing$.

Доказываем замкнутость. Рассмотрим точку $q \in \overline{\Omega_p}$. Из определения замыкания на языке последовательностей следует, что существует последовательность $\left\{ q_n \right\} \subset \Omega_p$ такая, что $q_n \limto{n \to \infty} q$.
Так как $q_n \in \Omega_p$, то из определения положительного предельного множества следует, что найдётся последовательность $t_n$ такая, что \[ t_n \gt n, \qquad \rho(q_n, f(p, t_n)) \lt \frac{1}{n}. \] Устремляя $n \to \infty$ и используя неравенство треугольника по точке $q$, получаем \[ \rho(q, f(p, t_n)) \leqslant \underbrace{\rho(q, q_n)}_{\to 0} + \underbrace{\rho(q_n, f(p, t_n))}_{\lt 1/n \to 0}. \] Следовательно, $f(p, t_n) \to q$ при $n \to \infty$, то есть $q \in \Omega_p$ по определению. Замкнутость показана.
Доказываем инвариантность. Пусть $q \in \Omega_p$, тогда по определению существует последовательность $t_n \to +\infty$, для которой $f(p, t_n) \to q$. Взяв оператор $f(\cdot, t)$ для любого $t \in \mathbb{R}$ от обеих частей предельного соотношения, используя свойство 3 определения ДС и секвенциальную непрерывность преобразований фазового пространства ДС, получаем \[ f(p, t + t_n) = f(f(p, t_n), t) \to f(q, t) \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \] Последовательность $\tau_n = t + t_n \to \infty$ (смотрим только на $\tau_n \geqslant 0$), поэтому точка $f(q, t) \in \Omega_p$ для любого $t \in \mathbb{R}$. Инвариантность показана.

Инвариантность множеств $\Omega_p$ и $\Alpha_p$ означает, что они состоят только из целых траекторий ДС.

Предельные множества могут быть пустыми. Рассмотрим критерий для случая евклидова пространства $X = \mathbb{R}^n$.

Пусть $X = \mathbb{R}^n$. В этом случае $\Omega_p = \varnothing$ (или $\Alpha_p = \varnothing$) тогда и только тогда, когда \[ f(p, t) \to \pm\infty, \] то есть \[ \abs{f(p, t)} \limto{t \to \infty} \infty \qquad (\abs{f(p, t)} \limto{t \to -\infty} \infty) \]

Доказываем для $\Omega_p$ (для $\Alpha_p$ аналогично).

Если $f(p, t) \to \infty$, то для всякой последовательности $t_n \to \infty$ при $n \to \infty$ также имеем \[ f(p, t_n) \to \infty, \] то есть траектория $f(p,I)$ не может иметь $\omega$-предельных точек, поэтому $\Omega_p = \varnothing$.

От противного: пусть $\Omega_p = \varnothing$, но $f(p, t) \not\to \infty$. Это значит, что существует $R = \const \gt 0$ и последовательность $t_n \to \infty$ при $n \to \infty$, для которых $f(p, t_n) \in \overline{K}_R(0)$.

$\overline{K}_R(0)$ — замкнутый шар радиуса $R$ с центром в точке $0$: \[ \overline{K}_R(0) = \left\{ x \in X: \; \rho(x, 0) \leqslant R \right\}. \]

В силу компактности замкнутого шара существует точка $q \in \overline{K}_R(0)$ и сходящаяся к ней подпоследовательность $f(p, t_{n_k}) \to q$, где $t_{n_k} \to \infty$ при $k \to \infty$.

Таким образом, $q \in \Omega_p$, что противоречит предположению $\Omega_p = \varnothing$. Значит, $f(p, t) \to \infty$.

Рассмотрим случай, когда предельное множество состоит из одной точки.

Для того чтобы положительное (отрицательное) предельное множество состояло из единственной точки: \[ \Omega_p = q \in X \qquad (\Alpha_p = q \in X), \] достаточно (а в случае $X = \mathbb{R}^n$ и необходимо), чтобы $f(p, t) \to q$ при $t \to \infty$ ($t \to -\infty$).

Доказываем для $\Omega_p$.

Если $f(p, t) \to q$ при $t \to \infty$, то для любой последовательности $t_n \to \infty$ имеем $f(p, t_n) \to q$, то есть $\Omega_p = q$.

2 часть, стр. 30.

Пусть $p \in X$.

Если $\overline{f(q, I^+)} = X$ для любой точки $q \in f(p, I^+)$, то $\Omega_p = X$.
Если $\overline{f(q, I^-)} = X$ для любой точки $q \in f(p, I^-)$, то $\Alpha_p = X$.

Утверждение напрямую следует из свойств: \[ \Omega_p = \bigcap_{q \in f(p, I^+)} \overline{f(q, I^+)}, \qquad \Alpha_p = \bigcap_{q \in f(p, I^-)} \overline{f(q, I^-)}. \]

Если $p$ — точка покоя, то $\Omega_p = \Alpha_p = p$.

Если $f(p,t) \limto{t \to \infty} q$, то $\Omega_p = q$. Аналогично для $\Alpha_p$.

Если движение $f(p,t)$ периодическое с периодом $T \gt 0$ и траектория $f(p, I)$ — цикл $C$, то \[ \Omega_p = \Alpha_p = C. \]

Фиксируем $q \in f(p, t)$ для некоторого $t \in \mathbb{R}$ и строим последовательность $t_n = t + nT$. Тогда \[ \lim\limits_{n \to \infty} f(p, t_n) = \lim\limits_{n \to \infty} q = q, \] поэтому $q \in \Omega_p$.

Заметим, что никакая другая точка из $X \setminus C$ не может входить ни в $\Omega_p$, ни в $\Alpha_p$. Это следует из того, что $C$ — замкнутое множество, поэтому $X \setminus C$ — открытое, то есть для любой точки существует окрестность, полностью лежащая в $X \setminus C$, то есть не пересекающаяся с $C$.

$\Omega_p = f(p, I^+)$ тогда и только тогда, когда $f(p, I)$ — точка покоя или цикл.

2 часть, стр. 40.

Устойчивость по Лагранжу. Свойства

Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

Точка $p \in X$;
движение $f(p,t)$;
траектория $f(p,I)$;
полутраектория $f(p,I^+)$

называются положительно устойчивыми по Лагранжу (устойчивыми $L^+$), если $\overline{f(p, I^+)}$ — компактное множество.

Компактность $\overline{f(p, I^+)}$ эквивалентна тому, что $f(p, I^+) \subset K$, где $K$ — компакт.

Точка $p \in X$;
движение $f(p,t)$;
траектория $f(p,I)$;
полутраектория $f(p,I^-)$

называются отрицательно устойчивыми по Лагранжу (устойчивыми $L^-$), если $\overline{f(p, I^-)}$ — компактное множество.

Компактность $\overline{f(p, I^-)}$ эквивалентна тому, что $f(p, I^-) \subset K$, где $K$ — компакт.

Точка $p \in X$;
движение $f(p,t)$;
траектория $f(p,I)$

называются устойчивыми по Лагранжу (устойчивыми $L$), если они устойчивы $L^+$ и $L^-$.

Если $X$ компактно, то всякое движение устойчиво $L$.

Тривиальные примеры устойчивых $L$ траекторий — точки покоя и циклы.

Усточивость $L$ ($L^+, L^-$) влечёт за собой ограниченность и даже полную ограниченность траектории $f(p, I)$ ($f(p, I^+), f(p, I^-)$).
В случае $X = \mathbb{R}^n$ устойчивость $L$ ($L^+, L^-$) эквивалентна ограниченности траектории (положительной, отрицательной полутраектории).

Если движение $f(p,t)$ устойчиво $L^+$ ($L^-$), то предельное множество $\Omega_p$ ($\Alpha_p$) компактно.

Пусть $f(p, t)$ устойчиво $L^+$, тогда $\overline{f(p, I^+)}$ — компактное множество. Тогда, в силу того, что $\Omega_p \subset \overline{f(p, I^+)}$ и $\Omega_p$ — замкнутое, оно также является компактным.

Если движение $f(p,t)$ устойчиво $L^+$ ($L^-$), то $\Omega_p \neq \varnothing$ ($\Alpha_p \neq \varnothing$).

Пусть $f(p,t)$ устойчиво $L^+$. Значит, $f(p, I^+) \subset K$, где $K$ — компакт.
Рассмотрим последовательность $t_n \to \infty$. Из содержащейся в компакте $K$ последовательности точек $\left\{ f(p, t_n) \right\}$ полутраектории выделим сходящуюся подпоследовательность $f(p, t_{n_k}) \to q$ при $k \to \infty$. Отсюда следует, что $q \in \Omega_p$, поэтому $\Omega_p \neq \varnothing$.

Если движение $f(p,t)$ устойчиво $L^+$ ($L^-$), то \[ \lim\limits_{t \to \infty} \rho(f(p, t), \Omega_p) = 0 \qquad \left( \lim\limits_{t \to -\infty} \rho(f(p, t), \Alpha_p) = 0 \right). \]

От противного: пусть $f(p,t)$ устойчиво $L^+$, но условие теоремы не выполнено, то есть \[ \tag{1} \exists \varepsilon \gt 0 \; \mbox{ и } \left\{ t_n \right\}, \; t_n \to \infty: \quad \rho(f(p, t_n), \Omega_p) \geqslant \varepsilon. \] В силу устойчивости $L^+$ имеем $f(p, I^+) \subset K$, где $K$ — компакт. Из содержащейся в $K$ последовательности точек $\left\{ f(p, t_n) \right\}$ выделим сходящуюся подпоследовательность \[ \lim\limits_{k \to \infty} f(p, t_{n_k}) \to q. \] Получается, что $q \in \Omega_p$, но переходя к пределу в неравенстве $(1)$ получаем \[ \rho(q, \Omega_p) \geqslant \varepsilon \gt 0, \] что невозможно.

Если движение $f(p,t)$ устойчиво $L^+$ ($L^-$), то предельное множество $\Omega_p$ ($\Alpha_p$) связно.

2 часть, стр. 43.

Если $f(p,t)$ устойчиво $L^+$ и точки $x,y \in \Omega_p$, то существует $z \in \Omega_p$ такая, что \[ \rho(x,z) = \rho(y,z). \]

Устойчивость по Лагранжу. Контрпримеры. Классификация движений

Пусть $X = \mathbb{R}^2 = \left\{ (x,y) \right\}$. Рассмотрим ОДУ \[ \left\{ \begin{aligned} \dot x &= x - y, \\ \dot y &= x + y. \end{aligned} \right. \] Ей отвечает некоторая ДС.

В полярных координатах $\rho, \varphi$ имеем \[ \left\{ \begin{aligned} \dot \rho &= \rho, \\ \dot \varphi &= 1. \end{aligned} \right. \] Эта система имеет единственное положение равновесия $(0,0)$. Все другие траектории — раскручивающиеся логарифмические спирали, так как \[ \rho = \rho_0 e^{\varphi}. \]

Модифицируем СОДУ в два этапа:

сожмём плоскость $\mathbb{R}^2$, диффеоморфно отобразив её на открытую полосу $\xi \in (-\pi/2, \pi/2)$ на плоскости $\mathbb{R}^2 = \left\{ (\xi, \eta) \right\}$: \[ \left\{ \begin{aligned} \xi &= \arctan x, \\ \eta &= y, \end{aligned} \right. \quad \implies \quad \left\{ \begin{aligned} \dot \xi &= \frac{\dot x}{1 + x^2}, \\ \dot \eta &= \dot y; \end{aligned} \right. \] в итоге приходим к системе \[ \left\{ \begin{aligned} \dot \xi &= \frac{\tan \xi - \eta}{1 + \tan^2 \xi} = f_1(\xi, \eta), \\ \dot \eta &= \tan \xi + \eta = f_2(\xi, \eta), \end{aligned} \right. \quad \xi \in (-\pi/2, \pi/2). \]
проведём регуляризацию полученных диффуров с помощью замены независимой переменной так, чтобы полученным диффурам соответствовала ДС в замкнутой полосе $\xi \in [-\pi/2, \pi/2]$: \[ d\tau = \kappa dt, \quad \kappa = \sqrt{1 + (f_1(\xi, \eta))^2 + (f_2(\xi, \eta))^2} \geqslant 1. \]

Получаем систему, у которой существует единственное решение задачи Коши, а также решения неограниченно продолжаемы. Значит, ей соответствует некоторая ДС.

Рассмотрим произвольную отличную от положения равновесия точку $p = (\xi_0, \eta_0)$, причём $\xi_0 \neq \pm \pi/2$. Понятно, что отвечающее ей движение неустойчиво $L^+$, и для него имеем \[ \Alpha_p = (0,0), \qquad \Omega_p = L_1 \cup L_2. \]

Проведём классификацию точек, движений и траекторий в зависимости от типа соотв. предельных множеств.

Точка $p \in X$, движение $f(p, t)$ и траектория $f(p, I)$ называются уходящими в положительном направлении, если $\Omega_p = \varnothing$.
Положительная полутраектория $f(p,I^+)$ называется в таком случае уходящей.

Точка $p \in X$, движение $f(p, t)$ и траектория $f(p, I)$ называются уходящими в отрицательном направлении, если $\Alpha_p = \varnothing$.
Отрицательная полутраектория $f(p,I^-)$ называется в таком случае уходящей.

По определению устойчивая $L$ траектория всегда является неуходящей (соот. $L^+$ и $L^-$ — неуходящей в положительном и отрицательном направлении).

Пусть $V^+, V^-$ — множества точек данной ДС, уходящих в положительном и отрицательном направлениях соответственно, а через $V = V^- \cap V^+$ — множество уходящих точек.

$V, V^+, V^-$ — инвариантные множества ДС.

Если для данной точки $p \in X$ положительное предельное множество $\Omega_p \neq \varnothing$, но $\Omega_p \cap f(p, I^+) = \varnothing$, то движение $f(p,t)$ и траектория $f(p, I)$ называются положительно асимптотическими.

Если для данной точки $p \in X$ отрицательное предельное множество $\Alpha_p \neq \varnothing$, но $\Alpha_p \cap f(p, I^-) = \varnothing$, то движение $f(p,t)$ и траектория $f(p, I)$ называются отрицательно асимптотическими.

Устойчивая $L^+$ положительно асимптотическая траектория всегда неограниченно приближается к своему предельному множеству: \[ f(p, t) \limto{t \to \infty} \Omega_p. \] Для $L^-$ аналогично.

Если $\Omega_p \cap f(p, I^+) \neq \varnothing$, то приходим к устойчивым по Пуассону точкам.

Устойчивость по Пуассону. Свойства. Примеры

Рассматриваем ДС $f(p, t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

Точка $p \in X$ и движение $f(p,t)$ называются положительно устойчивыми по Пуассону (устойчивыми $P^+$), если $p \in \Omega_p$.

Условие $p \in \Omega_p$ эквивалентно следующему: \[ \forall \varepsilon \gt 0, T \gt 0 \quad \exists t \gt T: \quad f(p, t) \in K_\varepsilon(p). \]

Точка $p \in X$ и движение $f(p,t)$ называются отрицательно устойчивыми по Пуассону (устойчивыми $P^-$), если $p \in \Alpha_p$.

Точка $p \in X$ и движение $f(p,t)$ называются устойчивыми по Пуассону (устойчивыми $P$), если они устойчивы $P^+$ и $P^-$.

Пусть $B, B^+, B^-$ — множества устойчивых $P, P^+, P^-$ точек ДС.

Множества $B, B^+, B^-$ инвариантны.

Напрямую следует из инвариантности $\Omega_p$, а также того факта, что \[ f(p, t) \in \Omega_p = \Omega_{f(p,t)} \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \] Для $\Alpha_p$ аналогично.

Множество устойчивых по Пуассону точек $B$ может быть и незамкнутым, и неоткрытым. В свою очередь $\Omega_p$ и $\Alpha_p$ замкнуты.

Если $p \in X$ устойчива $P^+$, то точка $f(p,t)$ при всех $t \in \mathbb{R}$ также устойчива $P^+$, поэтому можно говорить об устойчивых $P^+$ целых траекториях $f(p, I)$.

Аналогично для устойчивостей $P^-$ и $P$.

Если $p \in X$ устойчива $P^+$, то соотв. траектория $f(p, I) \subset \Omega_p$.

Аналогично для устойчивости $P^-$.

Точка $p \in X$ устойчива $P^+$ тогда и только тогда, когда выполнено любое из равенств \[ \Omega_p = \overline{f(p, I^+)} \quad \mbox{или} \quad \Omega_p = \overline{f(p, I)} \] и устойчива $P^-$ тогда и только тогда, когда выполнено любое из равенств \[ \Alpha_p = \overline{f(p, I^-)} \quad \mbox{или} \quad \Alpha_p = \overline{f(p, I)}. \]

2 часть, стр. 52.

Таким образом, критерий устойчивости $P^+$ — плотность траектории $f(p,I^+)$ или полутраектории $f(p, I)$ в своём предельном множестве $\Omega_p$.

Если точка $p \in X$ устойчива $P^+$, то \[ \overline{f(p, I^+)} = \overline{f(p, I)} = \Omega_p. \] Аналогично для устойчивости $P^-$.

Справедливы утверждения:

если движение $f(p,t)$ устойчиво $P^+$, то $\Alpha_p \subseteq \Omega_p = \overline{f(p,I)}$;
если движение $f(p,t)$ устойчиво $P^-$, то $\Omega_p \subseteq \Alpha_p = \overline{f(p,I)}$;
если движение $f(p,t)$ устойчиво $P$, то $\Alpha_p = \Omega_p = \overline{f(p,I)}$.

Рассмотрим первый случай. Если $f(p,t)$ устойчиво $P^+$, то \[ \Alpha_p \subset \overline{f(p,I^-)} \subset \overline{f(p, I)} = \Omega_p. \]

Постоянное движение и соотв. траектория (точка покоя) устойчивы $P$.

Периодическое движение и соотв. траектория (цикл) устойчивы $P$.

Чтобы ввести в рассмотрение нетривиальные устойчивые $P$ движения, надо сформулировать следующую теорему.

(Жордана).
Всякая простая (без самопересечений) замкнутая кривая на плоскости $X = \mathbb{R}^2$ делит её на две линейно несвязные между собой открытые части, общей границей которых эта кривая и является.

У всякой гладкой ДС $f(p,t)$, заданной на плоскости $X = \mathbb{R}^2$ или на двумерной поверхности $X$, на которой справедлива теорема Жордана, единственные устойчивые $P, P^+, P^-$ траектории — точки покоя и циклы.

Устойчивость по Пуассону. Теорема о компактности предельного множества в полном пространстве

$A$ называется плотным в $B$, если $\overline{A} \supset B$.

$A$ называется везде плотным, если $\overline{A} = X$.

$A$ называется нигде не плотным в $X$, если \[ \mathring{\overline{A}} = \varnothing. \] Это условие эквивалентно тому, что $A$ не плотно в любой сфере \[ \left\{ p \; | \; p \in U_\varepsilon(q), \quad \varepsilon \gt 0, \; q \in X \right\}. \]

(о компактности предельного множества в полном пространстве)
Рассмотрим траекторию:

устойчивую $P^+$;
отличную от точки покоя и периодической траектории;
расположенную в полном $X$.

Тогда множество предельных точек $\Omega_p$, не принадлежащих траектории, плотно в $\Omega_p$, то есть \[ \overline{\Omega_p \setminus f(p,I)} = \Omega_p. \]

Все построения будем проводить в множестве $A := \Omega_p \subset X$ — замкнутном подпространстве фазового пространства.

Для начала отметим, что $A$ является полным как замкнутое подмножество полного пространства $X$.

Так как $f(p,t)$ устойчива $P^+$, то \[ f(p,I) \subset \Omega_p = A. \] Для любого $n \in \mathbb{N}$ рассмотрим конечную дугу \[ X_n := f(p, [-n, n]) = \left\{ f(p,t): \; t \in [-n, n] \right\}; \] понятно, что \[ X_n \subset f(p,I) \subset \Omega_p = A. \]

Множество $X_n$:

компактное в $X$;
следовательно, оно замкнуто в $X$
следовательно, оно замкнуто в $A$, так как замкнутое в $X$ множество замкнуто в любом подпространстве пространства $X$: \[ \overline{X_n}^A = X_n. \]

Покажем теперь, что \[ \mathring{\overline{X_n}}^A = \mathring{X_n}^A = \varnothing. \]

Для любой точки $x \in X_n$ любая её окрестность в множестве $A$ получается пересечением произвольной окрестности в $X$ с $A$: \[ u^A = u^X \cap A. \]

Так как $x \in X_n \subset \Omega_p = A$, то $x$ — $\omega$-предельная, то по определению найдётся последовательность $t_k \to \infty$ такая, что $f(p,t_k) \to x$.

Значит, по определению предела последовательности найдётся номер $N \in \mathbb{N}$ такой, что $f(p, t_k) \in u^X$ для любого $k \gt N$. Так как $f(p, I) \subset A$, то \[ f(p,t_k) \in u^X \cap A = u^A \qquad \forall k \gt N. \]

В то же время, учитывая незамкнутость траектории $f(p,I)$, имеем $f(p, t_k) \not\in X_n$ при $t_k \gt n$. Значит, $u^A \not\subset X_n$, то есть никакая окрестность $u^A$ не содержится в $X_n$ целиком. Следовательно, \[ \mathring{X_n}^A = \varnothing. \]

Значит, $X_n$ — замкнутое и нигде не плотное множество в $A = \Omega_p$. Тогда его дополнение $A \setminus X_n$ — открытое всюду плотное в $A$.

Теперь, учитывая, что \[ \Omega_p \setminus f(p,I) = \Omega_p \setminus \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n = \bigcap_{n=1}^\infty \left( \Omega_p \setminus X_n \right), \] получаем, что $\Omega_p \setminus f(p, I)$ является всюду плотным в $A = \Omega_p$ множеством, так как может быть представлено в виде счётного пересечения открытых всюду плотных в $A$ множеств $\left\{ \Omega_p \setminus X_n \right\}$.

Для устойчивой $P^+$ траектории $f(p, I)$ дополнительное условие её устойчивости $L^+$ эквивалентно компактности предельного множества $\Omega_p = \overline{f(p, I)}$.

В рамках условий прошлой теоремы траектория $f(p,I)$ всюду полна в $\Omega_p$, но любая её конечная дуга $f(p, [t_1, t_2])$, $t_1, t_2 \in \mathbb{R}$ является нигде не полной и в $\Omega_p$, и в $X$.

Если траектория $f(p,I)$ ДС компактна, то это — точка покоя или цикл.

Основные понятия устойчивости по Ляпунову инвариантных множеств. Примеры

Рассмотрим метрическое пространство $R = (X, \rho)$ и динамическую систему $f(t, p)$.

Замкнутое инвариантное множество $M$ называется устойчивым по Ляпунову, если \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0: \quad \forall q: \rho(q, M) \lt \delta \quad \implies \quad \rho(f(t, q), M) \lt \varepsilon \quad \forall t \geqslant 0. \]

Проведём аналогию с теорией устойчивости движения: рассмотрим систему \[ y' = f(y), \quad f(0) = 0, \quad f \in C^1(\mathbb{R}), \quad x \in \mathbb{R}. \] Известно, что нулевое решение этой системы называют устойчивым по Ляпунову, если \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0: \quad \forall y_0: \abs{y_0} \lt \delta \quad \implies \quad \abs{y(x, y_0)} \lt \varepsilon \quad \forall x \geqslant 0. \] Тогда

фазовое пространство: $q \in X \sim \mathbb{R} \ni y \implies y \sim q$;
$x \sim t$;
$M = \left\{ 0 \right\}$, оно является инвариантным, так как $f(0) = 0$;
$\rho(x,y) = \abs{x - y}$.

Рассмотрим систему \[ \left\{ \begin{aligned} y_1' &= f_1(y_1, y_2), \\ y_2' &= f_2(y_1, y_2). \end{aligned} \right. \] Пусть существует периодическое движение: \[ \left\{ \begin{aligned} y_1(x) &= \varphi_1(x), \\ y_2(x) &= \varphi_2(x), \end{aligned} \right. \qquad \varphi_s(x + T) = \varphi_s(x), \quad s = 1,2. \] Перейдём к системе в отклонениях. Для этого сделаем замену переменных: \[ \left\{ \begin{aligned} z_1(x) &= y_1(x) - \varphi_1(x), \\ z_2(x) &= y_2(x) - \varphi_2(x), \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} y_1(x) &= z_1(x) + \varphi_1(x), \\ y_2(x) &= z_2(x) + \varphi_2(x). \end{aligned} \right. \] Тогда исходная система примет вид \[ \left\{ \begin{aligned} z_1' &= f_1(z_1 + \varphi_1(x), z_2 + \varphi_2(x)) - \varphi_1'(x), \\ z_2' &= f_2(z_1 + \varphi_1(x), z_2 + \varphi_2(x)) - \varphi_2'(x). \end{aligned} \right. \] Заметим теперь, что $\varphi_1(x), \varphi_2(x)$ являются периодическим решением исходной системы, поэтому \[ \left\{ \begin{aligned} \varphi_1'(x) &= f_1(\varphi_1(x), \varphi_2(x)), \\ \varphi_2'(x) &= f_2(\varphi_1(x), \varphi_2(x)). \end{aligned} \right. \] Окончательно имеем \[ \left\{ \begin{aligned} z_1' &= f_1(z_1 + \varphi_1(x), z_2 + \varphi_2(x)) - f_1(\varphi_1(x), \varphi_2(x)), \\ z_2' &= f_2(z_1 + \varphi_1(x), z_2 + \varphi_2(x)) - f_2(\varphi_1(x), \varphi_2(x)) \end{aligned} \right. \] или \[ \left\{ \begin{aligned} z_1' &= \widehat f_1(x, z_1, z_2), \\ z_2' &= \widehat f_2(x, z_1, z_2), \end{aligned} \right. \] причём $\widehat f_1(x, 0, 0) = \widehat f_2(x, 0, 0) \equiv 0$.

Отметим, что \[ \mbox{устойчиво решение} \quad z(x) = \begin{pmatrix} z_1(x) \\ z_2(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \iff \quad \mbox{устойчиво решение} \quad y(x) = \begin{pmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \varphi_1(x) \\ \varphi_2(x) \end{pmatrix}. \]

Решение $z(x) = 0$ называют устойчивым по Ляпунову, если \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \forall x_0 \geqslant 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon, x_0) \gt 0: \quad \forall z^0: \; \norm{z} \lt \delta \quad \implies \quad \norm{z(x, x_0, z^0)} \lt \varepsilon \quad \forall x \geqslant x_0. \]

Определение устойчивости инвариантного множества, вообще говоря, не эквивалентно устойчивости в примере 2.

вставить картинку, поясняющую неэквивалентность (см. 2 лекцию от 06.11, 1:25:00).

Однако оно эквивалентно орбитальной устойчивости.

Рассмотрим орбиту \[ M = \left\{ (y_1, y_2): y_1 = \varphi_1(x), \; y_2 = \varphi_2(x), \quad x \in [0, T] \right\}. \]

Говорят, что $y = \varphi(x)$ орбитально устойчиво, если \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0: \quad \forall y^0: \; \rho(y^0, M) \lt \delta \quad \implies \quad \rho(y(x, y^0), M) \lt \varepsilon \quad \forall x \geqslant 0. \]

Рассмотрим систему уравнений в частных производных: \[ \frac{\partial u_s}{\partial t} = f_s \left( x_1, \dots, x_n, u_1, \dots, u_k, \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right), \qquad s = \overline{1,k}, \] причём \[ f(x, \vec{0}, \vec{0}) = 0 \qquad \forall s = \overline{1,k}. \] Значит, у системы есть тривиальное решение $u(t,x) \equiv \vec{0}$.

Начальные условия: \[ u(0,x) = \varphi(x) \in C^1(\mathbb{R}^n). \] Также введена норма \[ \norm{\varphi} = \sup_{x \in \mathbb{R}^n} \norm{\varphi(x)}. \] Метрика задана как \[ \rho(\varphi, \psi) = \norm{\varphi - \psi}. \]

Решение $u(t,x) \equiv 0$ называют устойчивым по Ляпунову, если \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0: \quad \forall \varphi \in C^1(\mathbb{R}^n): \norm{\varphi} \lt \delta \quad \implies \quad \norm{u(t, \varphi)} \lt \varepsilon \quad \forall t \geqslant 0. \]

В этом случае $M = \left\{ u(t,x) \equiv 0 \right\}$.

Если замкнутое инвариантное множество $M$

устойчиво по Ляпунову;
выполнено условие \[ \exists \tilde \delta \gt 0: \quad \forall p: \rho(p,M) \lt \tilde\delta \quad \implies \quad \rho(f(t,p), M) \limto{t \to \infty} 0, \]

то $M$ называется асимптотически устойчивым по Ляпунову.

Замкнутое инвариантное множество $M$ неустойчиво по Ляпунову, если \[ \exists \varepsilon \gt 0: \quad \forall \delta \gt 0 \quad \exists p_\delta: \rho(p_\delta, M) \lt \delta \quad \exists t_0 \gt 0: \quad \rho(f(t_0, p_\delta), M) \geqslant \varepsilon. \]

Рассмотрим уравнение \[ y' = a y^3, \quad a \in \mathbb{R}. \] Здесь $M = \left\{ 0 \right\}.$

Возможны три случая:

$a > 0$ — множество $M$ неустойчиво.
$a = 0$ — множество $M$ устойчиво.
$a < 0$ — множество $M$ асимптотически устойчиво.

Область асимптотической устойчивости. Примеры

Если замкнутое инвариантное множество $M$ асимптотически устойчиво по Ляпунову, то множество $A$ \[ A = \left\{ p \in X, \; p \not\in M: \quad \rho(f(t, p), M) \limto{t \to \infty} 0 \right\} \] называется областью асимптотической устойчивости (ОАУ) множества $M$.

Рассмотрим уравнение \[ y' = a y^3, \quad a \in \mathbb{R}. \] Здесь $M = \left\{ 0 \right\}.$

Возможны три случая:

$a > 0$ — множество $M$ неустойчиво.
$a = 0$ — множество $M$ устойчиво.
$a < 0$ — множество $M$ асимптотически устойчиво, причём $A = \mathbb{R} \setminus M = \left\{ y \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\} \right\}$.

Областью асимптотической устойчивости инвариантного множества $M$ динамической системы $f(t,p)$ является открытое инвариантное множество, содержащее достаточно малую $\delta$-окрестность множества $M$, где $\delta \gt 0$.

Инвариантность множества $A$ следует из определения.
$M$ — АУЛ, поэтому \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0: \quad \forall p \in X: \rho(p, M) \lt \delta \implies \rho(f(p,t), M) \lt \varepsilon \quad \forall t \geqslant 0 \] и, кроме того, $\lim\limits_{t \to \infty} \rho(f(p,t), M) = 0$.
Отсюда следует, что $\delta$-окрестность целиком содержится в $A$.
2 часть, стр. 94.

Если у асимптотически устойчивого по Ляпунову замкнутого инвариантного множества $M \subset X$ область асимптотической устойчивости $A = X \setminus M$, то $M$ называется асимптотически устойчивым в целом.

Границей области асимптотической устойчивости АУЛ замкнутого инвариантного множества $M \subset X$ называется замкнутое инвариантное множество \[ \Gamma = \overline A \setminus (A \cup M). \]

Равномерная асимптотическая устойчивость. Оценка поведения решений

Выпишем развёрнутое определение АУЛ.

Замкнутое инвариантное множество $M$ называется АУЛ, если

оно устойчиво: \[ \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0: \quad \forall p \in X: \rho(p, M) \lt \delta \quad \implies \quad \rho(f(p,t), M) \lt \varepsilon \quad \forall t \geqslant 0; \]
выполнено условие: \[ \exists \delta_1 \gt 0: \quad \forall p \in X: \rho(p, M) \lt \delta_1, \quad \forall H \gt 0 \quad \exists T = T(H, p) \gt 0: \quad \rho(f(p,t), M) \lt H \quad \forall t \geqslant T. \]

Видим, что во втором условии величина $T = T(H, p)$ зависит и от $p$, и от $H$. Если существует $\delta_1 \gt 0$ такое, что можно найти $T = T(H)$ (то есть не зависящее от $p$), то можно получить равномерную по $p$ оценку $\rho(f(p,t), M) \lt H$.

АУЛ замкнутое инвариантное множество $M$ называется равномерно асимптотически устойчивым, если \[ \exist \delta_1 \gt 0: \quad \forall H \gt 0 \quad \exists T = T(H) \gt 0: \quad \rho(f(p,t), M) < H \qquad \forall t \geqslant T, \; p \in X: \; \rho(p,M) \lt \delta_1. \]

Пусть $M \subset X$ — РАУЛ замкнутое инвариантное множество. Тогда существует $\delta \gt 0$ и непрерывная $L(t)$, строго монотонно убывающая от $\infty$ до $0$ при возрастании $t$ от $-\infty$ до $+\infty$, такие, что \[ \rho(f(p,t), M) \leqslant L(t) \qquad \forall t \geqslant 0, \; p \in X: \rho(p, M) \lt \delta. \]

2 часть, стр. 101.

Равномерная устойчивость характеризуется отсутствием «очень быстро приближающихся к $M$» точек.

Равномерная асимптотическая устойчивость и равномерная притягиваемость

АУЛ замкнутое инвариантное множество $M$ ДС $f(p,t)$ называется равномерно притягивающим, если \[ \exists \delta_2 \gt 0: \quad \forall h \in (0, \delta_2), \; T \gt 0 \quad \exists \alpha = \alpha(H, T) \gt 0: \quad \rho(f(p,t), M) \gt \alpha \quad \forall t \in [0,T], \; p \in X: h \lt \rho(p,M) \lt \delta_2. \]

Суть заключается в том, что точки, первоначально находившиеся в полосе $(h, \delta_2)$, за время $T$ не смогут попасть в зону $(0, \alpha)$.

Равномерность заключается в том, что $\alpha = \alpha(h, T)$ не зависит от $p \in X$.

Множество называется относительно компактным в $X$, если его замыкание в $X$ компактно.

АУЛ замкнутое инвариантное множество $M$, имеющее относительно компактную окрестность $u_r(M), \; r \gt 0$, является равномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим.

2 часть, стр. 104.

Поведение траекторий в окрестности устойчивого по Ляпунову инвариантного множества

Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

Рассмотрим замкнутое инвариантное множество $M$.

Замкнутое инвариантное множество $M$ является УЛ⁺ тогда и только тогда, когда для любого достаточно малого $\varepsilon \gt 0$ \[ \delta(\varepsilon) := \inf_{\rho(p, M) = \varepsilon, \; t \leqslant 0} \rho(f(p,t), M) \gt 0. \]

2 часть, стр. 107.

Поведение траекторий в окрестности асимптотически устойчивого по Ляпунову инвариантного множества

Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

Далее будем рассматривать замкнутые инвариантные множества $M$, имеющие относительно компактную окрестность $u_r(M), \; r \gt 0$.

Если для движения $f(p,t)$, происходящего вне $M$, при некотором $\varepsilon \in (0,r)$ выполнено условие \[ \rho(f(p,t), M) \leqslant \varepsilon \qquad \forall t \geqslant 0, \] то имеем альтернативу:

либо движение $f(p,t)$ имеет $\alpha$-предельную точку в $M$ (то есть $\Alpha_p \subset M$) и \[ f(p,t) \limto{t \to -\infty} M; \]
либо существует целая траектория \[ f(q, I) \subset \overline{u_\varepsilon(M)} \setminus M \subset u_r(M) \] (то есть $\Alpha_p \setminus M \neq \varnothing$), причём если $\Alpha_p \cap M = \varnothing$, то \[ \varepsilon \geqslant \rho(f(q,I), M) \gt 0. \]

2 часть, стр. 109.

Пусть для некоторых величин $\varepsilon \in (0,r)$, точек $\left\{ p_n \right\} \in X$ и моментов $\left\{ \tau_n \lt 0 \right\}$ выполнены условия:

$\rho(p_n, M) = \varepsilon$;
$\rho(f(p_n, t), M) \leqslant \varepsilon$ при всяком $t \in [\tau_n, 0]$;
$\rho(f(p_n, \tau_n), M) = \beta_n \limto{n \to \infty} 0$.

Тогда существует точка $p \in X, p \not\in M$ такая, что \[ \rho(p, M) = \varepsilon, \qquad \rho(f(p,t), M) \leqslant \varepsilon \qquad \forall t \leqslant 0. \]

2 часть, стр. 109.

Замкнутое инвариантное множество $M$ с относительно компактной окрестностью $u_r(M), \; r \gt 0$, является АУЛ⁺ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

не существует движения $f(p,t), \; p \not\in M$, с $\alpha$-предельными точками в $M$;
существует окрестность $u_\sigma(M)$, где $\sigma \in (0, r)$, не содержащая целых траекторий.

2 часть, стр. 110.

Условие 1 предыдущей теоремы можно заменить на

не существует движения $f(p,t), \; p \not\in M$, у которого $f(p,t) \to M$ при $t \to -\infty$.

Замкнутое инвариантное множество $M$ с относительно компактной окрестностью $u_r(M), \; r \gt 0$ является АУЛ⁺ тогда и только тогда, когда оно УЛ⁺ и существует его окрестность $u_\sigma(M)$, где $\sigma \in (0,r)$, не содержащая целых траекторий.

2 часть, стр. 115.

Критерий асимптотической устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим СОДУ \[ \dot x = f(x), \qquad x \in X = \mathbb{R}^n, \] где векторное поле $f$ удовлетворяет условиям теорем существования, единственности и непрерывности по начальным данным.

Система стационарна, поэтому $x(t, t_0, x_0) = x(t - t_0, 0, x_0)$. В дальнейшем будем обозначать их в виде $x = x(t, x_0)$ и $x(0, x_0) = x_0$.

Пусть $f(0) = 0$, тогда точка покоя $x = 0$ — замкнутое инвариантное множество $M = \left\{ x = 0 \right\}$ с относительно компактной окрестностью $u_r(0)$ для любого $r \gt 0$.

Нулевое решение $x \equiv 0$ исходной СОДУ является АУЛ⁺ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

не существует решения $x = x(t, x_0), \; x_0 \neq 0$, для которого $\abs{x} \to 0$ при $t \to -\infty$;
существует окрестность $u_\sigma(0), \; \sigma \gt 0$ точки $x = 0$, не содержащая никакой целой траектории $x = x(t, x_0), \; t \in \mathbb{R}, \; x_0 \neq 0$.

2 часть, стр. 116.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений на плоскости

Рассмотрим СОДУ 2-го порядка: \[ \left\{ \begin{aligned} \dot x_1 &= f_1(x_1, x_2), \\ \dot x_2 &= f_2(x_1, x_2), \end{aligned} \right. \] где $x \in X = \mathbb{R}^2$, где векторное поле $f: X \to X$ удовлетворяет условиям теорем существования, единственности и непрерывности по начальным данным.

Пусть $f(0) = 0$, тогда точка $x = 0$ — положение равновесия, которое будем считать изолированным. Система имеет замкнутое инвариантное множество $M = \left\{ x = 0 \right\}$ с относительно компактной окрестностью.

Нулевое решение $x \equiv 0$ исходной СОДУ является АУЛ⁺ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

не существует решения $x = x(t, x_0), \; x_0 \neq 0$, для которого $\abs{x} \to 0$ при $t \to -\infty$;
существует по крайней мере одно движение $x(t, x_0) \to 0, \; x_0 \neq 0$ при $t \to +\infty$.

2 часть, стр. 117.

Полученный результат показывает, что если у изолированного положения равновесия нет «выходящих» (при $t \to -\infty$) из него траекторий, то существование уже одной «входящей» (при $t \to +\infty$) траектории приводит к АУЛ⁺ этого положения равновесия.

Блуждающие траектории. Свойства

Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

Говорят, что ДС $f(p,t)$ обладает свойством возвращаемости открытых множеств, если для любого открытого множества $\sigma \subset X$ и момента времени $T \gt 0$ существует момент времени $t \geqslant T$ такой, что \[ \tag{1} \sigma \cap f(\sigma, t) \neq \varnothing. \]

Взяв оператор $f(\cdot, -t)$ от обеих частей неравенства $(1)$ и пользуясь свойствами 1,3 из определения ДС, находим, что для любого открытого множества $\sigma \subset X$ и момента времени $-T \lt 0$ существует момент времени $-t \leqslant -T$ такой, что \[ \tag{2} \sigma \cap f(\sigma, -t) \neq \varnothing. \]

Определение возвращаемости относится и к положительным, и к отрицательным $t$, причём положительная возвращаемость эквивалентна отрицательной возвращаемости, следовательно, они эквивалентны просто возвращаемости, то есть одновременному выполнению условий $(1)$ и $(2)$.

Точка $p \in X$ называется блуждающей, если существуют её окрестность $u(p) \subset X$ и момент $T \gt 0$ такие, что \[ u(p) \cap f(u(p), t) = \varnothing \qquad \forall t \geqslant T. \]

Как и в случае возвращаемости, понятие блуждаемости относится одновременно и к положительным, и к отрицательным $t$.

Точка $p \in X$ называется неблуждающей, если она не является блуждающей, то есть для любых её окрестности $u(p) \subset X$ и момента $T \gt 0$ существует момент $t \geqslant T$ такой, что \[ u(p) \cap f(u(p), t) \neq \varnothing. \]

Как и в случае возвращаемости, понятие неблуждаемости относится одновременно и к положительным, и к отрицательным $t$.

Тривиальные примеры неблуждающих точек:

положения равновесия;
точки циклов.

Уходящая точка или нет — индивидуальное свойство самой точки. А вот блуждаемость и неблуждаемость — групповое свойство, существенно зависящее от поведения соседних точек.

Множество всех блуждающих точек ДС обозначим через $W_1$, а неблуждающих — через $M_1$. Ясно, что множества $W_1, M_1$ дополняют друг друга: \[ W_1 = X \setminus M_1, \qquad M_1 = X \setminus W_1. \]

Множество $W_1$ блуждающих точек открыто и инвариантно; множество $M_1$ неблуждающих точек замкнуто и инвариантно.

3 часть, стр. 11.

В силу инвариантности $W_1, M_1$ можно говорить о блуждающих и неблуждающих движениях и траекториях.

Существуют уходящие как неблуждающие, так и блуждающие точки.

Существуют неуходящие как неблуждающие, так и блуждающие точки.

Всякая точка, устойчивая $P^+$ или $P^-$, является неблуждающей, то есть \[ B^+ \cup B^- \subset M_1. \] Следовательно, любая блуждающая точка не является устойчивой $P^+$ или $P^-$.

Достаточно вспомнить, что образ $f(p,t)$ устойчивой $P^+$ или $P^-$ точки $p \in X$ возвращается в произвольную окрестность $u(p)$ точки $p$ при сколь угодно больших положительных или отрицательных $t$.

Существуют неблуждающие точки, не являющиеся устойчивыми $P^+$ или $P^-$, то есть возможен случай, когда \[ M_1 \setminus (B^+ \cup B^-) \neq \varnothing. \]

Свойства множества не блуждающих точек. Теорема существования центра ДС

Пусть $f(p,t)$ — ДС в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

В фазовом пространстве $X$ ДС имеет место возвращаемость открытых множеств тогда и только тогда, когда $M_1 = X$, то есть все точки являются неблуждающими.

Действительно:

если имеет место возвращаемость открытых множеств, то всякая точка $p \in X$ — неблуждающая, так как всякая её окрестность $u(p)$ — открытое множество;
с другой стороны, если $M_1 = X$, то всякое открытое множество обладает свойством возвращаемости, так как является окрестностью всякой своей точки.

Во всяком открытом в $X$ и инвариантном множестве $G \subset M_1$ имеет место возвращаемость открытых множеств.

я не уверен в формулировке шага 3 — в определении неблуждаемости рассматриваются произвольные окрестности.

Рассмотрим произвольное открытое множество $\sigma \subset G \subset M_1$.
Из открытости $G$ следует открытость множества $\sigma$ в $X$.
Для любой точки $p \in \sigma$ в качестве окрестности возьём $u(p) = \sigma$.
Наконец, по определению неблуждаемости находим, что $f(\sigma, t) \cap \sigma \neq \varnothing$ при сколь угодно больших $t$.
Заключаем, что в $G$ имеет место возвращаемость открытых множеств.

Рассмотрим инвариантное множество $M$ в пространстве $X$. Сужение $f | M$ даёт ДС в $M$. Тогда неблуждаемость точки из $M$ относительно $M$ всегда влечёт её неблуждаемость в $X$.

3 часть, стр. 18.

Для всякой точки $p \in X$ предельные множества содержатся в множестве неблуждающих точек: $\Omega_p, \Alpha_p \subset M_1$.

3 часть, стр. 19.

Если ДС $f(p,t)$ имеет хотя бы одно устойчивое $L^+$ или $L^-$ движение, то $M_1 \neq \varnothing$.

Если $X$ компактно, то $M_1 \neq \varnothing$.

Если $X$ компактно, то все движения устойчивы $L$.

Центральные движения. Свойства

Рассмотрим динамическую систему $f(p,t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

Будем считать, что $X$ — компакт, тогда $M_1$ — непусто и компактно.

Какие движения будут происходить при $t \to \pm \infty$? С блуждающими всё понятно, они через определённое время $T(\varepsilon)$ перейдут в $\varepsilon$-окрестность множества $M_1$. А что с неблуждающими?

Множество $M_1$ инвариантно, значит, можно сузить ДС на $M_1$. В новой ДС возникнут $W_2 \subset M_1$ и $M_2 \subset M_1$. Заметим, что $M_1$ компактно, следовательно, $M_2$ непусто и компактно.

Если $W_2 = \varnothing$, то $M_2 = M_1$. Такое множество называется множеством центральных движений.

Формально множество центральных движений задаётся при помощи трансфинитной индукции.

Продолжаем процесс сужения ДС на $M_i$. В итоге получаем убывающую последовательность вложенных непустых замкнутых инвариантных компактных множеств \[ M_1 \supset M_2 \supset M_3 \supset \dots \supset M_n \supset \cdots. \] Если на каком-то шаге окажется, что $M_k = M_{k+1}$, то нашли множество центральных движений.

Если такого шага нет, то последовательность вложенных множеств счётная. Делаем переход 2-го рода, задавая множество \[ M_\omega = \bigcap_{i=1}^\infty M_i. \] Оно

непусто как пересечение последовательности непустых замкнутых убывающих множеств;
замкнуто как пересечение замкнутых множеств;
инвариантно как пересечение инвариантных множеств;
компактно как замкнутое подмножество исходного компактного $X$.

Снова делаем шаги первого рода, снова получаем последовательность \[ M_{\omega + 1} \supset M_{\omega + 2} \supset M_{\omega + 3} \supset \dots \supset M_{\omega + n} \supset \cdots. \] Если есть шаг, на котором $M_{\omega + k} = M_{\omega + k + 1}$, то нашли множество центральных движений.

Иначе снова делаем шаг 2-го рода.

Пусть эта процедура проделана для вполне упорядоченной системы индексов $\left\{ \gamma | \gamma \lt \delta \right\}$, где индекс $\delta$ отвечает некоторому трансфинитному числу 2-го рода.

Если в этой системе имеется максимальный элемент $\alpha$, то есть $\gamma \leqslant \alpha$ для всех $\gamma$, то берём $\delta = \alpha + 1$ и делаем шаг 1-го рода.
Если максимального элемента не существует, то есть определены все соотв. множества $M_\gamma$, то делаем шаг второго рода.
Вводим множество $M_\delta := \bigcap_{\gamma \lt \delta} M_\gamma$. Оно непусто, замкнуто, инвариантно и компактно. Переходим к ДС $f | M_\delta$ с фазовым пространством $M_\delta$.

Проделав указанную процедуру, получаем вполне упорядоченную убывающую систему непустых замкнутых компактных инвариантных множеств с несчётной вполне упорядоченной системой индексов.

Пространство $X$ как метрический компакт имеет счётную базу, и по теореме Бэра различных множеств в $X$ не более чем счётное число. Поэтому обязательно найдётся индекс $\beta$ такой, что \[ M_\beta = M_{\beta + 1} = \dots. \] Такое множество $M = M_\beta$ и будет множеством центральных движений.

Множество центральных движений $M$ — наибольшее замкнутое инвариантное множество, все точки которого являются неблуждающими относительно этого множества.
Эквивалентно: наибольшее замкнутое инвариантное множество, в котором имеет место возвращаемость открытых в $M$ множеств.

3 часть, стр. 25.

Пусть $A \subset X$ — инвариантное множество и пусть $p \in A$. Тогда точка $p$ устойчива $P^+$ относительно $X$ тогда и только тогда, когда она устойчива $P^+$ относительно $A$.

3 часть, стр. 29.

Множества $B^+, B^-, B \subset M$, где $M$ — множество центральных движений.

Положения равновесия и циклы всегда входят в $M$.

В множестве центральных движений $M$ всюду плотны точки, устойчивые $P$, то есть $\overline B = M$.

Тогда можно дать такое определение.

Множество центральных движений ДС — замыкание $M = \overline B$ множества устойчивых $P$ точек.

Минимальное множество. Теорема существования. Примеры

Множество $M \subset X$ называется минимальным, если оно:

непусто $M \neq \varnothing$;
замкнуто $\overline M = M$;
инвариантно $f(M,t) = M$ для всех $t \in \mathbb{R}$;
не имеет истинного подмножества (то есть подмножества $\Sigma \subset M, \; \Sigma \neq M$), обладающего свойствами 1-3.

(критерий минимальности).
Множество $M$ минимально тогда и только тогда, когда замыкание траектории $\overline{f(p, I)} = M$ для любой точки $p \in M$.

Минимальное множество $M$ всегда связно.

Если минимальное множество $M$ содержит положение равновесия или цикл, то оно совпадает с ним.

Минимальное множество может быть не единственным.

Минимальное множество может быть некомпактным.

Во всяком непустом инвариантном компактном множестве $F \subset X$ содержится некоторое минимальное множество $M$.

Если $X$ компактно, то оно имеет минимальное множество $M$.

Если движение $f(p,t)$ устойчиво $L^+$, то множество $\Omega_p$ содержит некоторое компактное минимальное множество $M$.

В компактном множестве каждое минимальное множество также компактно.

Рекуррентные движения. Свойства. Примеры. Классификация движений

Движение $f(p,t)$ динамической системы называют рекуррентным, если для любого $\varepsilon \gt 0$ существует $T = T(\varepsilon) = T_\varepsilon \gt 0$ такое, что любая конечная дуга $f(p, [t_0, t_0 + T_\varepsilon])$ траектории $f(p, I)$ длины $T_\varepsilon$ аппроксимирует всю эту траекторию $f(p, I)$ с точностью до $\varepsilon$.

Движение $f(p,t)$ динамической системы называют рекуррентным, если для любого $\varepsilon \gt 0$ найдётся величина $T = T_\varepsilon \gt 0$ такая, что для любых моментов $t_0, t \in \mathbb{R}$ существует момент $w = w(t_0, t, \varepsilon) \in [t_0, t_0 + T_\varepsilon]$, для которого \[ \rho(f(p,t), f(p,w)) \lt \varepsilon. \]

Движение $f(p,t)$ динамической системы называют рекуррентным, если для любого $\varepsilon \gt 0$ найдётся величина $T = T_\varepsilon \gt 0$ такая, что для любых моментов $t_0, t \in \mathbb{R}$ существует момент $\tau = \tau(t_0, t, \varepsilon) \in [0, T_\varepsilon]$, для которого \[ \rho(f(p,t), f(p,t_0 + \tau)) \lt \varepsilon. \]

Если положить $t_0 = t + a, w = t + \tau$, то получаем следующее определение.

Движение $f(p,t)$ динамической системы называют рекуррентным, если для любого $\varepsilon \gt 0$ найдётся величина $L = L_\varepsilon \equiv T_\varepsilon \gt 0$ такая, что для любых моментов $t, a \in \mathbb{R}$ существует момент $\tau = \tau(t, a, \varepsilon) \in [a, a + T_\varepsilon]$, для которого \[ \rho(f(p,t), f(p,t + \tau)) \lt \varepsilon. \]

Если в последнем определении $\tau = \tau(a, \varepsilon)$, то такое рекуррентное движение называют почти периодическим.

Любое рекуррентное движение устойчиво $P$.

3 часть, стр. 48.

Обратное неверно: существуют устойчивые $P$, но не рекуррентные движения.

Траектория $f(p, I)$ всякого рекуррентного движения вполне ограничена и ограничена.

3 часть, стр. 48.

Теоремы Биркгофа о структуре минимального компактного множества и о замыкании рекуррентного движения в полном пространстве

(Биркгофа, первая).
Каждое движение $f(p,t)$ в компактном минимальном множестве $M \subset X$ рекуррентно.

3 часть, стр. 49.

Компактное минимальное множество $M$ всегда содержится в множестве центральных движений.

Если движение $f(p,t)$ устойчиво $L^+$, то в множестве $\Omega_p$ содержится некоторое рекуррентное движение.

(Биркгофа, вторая).
Пусть $X$ полно. Тогда замыкание $\overline{f(p, I)} = M$ траектории всякого рекуррентного движения $f(p,I)$ есть компактное минимальное множество.
Если же траектория незамкнута, то все траектории в $M$ рекуррентны, незамкнуты, а их общее число несчётно.

3 часть, стр. 51.

Если рекуррентное движение $f(p,t)$ устойчиво $L$, то $M = \overline{f(p,I)}$ — компактное минимальное множество.

В полном пространстве $X$ всякое рекуррентное движение $f(p,t)$ устойчиво $L$.

Определение: гомеоморфизм

Биективное отображение $f: X \to Y$ метрических пространств называется гомеоморфизмом, если оба отображения $f$ и $f^{-1}$ являются непрерывными.

Гомеоморфизм является биекцией, сохраняющая в обе стороны открытость и замкнутость множеств.

Определение: динамическая система в метрическом пространстве

Пусть $(X, \rho)$ — произвольное метрическое пространство.

Динамической системой в метрическом пространстве $X$ называют однопараметрическое семейство преобразований пространства $X$ \[ \left\{ F_t: X \to X, \; p \mapsto F_t(p) = f(p, t): \; t \in \mathbb{R} \right\}, \] удовлетворяющее свойствам:

$F_0 = \id$ или $f(p, 0) = p$ для любого $p \in X$;
отображение $f(p, t)$ непрерывно по совокупности аргументов;
$F_{t_2} \circ F_{t_1} = F_{t_2 + t_1}$, или, в развёрнутом виде, \[ f(f(p, t_1), t_2) = f(p, t_1 + t_2) \qquad \forall t_1, t_2 \in \mathbb{R}, \; p \in X. \]

Определение: движение динамической системы

Отображение $f(p, t)$ при произвольной фиксированной точке $p \in X$, то есть отображение \[ \mathbb{R} \to X, \quad t \mapsto f(p,t) \in X, \] называется движением (точки p) динамической системы.

Определение: траектория динамической системы

Множество точек \[ f(p, I) = \left\{ f(p, t): \; t \in \mathbb{R} \right\} \] называется траекторией динамической системы, проходящей через точку $p \in X$.

Определение: устойчивость по Пуассону

Рассматриваем ДС $f(p, t)$ в метрическом пространстве $(X, \rho)$.

Точка $p \in X$ и движение $f(p,t)$ называются положительно устойчивыми по Пуассону (устойчивыми $P^+$), если $p \in \Omega_p$.

Условие $p \in \Omega_p$ эквивалентно следующему: \[ \forall \varepsilon \gt 0, T \gt 0 \quad \exists t \gt T: \quad f(p, t) \in K_\varepsilon(p). \]

Аналогично для $P^-$.

Точка называется устойчивой по Пуассону (устойчивой $P$), если она устойчива $P^+$ и $P^-$.